专题03 难点探究专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的综合之五大类型（解析版）

专题03难点探究专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的综合之五大类型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一解直角三角形应用与特殊三角形的综合】 1【类型二解直角三角形应用与平行四边形的综合】 6【类型三解直角三角形应用与菱形的综合】 9【类型四解直角三角形应用与矩形的综合】 12【类型五解直角三角形应用与正方形的综合】 19【类型六解直角三角形应用与其他图形的综合】 22【典型例题】【类型一解直角三角形应用与特殊三角形的综合】例题：（2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝．常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等．如图1的古代建筑屋顶，被称为“悬山顶”，它的侧视图呈轴对称图形，如图2所示，已知屋檐米，屋顶E到支点C的距离米，墙体高米，屋面坡角．（参考数值：）(1)求房屋内部宽度的长；(2)求点A与屋面的距离．【答案】(1)米(2)米【分析】（1）如图，过E作，交于点O，交于点H，则，运用三角函数解直角三角形可得，然后再根据等腰三角形的性质可得，然后再根据矩形的性质即可解答；（2）如图，过A作，交于点I．再解直角三角形可得的长，然后再求得，最后根据，即可解答．【详解】（1）解：如图，过E作，交于点O，交于点H，则，则在中，(米)，∵是等腰三角形，∴(米)．∵四边形是矩形，∴(米)；（2）解：如图，过A作，交于点I．在中，(米)，在中，(米)，∴(米)，∴(米)，即点A到屋面的距离约为米．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、解直角三角形的应用、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用三角函数解直角三角形成为解答本题的关键．【变式训练】1．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）露营爱好者在露营时为遮阳和防雨会借助垂直于地面的树干搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支撑杆，用绳子拉直后系在树干上的点A处，使得A，C，E在一条直线上，通过调节点A的高度可控制“天幕”的开合，若米，于点O（参考数据：，，）

(1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度EF；（结果保留一位小数）(2)下雨时收拢“天幕”，由减小到，求点O下降的高度．（结果保留一位小数）【答案】(1)米(2)米【分析】（1）根据三线合一求出，解直角三角形求出，可得；（2）解直角三角形求出，过点作交于点H，再解直角三角形求出，根据求解即可．【详解】（1）解：∵，且，∴平分，，∵，∴，在中，，∵米，∴米，则米，故遮阳宽度为米．

（2）∵在中，，∴米，当从变为，如图所示：旋转到，则，过点作交于点H，则，∵在中，，∴米，∵，∴米，∴O点下降到H点的距离为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质．解题的关键在于抽象出直角三角形并正确的运算．2．（2023春·海南海口·九年级海口一中校考期中）油纸伞有着逾千年的历史，被列入国家非物质文化遗产名录；在一次活动中，小文了解了油纸伞文化的内涵，决定进行设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中）：伞柄始终平分，，当时，伞完全打开，此时．(1)，；(2)求线段的长；（结果保留整根号）(3)请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：）【答案】(1)，；(2)(3)【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再证明，然后利用全等三角形的性质可得，即可解答；（2）过点B作，垂足为E，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（3）利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．【详解】（1）解：（1）∵平分，，∴，∵，∴，∴，故答案为：；；（2）解：（2）过点B作，垂足为E，在中，，∴，，在中，，∴，∴线段的长为；（3）解：（3）∵，∴，∴，解得：，∴最少需要准备长的伞柄．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定与性质，黄金分割，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．3．（2023·浙江绍兴·统考三模）图是一款笔记本电脑支架，它便于电脑散热，减轻使用者的颈椎压力．图是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图，已知，互相平分于点，，若，．

(1)求的长．(2)求点到底架的高（结果精确到，参考数据：，，）．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得出，由，证明与均是正三角形，即可得出答案；（2）在中，利用正弦定义求解即可.【详解】（1）解：，，互相平分于点O，，，与均是正三角形，．（2）解：在中，，即，答：点到底架的高为．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判断和性质，解直角三角形，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，准确计算．【类型二解直角三角形应用与平行四边形的综合】例题：图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得．（结果保留小数点后一位）(1)求证：四边形为平行四边形；(2)求雕塑的高（即点G到的距离）．（参考数据：）【答案】(1)见解析(2)雕塑的高为7.5m，详见解析【分析】（1）根据平行四边形的定义可得结论；（2）过点G作GP⊥AB于P，计算AG的长，利用∠A的正弦可得结论．【详解】（1）证明：∵，∴∠CDG＝∠A，∵∠FEC＝∠A，∴∠FEC＝∠CDG，∴EF∥DG，∵FG∥CD，∴四边形DEFG为平行四边形；（2）如图，过点G作GP⊥AB于P，∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG＝EF＝6.2，∵AD＝1.6，∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，在Rt△APG中，sinA=，∴=0.96，∴PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5．答：雕塑的高为7.5m.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，正确作辅助线构建直角三角形解决问题．【变式训练】1．如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形，其中，，此时它与出入口等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为．(1)求点到地面的距离；(2)在电动门抬起的过程中，求点所经过的路径长；(3)一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．（参考数据：，，所有结果精确到【答案】(1)(2)(3)汽车能安全通过，理由见解析【分析】（1）过点作于点，交于点，根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可；（2）根据弧长公式解答即可；（3）根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可．【详解】（1）解：如图，过点作于点，交于点，，，，；（2）点是点绕点旋转得到，点经过的路径长为；（3）在上取，，作于点，交于点，交于点，当汽车与保持安全距离时，汽车高度为，，，，，，，，，汽车能安全通过．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数，弧长的计算等知识，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．【类型三解直角三角形应用与菱形的综合】例题：如图是一个晾衣架的实物图，支架的基本图形是菱形，MN是晾衣架的一个滑槽，点P在滑槽MN上、下移动时，晾衣架可以伸缩，其示意图如图所示，已知每个菱形的边长均为20cm，且．当点P向下滑至点N处时，测得时求滑槽MN的长度；此时点A到直线DP的距离是多少？当点P向上滑至点M处时，点A在相对于的情况下向左移动的距离是多少？结果精确到，参考数据【答案】（1）①；②（2）【分析】（1）①作于H，由得出，进而求出MN；②点A到直线DP的距离是；（2）当点P向上滑至点M处时，是等边三角形，作于G，求CG，即可求出结果．【详解】解：当点P向下滑至点N处时，如图1中，作于H．，，，即，，，．滑槽MN的长度为．根据题意，点A到直线DP的距离是．当点P向上滑至点M处时，如图2中，是等边三角形，，作于G，则，此时点A到直线DP的距离是，，∴点A在相对于的情况下向左移动的距离是．

