2023-2024学年高二上学期期末数学全真模拟试卷01（苏教版（2019）选择性必修第一册）（含答案）

-2024学年高二数学上学期期末考试全真模拟01卷（测试范围：苏教版（2019）选择性必修第一册）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．以直线为准线抛物线标准方程为（）A. B.C. D.2．已知，则（）A.0 B. C.2 D.3．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（）A. B. C. D.4．若直线与圆相切，则实数取值的集合为（）A. B. C. D.5．中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里数是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第七天走的里数为（）A. B. C. D.6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，且，，则双曲线的离心率为（）A. B. C.3 D.77．对任意数列，定义函数是数列的“生成函数”.已知，则（）A. B.C. D.8．已知，则（）A. B.C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知圆与圆交于A，B两点，则（）A.直线AB与直线互相垂直 B.直线AB的方程为C. D.线段AB的中垂线方程为10．已知数列的前n项和为，，，且，则下列说法正确的是（）A.数列的通项公式为B.若，则C.数列为等比数列D.11．已知，是双曲线E：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点、点，且，下列判断正确的是（）A. B.的离心率等于C.双曲线渐近线的方程为 D.的内切圆半径是12．设函数，则（）A.B.函数的图象过点的切线方程为C.函数既存在极大值又存在极小值，且其极大值大于其极小值D.方程有两个不等实根，则实数的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列的公差，若成等比数列，则的值为______.14.在平面直角坐标系中，已知圆，写出满足条件“过点且与圆相外切”的一个圆的标准方程为__________.15.已知函数及其导函数的定义域均为，为奇函数，且则不等式的解集为__________．16．已知抛物线的焦点为为上一点，以线段为直径的圆与交于另外一点为圆心，为坐标原点.当时，的长为______，点到轴的距离为______.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知圆C经过点和且圆心在直线上．（1）求圆C的方程；（2）若点P为圆C上的任意一点，求点P到直线距离的最大值和最小值．18．已知等比数列的首项为2，前项和为，且.（1）求；（2）已知数列满足：，求数列的前项和.19．某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图，已知空地的一边是直路，余下的外围是抛物线的一段，的中垂线恰是该抛物线的对称轴，是的中点.拟在这块地上划出一个等腰梯形区域种植草坪，其中均在该抛物线上.经测量，直路段长为60米，抛物线的顶点到直路的距离为40米.以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.（1）求该段抛物线的方程；（2）当长为多少米时，等腰梯形草坪面积最大？20．已知函数，．（1）当时，求函数的极值；（2）当时，若函数在上的最小值为，求实数a的值．21．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知椭圆：的离心率为，椭圆上的点与点的最大距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为，过点的直线与椭圆交于点（异于点），与轴交于点，直线与直线交于点，试探究：是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.22．已知函数．（1）若在上恒成立，求的取值范围；（2）设，讨论函数的零点个数．2023-2024学年高二数学上学期期末考试全真模拟01卷（测试范围：苏教版（2019）选择性必修第一册）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．以直线为准线抛物线标准方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为抛物线的准线是直线，则该抛物线焦点在y轴上，开口向下，其标准方程为，所以所求抛物线标准方程为.故选：C2．已知，则（）A.0 B. C.2 D.【答案】D【解析】已知，得，由导数的定义可得.故选：D3．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题，双曲线的焦点坐标为：.顶点坐标为：.设椭圆方程为：，.由题有：.故椭圆方程为：.故选：D4．若直线与圆相切，则实数取值的集合为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由圆可得，表示圆心为，半径为的圆，则圆心到直线的距离，因为直线与圆相切，所以，即，解得或，即实数取值的集合为故选:B5．中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里数是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第七天走的里数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，马每天行走的里程数成等比数列，设第天行走的里数为，则数列是公比为的等比数列；由七天一共行走了700里可得，解得，所以，即该马第七天走的里数为.故选：B6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，且，，则双曲线的离心率为（）A. B. C.3 D.7【答案】A【解析】由双曲线定义知，，因为，所以，，因为，，所以中，由余弦定理得，即，化简得，所以，故选：A7．对任意数列，定义函数是数列的“生成函数”.已知，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为且，所以①，当可得，当时②，①②得，显然当时上式也成立，所以，所以，则，所以，所以.故选：D8．已知，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设，则有，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，即有，故；令，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，即，故，综上所述，则有.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知圆与圆交于A，B两点，则（）A.直线AB与直线互相垂直 B.直线AB的方程为C. D.线段AB的中垂线方程为【答案】ABD【解析】因为A，B是两个圆的公共点，所以，在线段AB的中垂线上，同理，也在线段AB的中垂线上，故A正确；所以直线即直线AB的中垂线，，，则直线的方程为，即，D正确；圆和圆的公共弦所在直线方程为，即，B正确；点到直线AB的距离为，则，C错误.故选：ABD.10．已知数列的前n项和为，，，且，则下列说法正确的是（）A.数列的通项公式为B.若，则C.数列为等比数列D.【答案】ABD【解析】对于选项A，，则，又，故数列是以首项为2，公比为2的等比数列，所以，即，故A正确；对于选项B，，则为等比数列，所以，故B正确；对于选项C，由，得，又，则数列不是等比数列，故C错误；对于选项D，易得，即，故D正确.故选：ABD11．已知，是双曲线E：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点、点，且，下列判断正确的是（）A. B.的离心率等于C.双曲线渐近线的方程为 D.的内切圆半径是【答案】ACD【解析】如图所示，因为分别是，的中点，所以中，，所以轴，A选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确；B选项中，直角中，，，，所以，得：，故B不正确；C选项中，由，即，即，即，所以双曲线的渐近线方程为：，故C正确；D选项中，的周长为，设内切圆为r，根据三角形的等面积法，有，得：，故D正确故选：ACD.12．设函数，则（）A.B.函数的图象过点的切线方程为C.函数既存在极大值又存在极小值，且其极大值大于其极小值D.方程有两个不等实根，则实数的取值范围为【答案】AD【解析】由题意可知对于A，由得，故A正确；对于B，设切点为切线方程代入点，得，化简整理得，令所以函数在的切线方程为，因为函数图象连续不断，所以存在使得，所以过点的直线与函数在之间存在切点，所以过点的切线不止一条，故B错误；对于C，的定义域为令即，解得或当时，当时，所以在和上单调递增，在和上单调递减.当时，取得极大值为，当时，取得极小值为，因为所以极大值小于极小值，故C错误；对于D，由C选项知，作出的图象如图所示要使方程有两个不等实根，只需要与有两个交点，由图可知，所以实数的取值范围为.故D正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列的公差，若成等比数列，则的值为______.【答案】【解析】由得,所以,故答案为：14.在平面直角坐标系中，已知圆，写出满足条件“过点且与圆相外切”的一个圆的标准方程为__________.【答案】（答案不唯一）【解析】设满足条件的圆的标准方程为（），则有，即，两式相减化简得.不妨取，则，故满足条件的圆的标准方程为.故答案为：（答案不唯一）15.已知函数及其导函数的定义域均为，为奇函数，且则不等式的解集为__________．【答案】【解析】设，则，故单调递减．

