高中数学人教A版必修4第一章《1.1.2 弧度制》获奖教学设计及高中数学平面向量专题复习(含例题练习)

PAGE8题目：“弧度制”教学设计学校北京十中姓名王翯联系方课题：1.1.2弧度制一、教材分析：

1、教材地位与作用：本节课是普通高中实验教科书人教A版必修4第一章第一节第二课时。本节课起着承上启下的作用：在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”

，并且上节课学了任意角的概念，将角的概念推广到了任意角；本节课作为三角函数的第二课时，该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备，因此本节课还起着启下的作用。通过本节弧度制的学习，我们很容易找出与角对应的实数而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便。

2、教材内容分析：

新的教育理念认为：数学教学过程就是学生对有关的数学内容进行探索，实践与思考的过程，所以学生应当成为学习活动的主体，教师应成为学习活动的组织者、引导者与合作者。在教学中教师首先应考虑的是要充分调动学生的主动性与积极性，引导学生开展观察、比较、概括、推理、交流等多种形式的活动，使学生通过这些活动，掌握基本的数学知识与技能。教师在发挥组织、引导作用的同时，又是学生的合作者。教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．从学生熟悉的基本单位转换入手，体会不同的单位制能给解决问题带来方便，引导学习去思考寻找另一种的单位制度量角，接下来用四点来分析教材的内容：

（1）要弄清1弧度的意义。弧度制与角度制一样，只是度量角的一种方法，但由于学生有先入为主的想法，所以学起来有一定的困难，首先必须清楚1弧度的概念，它与所在圆的半径大小无关。其次弧度制与角度制相比有一定的优点，一是在进位上角度制在度、分、秒上是60进制，而弧度制却是十进制，其二在弧长和扇形的面积的表示上弧度制也比角度制简单：

（2）通过实例和几何画板演示，来讲述1弧度的含义，这样便于学生概念的理解，通过弧度制与角度制对比来分析、说明应用弧度制的度量比应用角度制的度量方法是否具有优越性；

（3）关于弧度与角度二者的换算，教学时应抓住：

弧度；弧度由问题3应让学生知道，无论是利用角度制还是弧度制，都能在已知弧长和半径的情况下推出扇形面积公式，但利用弧度制来推导要简单中些．

二、学情分析

在本节课中，学生已具备了以下学习条件：

1、知识基础：学生在初中已经学过角的度量单位“度”

