第9章自相关课件

06一月2024第9章自相关第9章自相关性一、自相关的概念二、自相关产生的背景与原因三、自相关性的后果四、自相关性的检验五、自相关问题的处理方法1/6/20242CopyrightByShujianXiang§9.1问题的性质§9.1.1自相关的概念在回归模型中我们总假定不同时点的随机误差项之间是不相关的，即如果一个回归模型不满足上述假设，即

则我们称随机误差项之间存在自相关现象。

1/6/20243CopyrightByShujianXiang如果仅存在称为一阶自相关，这是最常见的一种自相关问题。自相关不是指两个或两个以上的变量之间的相关关系，而是指一个变量前后期数值之间存在的相关关系。自相关又称自相关。本章主要讨论自相关现象产生的背景和原因，自相关现象对回归分析带来的影响，诊断自相关是否存在的方法，以及如何克服自相关现象带来的影响。

1/6/20244CopyrightByShujianXiang1/6/20245CopyrightByShujianXiang§9.1.2自相关产生的背景与原因1.经济变量的惯性2.设定偏误Ⅰ：遗漏关键变量3.设定偏误Ⅱ：采用错误的回归函数形式4.蛛网现象可能带来序列的自相关性：5.滞后效应：如当期收入和前期消费影响当期消费支出6.对数据加工整理：①如根据季度数据计算月平均值以烫平波动；②数据的内插或外推。虽然自相关问题经常出现在时间序列数据中，有时也会出现的横截面数据中。1/6/20246CopyrightByShujianXiang1/6/20247CopyrightByShujianXiang1/6/20248CopyrightByShujianXiang§9.2出现自相关时的OLS估计量如果存在自相关，假设有下式成立：(9.2.1)被称为马尔可夫一阶自回归模式1/6/20249CopyrightByShujianXiang如果存在自相关，如AR(1)，β2的OLS估计量：β2的方差则为：如果没有自相关，β2的OLS估计量：1/6/202410CopyrightByShujianXiang§9.3出现自相关时的BLUE估计量如果存在类似AR(1)的自相关，可以证明β2的BLUE估计量和方差分别为：存在自相关时，GLS估计量是BLUE，而OLS则不是。1/6/202411CopyrightByShujianXiang§9.4出现自相关时的BLUE估计量§9.4.1考虑到自相关的OLS估计如前所述，不是BLUE，即使我们使用由此得到的回归系数的估计区间也可能比根据GLS方法得到的要宽一些。因此，尽管OLS估计量仍具有无偏性和一致性，但不是有效估计量（方差最小性），为了建立良好的置信区间并检验假设，建议使用GLS而不用OLS.置信区间如图12.4所示。1/6/202412CopyrightByShujianXiang1/6/202413CopyrightByShujianXiang§9.4.2忽略自相关的OLS估计的后果1、残差方差很可能低估真实的2、有可能高估判定系数R2.4、通常的t和F显著性检验可能无效。如果满足经典假设，则有：若出现类似AR(1)的自相关，则有1/6/202414CopyrightByShujianXiang§9.4.3蒙特卡罗实验说明方差被低估的情况1/6/202415CopyrightByShujianXiang1/6/202416CopyrightByShujianXiang1/6/202417CopyrightByShujianXiang1/6/202418CopyrightByShujianXiang1/6/202419CopyrightByShujianXiang1/6/202420CopyrightByShujianXiang补充：对于时间序列数据构造回归模型其一般线性回归模型可表示为：式中随机误差项往往前后期相关，即自相关。自相关的表现形式有多种，对于多数经济现象而言，其现期数值受过去近期的数值影响较大，而受过去远期的数值影响较小，并且时间的间隔越远，其影响就越小。1/6/202421CopyrightByShujianXiang一阶自回归形式这种形式的自相关可用一阶自回归形式来描述，且系数ρ要限制为：且假设：在假定下，一阶自回归过程是平稳的，即随机误差项ut的均值、方差和各阶协方差都为常数，并不随时间的改变而改变。

1/6/202422CopyrightByShujianXiang平稳序列随机误差项的特征将随机误差项ut的各期滞后值代入一阶自回归模型得到：

1/6/202423CopyrightByShujianXiang随机误差的期望与方差这表明回归模型的随机误差项可表示为独立同分布的随机误差序列的加权和，权数分别为1,ρ，ρ2,…。当0<ρ<1时，这些权数随时间推移而几何衰减；而当-1<ρ<0时，这些权数是随时间推移而交错振荡衰减。可以得到ut的期望和方差分别为：1/6/202424CopyrightByShujianXiang由于现期的随机误差vt并不影响回归模型中随机误差项ut的以前各期值ut-k，所以有：

1/6/202425CopyrightByShujianXiang可得模型随机误差项ut与其以前各期ut-k的协方差：1/6/202426CopyrightByShujianXiang递推这一过程，可得间隔任意k期的协方差为：由这些自协方差和方差，可得ut与其以前各期ut-k的相关系数为：

1/6/202427CopyrightByShujianXiang此相关系数称为模型随机误差项的k阶自相关系数，ρ为一阶自相关系数。

1/6/202428CopyrightByShujianXiang回归模型的随机误差向量的协方差矩阵

1/6/202429CopyrightByShujianXiang式中Ω为对称正定矩阵，有在自相关情形下，虽然随机误差的协方差矩阵的主对角线元素相同，满足同方差假设，但其非主对角线的元素非零，不能满足的经典假设。最小二乘估计量是无偏的，但非有效。

