专题5.6 平面直角坐标系（分层练习）（培优练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.6平面直角坐标系（分层练习）（培优练）一、单选题1．（2023春·河南郑州·七年级统考期末）已知点Q的坐标为，点P的坐标为，若直线轴，则点P的坐标为（

）A． B． C． D．2．（2023春·吉林松原·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，下列说法：①若点在坐标轴上，则；②若为任意实数，则点一定在第一象限；③若点到轴的距离与到轴的距离均为2，则符合条件的点有2个；④已知点，点，则轴．其中正确的是（

）A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④3．（2023春·山东德州·七年级校考期中）已知点在第四象限，化简（

）A．8 B．2a C．2 D．4．（2023春·七年级课时练习）若有点A和点B，坐标分别为A（3,2），B（2,3），则（）A．A，B为同一个点 B．A，B为重合的两点C．A，B为不重合的两点 D．无法确定5．（2022秋·上海青浦·九年级校考阶段练习）如图，光线从点处射出射向轴上的点P，经轴镜面反射后，光线经过点，则的长度是（

）

A． B．1 C． D．6．（2023春·重庆铜梁·七年级铜梁二中校考期中）在平面直角坐标系中，点，，，若平分，轴，轴，且，则的值为（）A．9 B． C． D．7．（2023春·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（

）A．8 B．9 C．10 D．118．（2022秋·八年级课时练习）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（a，0），C（m，n），其中m＞a，a＜1，n＞0，若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，则m的取值范围是（）A．0＜m＜2 B．2＜m＜3 C．m＜3 D．m＞39．（2022秋·八年级课时练习）如图，平面直角坐标系中，△ABC≌△DEF，AB＝BC＝5．若A点的坐标为（﹣3，1），B、C两点在直线y＝﹣3上，D、E两点在y轴上，则点F的横坐标为（

）A．2 B．3 C．4 D．510．（2022秋·八年级课时练习）已知点E（x0，yo），点F（x2．y2），点M（x1，y1）是线段EF的中点，则x1＝，y1＝．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），点P（0，2）关于点A的对称点P1（即P，A，P1三点共线，且PA＝P1A），P1关于点B的对称点P2，P2关于点C的对称点P3，…按此规律继续以A，B，C三点为对称点重复前面的操作．依次得到点P4，P5，P6…，则点P2020的坐标是（）A．（4，0） B．（﹣2，2） C．（2，﹣4） D．（﹣4，2）二、填空题11．（2021·江苏泰州·校考模拟预测）已知点、、的坐标分别、、若点在的平分线上，且，则点的坐标为．12．（2023·江苏无锡·模拟预测）已知一平面直角坐标系内有点，点，点，若在该坐标系内存在一点D，使轴，且，点D的坐标为．13．（2023春·七年级课时练习）点不在第象限．如果点B坐标为且轴，则线段的中点C的坐标为．14．（2021春·湖北武汉·七年级统考期中）平面直角坐标系中，点M（x，y），N（x-2ky，y-3kx），MN=7OM，当点M在y轴正半轴上时，k=．15．（2022秋·八年级课时练习）在平面直角坐标系中依次描出下列各点（-2，-3），（-1，-1），（0，1），（1，3），……依照此规律，则第6个坐标是．16．（2022春·安徽合肥·八年级统考期中）如图，点为轴上的一个动点，点的坐标为，点的坐标为，轴于点，当点的坐标为时，为直角三角形．17．（2023春·河南郑州·八年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点、点点C是y轴上一动点，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴上的点D处，则点C的坐标为．

18．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，，，连接．点P在第一象限，若以点P、A、B为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为．

19．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B是x轴上一点．以为腰，作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为．三、解答题20．（2023春·福建福州·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，，，连接交y轴于点C，连接．（1）求三角形ABO的面积；（2）求点C的坐标，21．（2023春·云南昭通·七年级统考期中）在平面直角坐标系内，有点．（1）若点在轴上，则的值为______；若点位于第二象限，且到两坐标轴的距离相等，则的值为______；（2）若点与点的连线平行于轴，求点与点之间的距离．22．（2023秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）如图，△在平面直角坐标系中的位置如图，其中点，点分别在轴和轴上，且和满足：，若点在第四象限，，且．

