随机过程总复习课件

随机过程总复习函数期望当X为离散型随机变量则

当X为连续型随机变量，则2.方差计算方差时通常用下列关系式：称随机变量的期望为X的方差，即

3．性质（1）（2）

（3）若X和Y相互独立，则计算协方差时通常用下列关系式：二、协方差

三、矩母函数1．定义为X的矩母函数2．原点矩的求法称的数学期望利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对逐次求导并计算在点的值：3．和的矩母函数定理1

设相互独立的随机变量的矩母函数分别为，，…，，则其和的矩母函数为…n个相互独立的随机变量之和的矩母函数等于它们的矩母函数之积.

四、特征函数特征函数

设X为随机变量，称复随机变量的数学期望为X的特征函数，其中t是实数。还可写成特征函数与分布函数相互唯一确定。性质则和设相互独立的随机变量的特征函数分别为，，…，的特征函数为…n个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们的特征函数之积.练习:设随机变量X的概率密度函数为试求X的矩母函数。解：练习解由于所以设随机变量X服从参数为的泊松分布，求X的特征函数。练习

设随机变量X服从[0，2]上的均匀分布，求X的特征函数。解X的概率密度为所以练习解:推广条件分布函数与条件期望离散型若，则称为在条件下，随机变量Y的条件分布律。为在条件下，随机变量X的条件分布律。同样1、条件分布函数的定义连续型同样称为在条件下，随机变量X的条件分布律。称为在条件下，随机变量Y的条件分布律。注意：分母不等于02、条件期望的定义离散型其中连续型其中条件概率密度3、全数学期望公式定理

对一切随机变量X和Y，有连续型是随机变量Y的函数，当时取值因而它也是随机变量。离散型设二维随机向量（X，Y）的联合概率密度为解：练习:练习:对于随机变量X和Y，满足条件则有练习:若随机变量X和Y相互独立，满足条件则有

一矿工困在矿井中，要到达安全地带，有三个通道可选择，他从第一个通道出去要走1个小时可到达安全地带，从第二个通道出去要走2个小时又返回原处，从第三个通道出去要走3个小时也返回原处。设任一时刻都等可能地选中其中一个通道，试问他到达安全地点平均要花多长时间。练习解

设X表示矿工到达安全地点所需时间，Y表示他选定的通道，则所以这几个结论在鞅过程中反复用。

先对一个适当的随机变量取条件,不仅使我们能求得期望,也可以用这种方法计算概率.以A记一个任意的事件且定义示性随机变量X为从X的定义得到因此,我们得到全期望公式全概率公式独立随机变量和的分布

一般地，对有界函数G(x)和单调函数F(x)，都可以定义F与G的卷积。注意：G*F可能没有意义。但当F和G都是分布函数时，满足交换率，还满足结合率和分配率。重要公式第二章复习内容随机过程的分类T离散、I离散 T离散、I连续参数T状态I分类T连续、I离散T连续、I连续Poisson过程是参数

状态

的随机过程.Brown运动是参数

状态

的随机过程.离散连续连续连续问:Markov过程和鞅过程呢？（不特定，四种都有）练习

袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量试求这个随机过程的一维分布函数族。分析先求的概率分布所以解P随机过程的数字特征2．方差函数1．均值函数3．协方差函数注4．自相关函数注Poisson过程及Brown运动的自相关函数及协方差函数等。5．互协方差函数6．互相关函数练习解求:(1)均值函数;(2)协方差函数;(3)方差函数。（1）（2）（3）练习解:练习解试求它们的互协方差函数。所以1.严平稳过程定义1则称为严平稳过程若对任意的和任意的严平稳过程的有限维分布关于时间是平移不变的.2.宽平稳过程定义2如果它满足：则称为宽平稳过程，简称平稳过程因为均值函数注:(3)可等价描述为:注2注1严平稳过程不一定是宽平稳过程。因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。宽平稳过程也不一定是严平稳过程。因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间而推移。练习解:的随机变量序列,则令练习独立增量过程

