重庆市重点中学2023-2024学年高二上学期期末数学模拟试卷（含答案）

高二上学期期末数学模拟试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知等差数列的前n项和为,若,,则()A.30 B.36 C.42 D.562、点关于平面yOz对称的点的坐标是()A. B. C. D.3、抛物线的准线方程是()A. B. C. D.4、已知双曲线C的中心在坐标原点,其中一个焦点为,过F的直线l与双曲线C交于A、B两点,且AB的中点为,则C的离心率为()A. B. C. D.5、在等比数列中，，，则()A.或 B. C.或 D.或6、如图,二面角等于,是棱上两点,分别在半平面内,,,且,则的长等于()A. B. C.4 D.27、已知在等差数列中，，，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则整数m的最小值是().A.5 B.4 C.3 D.28、已知椭圆的两焦点为，，x轴上方两点A，B在椭圆上，与平行，交于P.过P且倾斜角为的直线从上到下依次交椭圆于S，T.若，则“为定值”是“为定值”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不必要也不充分条件二、多项选择题（全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，共20分）9、若直线与圆相切，则的取值可以是（）A. B. C.2 D.10、关于x,y的方程(其中)表示的曲线可能是()A.焦点在y轴上的双曲线 B.圆心为坐标原点的圆C.焦点在x轴上的双曲线 D.长轴长为的椭圆11、已知数列的前n项和为，，若存在两项，，使得，则下列结论中正确的是()A.数列为等比数列B.数列为等差数列C.为定值D.设数列的前n项和为，，则数列为等差数列12、如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为底面ABCD内一动点（含边界），则下列说法正确的是()A.过点，E，的平面截正方体所得的截面周长为B.存在点F，使得平面C.若平面，则动点F的轨迹长度为D.当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为三、填空题（每小题5分，共20分）13、已知直线与圆相切，则______.14、已知直线与直线垂直,则实数a的值为___________.15、已知数列满足,,则数列的首项__________16、已知抛物线的焦点为F,,过点M作直线的垂线,垂足为Q,点P是抛物线C上的动点,则的最小值为____________.四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、设为等差数列的前项和，.(1)求数列的通项公式(2)若成等比数列，求.18、已知三角形的顶点边上的中线所在的直线方程为边上的高所在直线的方程为.(1)求三角形的顶点的坐标.(2)若圆经过不同的三点且斜率为的直线与圆相切于点,求圆的方程.19、如图,在三棱锥中,,,O为AC的中点.（1）证明：平面ABC;（2）若点M在棱BC上,且二面角为,求PC与平面PAM所成角的正弦值.20、如图,在四棱锥中,平面ABCD,,且,,,,,N为PD的中点．（1）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；（2）在线段PD上是否存在一点M,使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为,若存在,求出的值；若不存在,说明理由．21、在数列中，任意相邻两项为坐标的点均在直线上，数列满足条件：，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.22、已知椭圆C的中心在坐标原点,两焦点,在x轴上,离心率为,点P在C上,且的周长为6.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点的动直线l与C相交于A,B两点,点B关于x轴的对称点为D,直线AD与x轴的交点为E,求的面积的最大值.高二上学期期末数学模拟试卷--详解一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知等差数列的前n项和为,若,,则()A.30 B.36 C.42 D.56答案：B解析：因为,,由等差数列的性质可知、、成等差数列,所以,,所以,.故选：B.2、点关于平面yOz对称的点的坐标是()A. B. C. D.答案：A解析：由空间直角坐标系的性质可知,点关于平面yOz对称的点的坐标是.