（1）请直接写出点和点的坐标；（2）求点的坐标；（3）若交轴于，交轴于，是线段上一点，且，连，求证：．23．（2023春·吉林·七年级校考期中）如图，已知在平面直角坐标系中，OA＝OB＝4，BC＝12，点P的坐标是（a，6）．（1）直接写出ABC顶点A，C的坐标；（2）若点P坐标为（1，6），连接PA，PB，求PAB的面积；（3）是否存在点P，使PAB的面积等于ABC的面积？如果存在，请求出点P的坐标．24．（2023秋·辽宁盘锦·九年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点．（1）求出点A，B的坐标；（2）如图2，若，，分别平分，；求（用含a的代数式表示）．（3）如图3，坐标轴上是否存在一点P，使得的面积和的面积相等？若存在；若不存在，请说明理由．参考答案1．C【分析】利用直角坐标系中垂直于轴或平行于轴的直线上的点的纵坐标相同的特点进行计算即可．解：∵点Q的坐标为，点P的坐标为，直线轴，∴，∴，∴，∴点P的坐标为．故选：C．【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是掌握坐标系中点的坐标的特点和图形的性质．2．A【分析】根据在轴上的点的纵坐标等于0、在轴上的点的横坐标等于0即可判断①；根据即可判断②；根据点到坐标轴的距离可得点的横、纵坐标均等于，由此即可判断③；根据点的纵坐标相同即可判断④．解：若点在坐标轴上，则中至少有一个等于0，所以，说法①正确，符合题意；若为任意实数，则，所以点在第一象限上或轴正半轴上，说法②错误，不符合题意；若点到轴的距离与到轴的距离均为2，则点的横、纵坐标均等于，所以符合条件的点的坐标为，，，，共有4个，说法③错误，不符合题意；因为点，点的纵坐标相同，所以轴，说法④正确，符合题意；综上，正确的是①④，故选：A．【点拨】本题考查了点的坐标、点到坐标轴的距离、坐标与图形，熟练掌握点的坐标的特征是解题关键．3．C【分析】根据题意列出不等式组求出a的范围，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．解：由题意可知：，∴，∴，∴原式，故选：C．【点拨】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练正确求出a的范围，本题属于基础题型．4．C【分析】A（3,2），B（2,3）,横纵坐标不相等,故不为同一个点,也不能够重合.解：根据题意,A（3,2）,B（2,3）,由于A、B两点的横纵坐标不相等,故A、B两点不为同一个点,即不能够重合.所以C选项是正确的.【点拨】本题考查的是点的坐标的基本知识，理解概念是解题关键.5．B【分析】根据反射角等于入射角推得其余角也相等，从而可证，再推得对应线段成比例，可求得的长度．解：根据物理学光的反射定律：光在发生反射时，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．如图，为法线，则入射角等于反射角，即，过B作x轴的垂线，垂足为点C．

又∵，∴∵，∴∴，∵，设，∴，∴解得：．故选：B．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是找到判定两三角形相似对应的角相等．6．D【分析】由题意可知在一、三象限或二、四象限的平分线上即，则有或（不合题意，舍去），在第一象限，结合轴得即可求解．解：由题意可知，平分，轴，轴，且，可知在一、三象限或二、四象限的平分线上，，即或（不合题意，舍去），解得：，，故：在第一象限，轴，，，故选：D．【点拨】本题考查了坐标系内点的特点；解题的关键是结合题意得到在一、三象限或二、四象限的平分线上，从而求解．7．A【分析】过C作轴于M，轴于N，推出证，推出，求出，代入求出即可．解：过C作轴于M，轴于N，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．故选:A．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出AM=BN和推出．8．B【分析】过点C作CD⊥x轴于D，由“AAS”可证△AOB≌△BDC，可得AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，即可求解．解：如图，过点C作CD⊥x轴于D，∵点A（0，2），∴AO＝2，∵△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，∴∠ABC＝90°＝∠AOB＝∠BDC，∴∠ABO+∠CBD＝90°∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠CBD，在△AOB和△BDC中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，∴0＜a＜1，∵OD＝OB+BD＝2+a＝m，∴2＜m＜3，故选：B．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、不等式和坐标等知识，解题关键是树立数形结合思想，把坐标与线段长联系起来，确定取值范围．9．C【分析】作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P．由AB=BC，△ABC≌△DEF，就可以得出△AKC≌△CHA≌△DPF，就可以得出结论．解：如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P，∴∠DPF=∠AKC=∠CHA=90°．∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA．在△AKC和△CHA中，∵，∴△AKC≌△CHA（ASA），∴KC=HA．∵B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，且A点的坐标为（﹣3，1），∴AH=4，∴KC=4．∵△ABC≌△DEF，∴∠BAC=∠EDF，AC=DF．在△AKC和△DPF中，，∴△AKC≌△DPF（AAS），∴KC=PF=4．故选C．