重要结论:Poisson过程和Brown运动都是独立平稳增量过程.它们本身都不是平稳过程.问：Poissin过程（或更新过程）中，事件发生（更新）的时刻是不是独立增量过程？定义3.1.1第三章复习内容定义3.1.2定义3.1.2的等价定义显见Poisson过程本身不是平稳过程，其增量是平稳过程。解:练习:设N(t)是参数为的Poisson过程,事件发生时刻在已知N(t)=2的条件下的联合概率密度为_____.练习:重要结论例2：一理发师在t=0时开门营业,设顾客按强度为λ的泊松过程到达.若每个顾客理发需要a分钟,a是正常数.求第二个顾客到达后不需等待就马上理发的概率及到达后等待时间S的平均值.解：设第一个顾客的到达时间为T1，第二个顾客的到达时间为T2。令X2=T2-T1，则第二个顾客到达后不需等待等价于X2>a。由定理知X2服从参数为λ的指数分布，故等待时间解:没被维修过的概率练习:维修过一次的概率考虑一特定保险公司的全部赔偿，设在[0,t]内投保死亡的人数N(t)是发生率为的泊松过程。设是第n个投保人的赔偿价值，独立同分布。表示[0,t]内保险公司必须付出的全部赔偿。练习:解：第四章复习内容Poisson过程是更新过程.是事件发生的时间间隔为独立同指数分布的更新过程.更新过程的参数可以为离散的,也可以为连续的.但状态是离散的.它是计数过程.更新函数更新密度卷积的定义练习:判断下列命题是否正确()()(

)()√×√×更新方程更新方程的唯一有界的解其中三个更新定理第五章复习内容马尔可夫性即无后效性.状态的分类及性质是重点互通,类,不可约,周期等概念.状态i非常返常返正常返零常返平稳分布与极限分布(重点)研究状态的关系(重点)练习:设马氏链的状态空间为I={1，2，3，4}，其一步转移矩阵为画出状态转移图.10.60.20.20.71120.3341练习设今日有雨，则明日也有雨的概率为0.7，今日无雨明日有雨的概率为0.5，求星期一有雨，星期三也有雨的概率。解:其为有两个状态的马尔可夫链，有雨记为1，无雨记为0，一步转移概率矩阵为例设马氏链的状态空间为{1,2,3},一步转移矩阵为解:状态转移图如下:①②③①②③因此,状态3为正常返态,且为吸收态.因此,状态1和2为非常返态,练习：设马氏链的状态空间为{1,2},一步转移矩阵为解:①②练习：设马氏链的状态空间为{1,2},一步转移矩阵为解:①②状态转移图如右:①②两状态互通，周期为1，故对于不可约的有限马氏链是正常返的.练习：设马氏链的状态空间为{1,2},一步转移矩阵为解:显然,此链具有遍历性。由解得练习：设马氏链的状态空间为{1,2,3},一步转移矩阵为解:练习：设马氏链的状态空间为{1,2,3},一步转移矩阵为解:(3)经两步转移后处于状态3的概率为练习:P91,例5.1.2注:Markov链的转移概率是条件概率.设马氏链的状态空间为{1,2,3,4},一步转移矩阵为试研究其状态关系.解:状态转移图如下:①②③④练习状态分为三类{1,2},{3},{4}①②③④故状态1与2都是正常返状态,又因周期都是1,故都为遍历状态.故状态3是非常返状态.故状态4是吸收状态.练习设马氏链的状态空间为{1,2},一步转移矩阵为解：练习设马氏链的状态空间为{1,2},一步转移矩阵为解:根据实际问题要会求转移概率矩阵,有些实际问题是用频率来估计概率的.如课本P109例5.3.7Poisson过程和生灭过程是连续时间离散状态的Markov过程.Brown运动是连续时间连续状态的Markov过程.第六章复习内容了解上鞅,下鞅,鞅的定义证明时所用条件期望基本公式

、上鞅

上鞅

、下鞅

下鞅

上鞅下鞅

上鞅

下鞅上鞅

下鞅

下鞅

上鞅若为下鞅，为上鞅，则有()为下鞅

A为上鞅

B为下鞅

C为上鞅

D练习:设为一族独立随机变量序列，且，令则当时，关于是下鞅。时，关于是上鞅。时，关于是鞅。第七章复习内容Brown运动的定义(1)(2)(3)(4)(5)(