故选：A.3、抛物线的准线方程是()A. B. C. D.答案：B解析：抛物线方程化成标准方程为：,所以,且抛物线开口向上.所以抛物线准线为：.故选：B.4、已知双曲线C的中心在坐标原点,其中一个焦点为,过F的直线l与双曲线C交于A、B两点,且AB的中点为,则C的离心率为()A. B. C. D.答案：B解析：由F、N两点的坐标得直线l的斜率.双曲线一个焦点为,.设双曲线C的方程为,则.设,,则,,.由,得,即,,易得,,,双曲线C的离心率.故选：B.5、在等比数列中，，，则()A.或 B. C.或 D.或答案：A解析：设等比数列的公比为q.由等比数列的性质可得.又，所以或若则，此时；若则，此时.故选A.6、如图,二面角等于,是棱上两点,分别在半平面内,,,且,则的长等于()A. B. C.4 D.2答案：C解析：由二面角的平面角的定义知,,由,得,又,,所以,即,故选：C.7、已知在等差数列中，，，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则整数m的最小值是().A.5 B.4 C.3 D.2答案：B解析：易得，设，则，所以，从而，解得，又，故.8、已知椭圆的两焦点为，，x轴上方两点A，B在椭圆上，与平行，交于P.过P且倾斜角为的直线从上到下依次交椭圆于S，T.若，则“为定值”是“为定值”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不必要也不充分条件答案：D解析：设为椭圆上的动点，c为椭圆的半焦距，故，故，设直线，则到该直线的距离为，故，如图，设直线的倾斜角为y，过M作l的垂线，垂足为s，则，故，设，故，同理.设的倾斜角为，则，，因为，故，所以，所以，同理，故，故p的轨迹为以，为焦点的椭圆，其长半轴长为，短半轴长为，故p的轨迹方程为：，其中.取，，而，故不是定值即不是定值.故“当取定值，是定值”是错误的.又直线的参数方程为：，设，由整理得到：，故，而，故，所以，若为定值，则为定值，而，故当变化时，始终为定值，又故且，但，，故，所以，但此时随的变化而变化，不是定值，故“当取定值，是定值”是错误的.故选：D.二、多项选择题（全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，共20分）9、若直线与圆相切，则的取值可以是（）A. B. C.2 D.答案：AC解析：因直线与圆相切，所以，解得：.故选：AC10、关于x,y的方程(其中)表示的曲线可能是()A.焦点在y轴上的双曲线 B.圆心为坐标原点的圆C.焦点在x轴上的双曲线 D.长轴长为的椭圆答案：BC解析：对于A：若曲线表示焦点在y轴上的双曲线,则,无解,选项A错误;对于B：若曲线表示圆心为坐标原点的圆,则,解得,选项B正确;对于C：若曲线表示焦点在x轴上的双曲线,则,所以或,选项C正确;对于D：若曲线表示长轴长为的椭圆,则,,则或,无解,选项D错误.故选：BC.11、已知数列的前n项和为，，若存在两项，，使得，则下列结论中正确的是()A.数列为等比数列B.数列为等差数列C.为定值D.设数列的前n项和为，，则数列为等差数列答案：ACD解析：数列的前n项和为，，则当时，，解得；当时，，所以，整理，得，即（常数），所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，当时也符合，所以，故A正确，B错误；由于，故存在两项，，使得，即，则，故C正确；由题意，得，所以，所以符合一次函数的形式，故该数列为等差数列，故D正确.故选ACD.12、如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为底面ABCD内一动点（含边界），则下列说法正确的是()A.过点，E，的平面截正方体所得的截面周长为B.存在点F，使得平面C.若平面，则动点F的轨迹长度为D.当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为答案：ACD解析：A选项，如图，取AB的中点G，连接，，因为E为BC的中点，所以，，所以过点，E，的平面截正方体所得的截面为梯形，其周长为，故A选项正确；B选项，假设存在点F，使得平面，由，得F只能在线段BD上，再由，得F只能在线段CD上，即F与D重合，不符合题意，故B选项错误；C选项，如图，取AD的中点M，CD的中点N，连接，，，可得，，又平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又，所以平面平面，所以动点F的轨迹为线段MN，其长度为，故C选项正确；D选项，由A，C选项可得，平面平面，所以当F在点D时，F到平面的距离最大，此时为等边三角形，因为平面，所以三棱锥的外接球球心一定在直线上，以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，由得，，解得，所以，所以三棱锥外接球的表面积为，故D选项正确.