并且上节课学了任意角的概念，学生已掌握了角的概念的推广，也具备角度制下的一些结论，如1度的角、弧长公式和扇形面积公式，这是学习本节课的知识基础。

2、心理准备：目前只知道角可以用度为单位进行度量，在寻找另一种的单位制度量角的时候思维受挫是学生学习本节课的内在动机。

3、材料基础：教材内容的组织由浅入深、循序渐进。

三、教学目标：1．理解1弧度的角的意义，了解弧度制的概念，领会定义的合理性；了解角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系；2．在亲历知识的建构过程中，渗透数形结合、特殊到一般等思想方法；3．体验角度制与弧度制的区别、联系与转化，能进行角度与弧度的换算，牢记特殊角的弧度数。四、教学重点与难点：1、教学重点：弧度制的概念；弧度与角度的换算2、教学难点：弧度制的概念五、教学策略与手段：采用探究式教学，以问题串的形式引导学生得到弧度制的概念、深入理解概念并应用概念。利用PPT和几何画板课件静态动态相结合，展示1弧度的角，帮助学生深入理解概念。六、教学基本流程：创设创设情境探究新知得到概念深入探究理解概念巩固新知应用概念总结归纳提高升华七、教学过程：（一）复习引入1、上节课我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角。这些角都是用“度”来度量的，这种用“度”作单位来度量角的制度称为角度制。回忆一下，在角度制中，1度的角是如何定义的？弧长公式与扇形面积公式是什么？2、在我们度量长度时，有时用“米”作单位，有时用“尺”作单位，有不同的单位制，度量重量时，可以使用“千克”、“磅”等不同的单位制，角的度量除了角度制外，是否也能用不同的单位制呢？（二）新课讲授问题一：圆心角，当半径为1，2，3，4时，计算圆心角所对弧长与半径的比值。用几何画板演示:（1）当圆心角不变，半径变化时，是定值；（比值是一个实数，因此是10进制，比角度的60进制用起来更习惯）（2）若半径不变，圆心角变化时，随圆心角的变化而变化。因此，弧长与半径的比只与圆心角的大小有关，与半径大小无关，我们可以用这个比值来度量角，这就是度量角的另一种单位制——弧度制。与角度制中先定义1度角的大小一样，我们也要先定义1弧度的角：定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。几何画板演示：（1）1弧度的角=1，此时（是一个比的角略小的角）。（2）观察2弧度、3弧度的角，根据定义思考它们所对的弧长与半径是什么关系？（思考：若弧度，则弧长与半径的数量关系是？）xAyBxAyBO问题二：根据定义，如何度量一个角的弧度数？请填写下面的表格并思考：如图，半径为的圆，圆心与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B，填写下表：弧的长OB旋转的方向的弧度数的角度数逆时针方向逆时针方向1-20思考问题：1．OB旋转的方向决定了角的_______，也决定了的弧度数的_______。2．若一个半径为的圆的圆心角所对的弧长是，则的弧度数是多少？3．角度与弧度都用来度量角，它们之间一定可以换算。那么它们的关系是什么？如何换算？学生讨论，填表，回答问题，老师引导得出下列结论：结论：1．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零。这样就在角的集合与实数集之间建立了一一对应关系。2．如果半径为的圆的圆心角所对弧的长为，那么角的弧度数的绝对值是。即的值就是弧长中有多少个半径。这里，的正负由角的终边的旋转方向决定。3．弧度，弧度。练习：填写特殊角的度数与弧度数的对应表度弧度问：的角等于多少弧度？1弧度的角等于多少度？（弧度弧度；弧度）你能完成下面的换算吗？例1（1）把下列角度化为弧度；。（2）把下列弧度化为角度2弧度；弧度。（学生板演）解：（1）弧度=弧度（弧度=弧度）弧度=弧度（2）2弧度=弧度注：用弧度制表示角时，“弧度”可略去不写。如表示2弧度的角，就表示弧度的角；角度表示角时，单位“度”不能省略。问题三：在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式可以写成什么形式？你能推导吗？（用表示半径，表示弧长，表示扇形面积，表示圆心角的弧度数，（（学生思考，展示推导过程）弧长公式：由公式及可得：。扇形面积公式：解：因为，，其中表示圆心角的度数，所以。（用圆心角的弧度数表示扇形面积）又因为，所以有（用弧长表示扇形面积）。注：弧度制下，弧长公式和扇形面积公式简单了，这也是引入弧度制的好处。例2（1）写出与角终边相同的角的集合；（2）终边在y轴上的角的集合。解：（1）与角终边相同的角的集合：（2）终边在y轴上的角的集合：。注：在同一个式子中，角度与弧度不能混用。（三）课堂小结：今天我们学习了一种新的度量角的单位制—弧度制：（1）我们定义了1弧度的角，在这个定义下，角的弧度数的绝对值：（2）弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应关系；（3）角度制与弧度制是度量角的两种单位制，它们之间可以进行换算；（6世纪，印度人孕育着最早的弧度制概念，1748年，数学家欧拉明确提出了弧度制思想，简化了三角公式及计算，从弧长公式与扇形面积公式可见一斑。今后的学习中，我们将尽量采用弧度制。）（四）课后作业：（五）板书设计：弧度制一、1弧度的角定义二、公式三、弧度例题八、教学反思：弧度制是一节概念课，学生理解起来是比较困难的，这也给上课带来了一定的难度。如何突破难点，让学生接受弧度这一新的单位制，比较顺畅的理解概念并能应用是我备课中重点考虑的问题。基于上述考虑，我在备课中设计了几个环节：（1）引入：通过让学生亲自计算，再用几何画板展示，让学生体会用度量角的合理性，从而比较顺利的引出1弧度角的概念。（2）概念理解：通过用几何画板演示1弧度角的大小，观察2弧度角，3弧度角，让学生直观理解1弧度角的概念。（3）探究活动：让学生填写表格，并提出思考问题，在填表过程中让学生总结归纳出角的弧度绝对值公式以及角度与弧度的换算关系。（4）知识应用，在应用过程中让学生体会引入弧度制的必要性。（5）弧度制是一种新的度量角的单位制，其中蕴含着丰富的数学文化，教材的旁白中也有体现。在教学设计中充分利用了教材中的旁白，渗透数学文化教育。专题八平面向量一、复习要求一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线；6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_______向量的表示1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。如（1）若，则______（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.B.C.D.（3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____（4）已知中，点在边上，且，，则的值是___四．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。五．平面向量的数量积：1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作，称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。2．平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）△ABC中，，，，则_________（2）已知，与的夹角为，则等于____（3）已知，则等于____（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____3．在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。如已知，，且，则向量在向量上的投影为______4．的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。5．向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：①；②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；③非零向量，夹角的计算公式：；④。如（1）已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______（2）已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_________六．向量的运算：1．几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；②向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如化简：①___；②____；③_____2．坐标运算：设，则：①向量的加减法运算：，。如（1）已知点，，若，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上（2）已知，，则②实数与向量的积：。③若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设，且，，则C、D的坐标分别是__________④平面向量数量积：。如已知向量＝（sinx，cosx）,＝（sinx，sinx）,＝（－1，0）。（1）若x＝，求向量、的夹角；（2）若x∈，函数的最大值为，求的值⑤向量的模：。如已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝_____⑥两点间的距离：若，则。七．向量的运算律：1．交换律：，，；2．结合律：，；3．分配律：，。如下列命题中：①；②；③；④若，则或；⑤若则；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正确的是______提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？八．向量平行(共线)的充要条件：＝0。如(1)若向量，当＝_____时与共线且方向相同（2）已知，，，且，则x＝______（3）设，则k＝_____时，A,B,C共线九．向量垂直的充要条件：.特别地。如(1)已知，若，则（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是________（3）已知向量，且，则的坐标是________十．向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).（3）在中，①若，则其重心的坐标为。如若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______②为的重心，特别地为的重心；③为的垂心；④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；（4）向量中三终点共线存在实数使得且.如平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,,若点满足,其中且,则点的轨迹是_______四：同步练习2012年高考文科数学解析分类汇编：平面向量一、选择题1．（2012年高考（重庆文））设,向量且,则 （）A． B． C． D．3．