因为为奇函数，定义域为，所以，故．

可转化为，即．

因为单调递减，所以，解得．

故答案为：．16．已知抛物线的焦点为为上一点，以线段为直径的圆与交于另外一点为圆心，为坐标原点.当时，的长为______，点到轴的距离为______.【答案】①.②.【解析】由题意知在抛物线上，设，，如下图所示：抛物线焦点，圆心为的中点，所以由可得，即，整理可得，即；又因为为直径，且点在圆上，所以，又因为，所以，可得，又，即，整理得，联立可得，解得或（舍）所以，因此；点到轴的距离为点横坐标的绝对值，即故答案为：，四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知圆C经过点和且圆心在直线上．（1）求圆C的方程；（2）若点P为圆C上的任意一点，求点P到直线距离的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】（1）设圆心为，半径为，则圆的标准方程为.由已知可得，，解得，所以，圆的标准方程为.（2）由（1）知，圆心为，半径.圆心到直线的距离.所以，直线与圆相离.所以，点P到直线距离的最大值为，最小值为.18．已知等比数列的首项为2，前项和为，且.（1）求；（2）已知数列满足：，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）设等比数列的公比为，因为，所以，所以，所以，所以.（2）由（1）得，，所以，……①所以，……②①-②，得，所以.19．某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图，已知空地的一边是直路，余下的外围是抛物线的一段，的中垂线恰是该抛物线的对称轴，是的中点.拟在这块地上划出一个等腰梯形区域种植草坪，其中均在该抛物线上.经测量，直路段长为60米，抛物线的顶点到直路的距离为40米.以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.（1）求该段抛物线的方程；（2）当长为多少米时，等腰梯形草坪面积最大？【答案】（1）（2）20米【解析】（1）设该抛物线的方程为，由条件知，，所以，解得，故该段抛物线的方程为.（2）由（1）可设，所以梯形的面积，设，则，令，解得，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数.所以当时，取得极大值，也是最大值.故当长为20米时，等腰梯形草坪的面积最大.20．已知函数，．（1）当时，求函数的极值；（2）当时，若函数在上的最小值为，求实数a的值．【答案】（1）的极小值为，极大值为11；（2）.【解析】（1）当时，函数定义域为R，，当或时，，当时，，即函数在，上递减，在上递增，因此当时，取得极小值，当时，取得极大值，所以的极小值为，极大值为11．（2）函数，，求导得，因为，则由得，显然，当时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，而，，则函数在上的最小值为，解得，所以实数a的值为1.21．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知椭圆：的离心率为，椭圆上的点与点的最大距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为，过点的直线与椭圆交于点（异于点），与轴交于点，直线与直线交于点，试探究：是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2），理由见解析.【解析】（1）设椭圆的半焦距为，设点为椭圆上一点，则，，因为，所以，所以当时，取最大值，最大值为，由已知，所以，又椭圆的离心率为，所以，所以，故，所以椭圆的标准方程为；（2）若直线的斜率不存在，则，与已知矛盾，故设直线的方程为，令可得，故点的坐标为，联立，消可得，，方程的判别式，设，则，因为为椭圆的上、下顶点，所以，所以直线的方程为，直线的方程为，设，联立直线