故选ACD.三、填空题（每小题5分，共20分）13、已知直线与圆相切，则______.答案：解析：由点到直线的距离公式可得，故答案为：.14、已知直线与直线垂直,则实数a的值为___________.答案：0或3解析：因为直线与直线垂直,则,解得或.故答案为：0或3.15、已知数列满足,,则数列的首项__________答案：2解析：因为,令,则,解得;令,则,解得.故答案为：2.16、已知抛物线的焦点为F,,过点M作直线的垂线,垂足为Q,点P是抛物线C上的动点,则的最小值为____________.答案：解析：由得,所以直线过点.连接AM,则,由题意知点Q在以AM为直径的圆上,设,所以点Q的轨迹方程为（不包含点）,记圆的圆心为,过点Q,P,N分别作准线的垂线,垂足分别为B,D,S,连接DQ,则,当且仅当B,P,Q,N四点共线且点Q在PN中间时等号同时成立,所以的最小值为.故答案为;四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、设为等差数列的前项和，.(1)求数列的通项公式(2)若成等比数列，求.答案：解:（1）设等差数列的公差为，为等差数列的前项和，，．∴，解得，.（2）由（1）知．、、成等比数列，，即，解得，因此，18、已知三角形的顶点边上的中线所在的直线方程为边上的高所在直线的方程为.(1)求三角形的顶点的坐标.(2)若圆经过不同的三点且斜率为的直线与圆相切于点,求圆的方程.答案：1.边上的高所在直线的方程为,所以直线的方程为:,又直线的方程为:,联立得,解得,所以设,则的中点,代入方程,解得,所以.

2.由,可得,圆的弦的中垂线方程为注意到也是圆的弦,所以圆心在直线上,设圆心坐标为,因为圆心在直线上,所以①,又因为斜率为的直线与圆相切于点,所以,即,整理得②,由①②解得,所以圆心,半径故所求圆方程为,即

19、如图,在三棱锥中,,,O为AC的中点.（1）证明：平面ABC;（2）若点M在棱BC上,且二面角为,求PC与平面PAM所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析;（2）.解析：（1）因为,O为AC的中点,所以,且.连结OB.因为,所以为等腰直角三角形,且,,由知.由,知,PO平面ABC.（2）［方法一］：【通性通法】向量法如图,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系.由已知得,,,,.取平面PAC的法向量,设,则.设平面PAM的法向量为.由,,得,可取所以.由已知得.所以.解得(舍去),,所以.又,所以,所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.［方法二］：三垂线＋等积法由（1）知PO平面ABC,可得平面PAC平面ABC,如图5.在平面ABC内作,垂足为N,则MN平面PAC.在平面PAC内作,垂足为F,联结MF,则,故为二面角的平面角,即.设,则,,在中,.在中,由,得,则.设点C到平面PAM的距离为h,由,得,解得,则PC与平面PAM所成角的正弦值为.［方法三］：三垂线＋线面角定义法由（1）知PO平面ABC,可得平面PAC平面ABC,如图6.在平面ABC内作,垂足为N,则MN平面PAC.在平面PAC内作,垂足为F,联结MF,则,故为二面角的平面角,即.同解法1可得.在中,过N作,在中,过N作,垂足为G,联结EG.在中,.因为,所以.由PA平面FMN,可得平面PAM平面FMN,交线为FM.在平面FMN内,由,可得NG平面PAM,则为直线NE与平面PAM所成的角.设,则,又,所以直线PC与平面PAM所成角的正弦值为.［方法四］：【最优解】定义法如图7,取PA的中点H,联结CH,则.过C作平面的垂线,垂足记为T（垂足T在平面PAM内）.联结HT,则即为二面角的平面角,即,得.联结PT,则为直线PC与平面PAM所成的角.在中,,所以.20、如图,在四棱锥中,平面ABCD,,且,,,,,N为PD的中点．（1）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；（2）在线段PD上是否存在一点M,使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为,若存在,求出的值；若不存在,说明理由．答案：（1）（2）存在；解析：（1）过A作,垂足为E,可得：,由题意知,可以A点为坐标原点,分别以AE,AB,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则,,,,,,设