【点拨】本题考查了坐标与图象的性质的运用，垂直的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．10．B【分析】根据题意可得前6个点的坐标，即可发现规律每6个点一组为一个循环，根据2020÷6=336…4，进而可得点P2020的坐标．解：∵A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），点P（0，2）关于点A的对称点P1，∴，，解得x＝2，y＝﹣4，所以点P1（2，﹣4）；同理：P1关于点B的对称点P2，所以P2（﹣4，2）P2关于点C的对称点P3，所以P3（4，0），P4（﹣2，﹣2），P5（0，0），P6（0，2），…，发现规律：每6个点一组为一个循环，∴2020÷6＝336…4，所以点P2020的坐标是（﹣2，﹣2）．故选：B．【点拨】本题考查了坐标与图形的变化-旋转、规律型-点的坐标、关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握旋转的性质．11．或【分析】先根据、、三点的坐标判断的位置与大小，再根据点在的平分线上，且，判断点的位置，并写出点的坐标．解：、、，且如图，以为圆心，长为半径画弧，交的平分线于两点点在的平分线上，且当点在点处时，的坐标为当点在第一象限内时，由是等腰直角三角形，可知的坐标为故答案为：或【点拨】本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是在平面坐标内根据作图找出点的位置．12．或/或【分析】将点，点，点的坐标在平面直角坐标系中标出来，由点A和点B的坐标可知，轴，从而可求得的长；再由点C的坐标及轴，可知点D的横坐标，设点D的纵坐标为m；然后根据，可得关于m的方程，解得m的值即可．解：将点，点，点的坐标在平面直角坐标系中标出来，如图所示：

∵点，点，∴轴，∴，∵点，轴，∴点D的横坐标为，设点D的纵坐标为m，∵，∴，∴或7．∴点D的坐标为或．故答案为：或．【点拨】本题考查了平面直角坐标系中的坐标与图形的性质，明确平面直角坐标系中点的坐标特点并数形结合是解题的关键．13．二．【分析】根据解得即可判断点A不在第二象限，由轴，可得，由此求解即可．解：当，解得，∴此时a不存在，即点不在第二象限；∵点B坐标为且轴，∴，∴，∴，，∵，∴中点C的横坐标，∴，故答案为：二；．【点拨】本题主要考查了坐标与图形，根据点的坐标判断点所在的象限，解不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．14．±【分析】根据两点的距离公式表示出MN和OM，然后根据题意建立等式并确定出x的值以及y的范围，化简即可求出k的值．解：由题意，，，∵MN=7OM，∴，∵点M在y轴正半轴上，∴，，∴上式化简为：，即：，∴，故答案为：．【点拨】本题考查平面直角坐标系中点坐标的特征以及两点间的距离公式，理解坐标的特征，并熟记基本公式是解题关键．15．（3，7）【分析】描点法，画出各个点，根据规律即可判断．解：描点法，画出各个点，根据规律即可判断．观察图象可知：第6个坐标是（3，7）故答案为（3，7）．【点拨】本题考查坐标与图形的性质、规律型问题，解题的关键是动手画出图形，寻找规律解决问题．16．，，【分析】设点B的坐标为（x，0），分三种情况构造直角三角形，用勾股定理求出x，即可求得坐标．解：设点B的坐标为（x，0），分三种情况：第一种AB为斜边勾股定理得解得：第二种AC为斜边勾股定理得解得：第三种BC为斜边勾股定理得解得：点B得坐标是（）、（2，0）、（-3，0）故答案为：（）、（2，0）、（-3，0）【点拨】此题考查了求点坐标，解题的关键是构造直角三角形并用勾股定理求出边长．17．【分析】利用勾股定理得，根据折叠得，可得到点的坐标，设点，然后根据勾股定理得，即可求出答案解：，，，；由折叠得：，，∴点的坐标为，设点，则，由折叠得，在中，，，解得：，．故答案为：．【点拨】本题主要考查的是勾股定理的应用和翻折的性质，能够根据题意计算出相应线段的长是解题的关键．18．或【分析】由条件可知为两三角形的公共边，且为直角三角形，当和全等时，则可知为直角三角形，再分两种情况进行讨论，可得出P点的坐标．解：如图所示：