1/6/202430CopyrightByShujianXiang§9.5侦察自相关性常用的自相关检验法有三种：（一）图示检验法（二）回归检验法（三）自相关系数法（四）D.W.检验1/6/202431CopyrightByShujianXiang§9.5.1图示检验法图示法是一种直观的诊断方法，它是把给定的回归模型直接用普通最小二乘法估计参数，求出残差项，再描绘残差的散点图，根据残差的相关性来判断随机误差项的自相关性。残差的散点图通常有两种绘制方式。1/6/202432CopyrightByShujianXiang1.绘制et(Y轴),et-1(X轴)的散点图。如果大部分点落在第一、三象限，表明随机误差项存在着正的自相关；如果大部分点落在第二、四象限，那么随机误差项存在负的相关。2.按照时间顺序绘制残差的图形，t是x轴，et表示y轴。如果随机误差项随着t的变化逐次有规律地变化，呈现锯齿形或循环形状的变化，就可断言存在相关，表明残差存在自相关。1/6/202433CopyrightByShujianXiang相关的方向则根据残差变化的符号来判断：如果残差随时间不断地改变符号，则存在负相关，此现象称为蛛网现象；如果残差随时间变化逐次变化但并不频繁地改变符号，即几个正的残差后面跟着几个负的残差，则表明随机误差项存在正的自相关。

1/6/202434CopyrightByShujianXiang§9.5.2回归检验法首先以普通最小二乘法估计模型的参数，计算随机误差项的近似估计量—残差估计量；以残差估计量为被解释变量，以各种可能相关量，如滞后一阶残差、滞后二阶残差、残差平方等为解释变量，建立各种回归方程：1/6/202435CopyrightByShujianXiang对方程进行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数关系，使得方程显著成立，则说明原模型存在自相关性。回归检验法的优点是一旦确定了模型存在自相关性，也就同时知道了相关的形式，而且它适用于任何类型的自相关性问题的检验。

1/6/202436CopyrightByShujianXiang§9.5.3自相关系数法用误差的估计值残差计算其自相关系数的估计值：由于自相关系数的估计值与样本量有关，需要进行统计显著性检验才能确定自相关性的存在，通常采用DW检验来代替对自相关系数估计值的检验。1/6/202437CopyrightByShujianXiang§9.5.4D.W.检验它是J.Durbin和G.S.Watson于1951年提出的一种适用于小样本的一种检验方法。DW检验只能用于检验随机误差项具有一阶自回归形式的自相关问题。它是建立经济计量学模型中最常用的方法，一般计算机软件都可以计算出DW值。1/6/202438CopyrightByShujianXiangDW统计量随机误差项的一阶自回归形式为：为了检验自相关性，构造的假设是：H0：ρ=0构造的统计量为：

1/6/202439CopyrightByShujianXiang下面推导出DW值的取值范围。利用了

1/6/202440CopyrightByShujianXiangDW与自相关系数的对应关系表

自相关系数估计值DW误差项的自相关性-1(-1,0)0(0,1)14(2,4)2(0,2)0完全负自相关负自相关无自相关正自相关完全正自相关1/6/202441CopyrightByShujianXiang根据样本容量和解释变量的数目（含常数项）查DW分布表，得到临界值dL和dU，然后依下列准则考察计算得到的DW值，以决定模型的自相关状态。0≤DW≤dL存在着相关dL＜DW≤dU不能判断是否有自相关dU＜DW＜4-dU无自相关4-dU≤DW＜4-dL不能判断是否有自相关4-dL≤DW≤4存在负相关1/6/202442CopyrightByShujianXiangDW=2的左右有一个较大的无自相关区域，所以，通常当DW的值在2左右时，无需查表，即可放心地认为模型不存在序列的自相关性。但DW也存在明显的缺点和局限性：1.DW有两个不能确定的区域，一旦DW值落在这两个区域，就无法判断，这时，只有增大样本容量或选取其他方法；2.DW统计量的上、下界表要求n＞15,这是因为样本再小，利用残差很难对自相关的存在性作出比较正确的诊断；3.DW检验不适应随机项具有高阶自相关的检验。1/6/202443CopyrightByShujianXiang（一）广义一阶差分法（二）一阶差分法（三）柯-奥迭代法（四）杜宾两步法（五）广义最小二乘法§9.6、自相关的补救措施§9.6自相关的补救措施1/6/202444CopyrightByShujianXiang§9.6.1广义差分法设线性回归模型为已知有一阶自相关性，即把滞后一期的观测值代入变量关系，得方程：可得使根据可得1/6/202445CopyrightByShujianXiang§9.6.2一阶差分法设线性回归模型为已知有很强的一阶自相关性，即把滞后一期的观测值代入变量关系，得方程：可得由于令可得1/6/202446CopyrightByShujianXiang§9.6.3一、根据德宾—沃森d统计量估计ρ二、科克伦－奥克特迭代法估计ρ1、先用OLS对原模型做回归并得到残差2、再利用估计的残差做如下回归：1/6/202447CopyrightByShujianXiang3、用估计的，对原模型进行广义差分可得5、根据新残差求ρ第二轮估计值，回归方程这样求出的就是的第二轮估计值．这种将一直持续下去，知道连续两次求出的的估计值前后相差不大，例如小于0.01或0.005．1/6/202448CopyrightByShujianXiang三、科克伦－奥克特两步法1、根据估计ρ2、利用ρ的这个估计值作广义差分方程的回归1/6/202449CopyrightByShujianXiang1/6/202450CopyrightByShujianXiang1/6/202451CopyrightByShujianXiang从两变量模型的广义差分式整理后可得将上述多元线性回归中Yt-1的回归系数作为ρ的估计值，利用广义