①若，∴∴四边形是平行四边形，又∴四边形是矩形，∴；②若，则有连接，交于点，过点E作于点F，∴是的垂直平分线，点E是的中点，∵，由勾股定理得，又，即：,∴在中，，又，即，解得，，由勾股定理得，∴∴，故答案为：或．【点拨】本题考查了全等三角形的性质及坐标与图形的性质，勾股定理以及面积法等知识，做这种题要求对全等三角形的判定方法熟练掌握．19．【分析】如图所示，过点C作轴于D，设点B的坐标为，证明，得到，进而求出点C的坐标为，利用勾股定理得到，则的最小值即为点到点的距离的倍，由此求解即可．解：如图所示，过点C作轴于D，设点B的坐标为，∴，∵点A的坐标为，∴，∵是等腰直角三角形，，∴，∴，∴，∴，∴，∴点C的坐标为，∴，，∴，∴的最小值可以看做在x轴上的一点到点和到点的距离之和的最小值的倍，∴的最小值，由对称性可知，当，同理可证的最小值，故答案为：．【点拨】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．20．（1）；（2）【分析】（1）利用三角形的面积公式进行求解即可；（2）过点作轴于点，根据三角形的面积三角形的面积三角形的面积，求出的长即可．（1）解：过点作轴于点．

∵，，∴，，∴三角形的面积．（2）过点作轴于点．

∵，∴．∵三角形的面积三角形的面积三角形的面积，∴，即，∴．∵点C在y轴正半轴，∴．【点拨】本题考查坐标与图形，熟练掌握三角形的面积公式和等积法求线段的长，是解题的关键．21．（1）2；；（2）6【分析】（1）根据y轴上的点，其横坐标为零；根据到两坐标轴距离相等以及第二象限点的坐标特点列式，结合绝对值的意义，计算即可解答；（2）先根据平行于轴的两点的纵坐标相等列式求得m，进而得点Q的坐标，然后根据两点坐标确定点与点M的距离即可．（1）解：∵点在轴上，∴，解得：；∵点位于第二象限，∴，∵点到两坐标轴的距离相等，∴，∴，解得：．故答案为：2，．（2）解：∵点与点的连线平行于轴，∴，解得：，∴，∴点的坐标为，∴点与点之间的距离为：．【点拨】本题主要考查了坐标与图形、点到两坐标的距离、平面直角坐标系中点的坐标特点、绝对值的意义、两点之间的距离，熟练掌握相关的知识点是解答本题的关键．22．（1），；（2）；（3）见分析【分析】（1）由，可得，，计算求解，进而可得，；（2）如图1，过作于，于，证明，进而可求点坐标；（3）如图2，过作，交轴于，证明，可得，，证明，则，．（1）解：∵，∴，，解得，，∴，；（2）解：如图1，过作于，于，

∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，，∴；（3）证明：如图2，过作，交轴于，

∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，，∵，且．∴，∵，，，∴，∴，∴，∴．【点拨】本题考查了绝对值的非负性，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．23．（1）A（0，4），C（8，0）；（2）2；（3）存在，（﹣10，6）或（14，6）【分析】（1）由OA=OB=4，BC=12，得A（0,4），OC=8，则C（8,0）；（2）连接OP，△PAB的面积=△POB的面积-△AOB的面积-△OAP的面积，即可求解；（3）由点P的坐标得点P在直线y=6上运动，分两种情况：①当点P在y轴左侧时，a<0；②当点P在y轴右侧时，a>0；分别由三角形面积关系求出a的值，即可求解．解：（1）∵OA＝OB＝4，BC＝12，∴A（0，4），OC＝12﹣4＝8，∴C（8，0）；（2）连接OP，如图1所示：∵点P坐标为（1，6），∴△PAB的面积＝△POB的面积﹣△AOB的面积﹣△O