【点睛】此题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，找到对应长度是关键．【变式训练】1．如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m．（1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长．（2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】（1）6.9m；（2）当∠AFE由60°变为74°时，棚宽BC是减少了，减少了0.5m．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠AFE＝60°,连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK，求得,于是得到结论;（2）解直角三角形即可得到结论.【详解】解：（1）∵AE＝EF＝AF＝1,∴△AEF是等边三角形,∴∠AFE＝60°,连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK,∵△AEF是等边三角形,∴AK＝,∴,∴FM＝2FK＝,∴BC＝4FM＝4≈6.92≈6.9（m）;（2）∵∠AFE＝74°,∴∠AFK＝37°,∴KF＝AF•cos37°≈0.80,∴FM＝2FK＝1.60,∴BC＝4FM＝6.40＜6.92,6.92﹣6.40＝0.5,答：当∠AFE由60°变为74°时,棚宽BC是减少了，减少了0.5m.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用,观察图形,发现直角三角形是解题的关键.【类型四解直角三角形应用与矩形的综合】例题：（2023春·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考阶段练习）某景区草地上竖立着一个如图（1）所示的雕塑，现将其中两个近似大小相同的矩形框架抽象成如图（2）所示的图形，矩形可由矩形绕点旋转得到，点在上，延长交于点．连接．

(1)判断四边形的形状并给予证明；(2)若点在水平地面上，与水平地面平行，，求点到水平地面的距离．（结果精确到．）参考数据：【答案】(1)平行四边形，见解析(2)【分析】（1）由旋转性质结合矩形的性质推出，利用证明，得到，据此可证明四边形是平行四边形；（2）延长交水平地面于点，连接．利用正切函数求得的长，得到，推出，再根据余弦函数求得的长，据此即可求解．【详解】（1）解：四边形是平行四边形．证明：∵四边形是矩形，∴，，，∴，∵四边形是矩形，∴，由旋转性质得，∴，∴，∴，由旋转得，∴，∵，∴四边形为平行四边形；（2）解：如图，延长交水平地面于点，连接．

∵，，∴，∴，∴，由（1）知，又，∴，由平行线的性质知，∴，∴，即点到水平地面的距离约为．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，利用三角函数解直角三角形等，解题的关键是：（1）掌握等腰三角形中等边对等角；（2）通过添加辅助线构造直角三角形．【变式训练】1．（2023·山东青岛·统考二模）如图1，一吸管杯放置在水平桌面上，矩形为其横截面，为吸管，其示意图如图所示，，，．将杯子绕点按顺时针方向旋转，使与水平线平行(如图3)．(1)杯子与水平线的夹角______；(2)由图2到图3，点A的位置是升高了还是下降了？变化了多少厘米？(结果精确到，参考数据：，，)【答案】(1)(2)点A的位置是下降了厘米【分析】（1）过点作，根据平行线的性质即可求解；（2）过点作于点，延长交的延长线于点，在中，，在中，，，求得，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，过点作，∴，，∴，∵，∴；（2）如图所示，过点作于点，延长交的延长线于点，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，在中，，，∴，，∴；点A的位置是下降了厘米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键．2．如图（1）是一种自卸货车，图（2）是该货车的示意图，货厢侧面是矩形，，初始状态下，点A，B，F在同一水平线上，此时货厢底部离地面的距离为．卸货时货厢绕着点A旋转．

(1)当时，求货厢最高点C离地面的距离．(2)点A处的转轴与货车后车轮转轴（点E）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货厢对角线的交点G是货厢的重心．卸货时，如果A，G两点间的水平距离小于安全轴距，那么车辆会倾覆．当时，该货车是否会倾覆？请说明理由．（参考数据：）【答案】(1)货厢最高点C离地面的距离约为(2)该货车不会倾覆，理由见解析【分析】（1）要求车厢最高点C离地面的距离，所以过点C作，垂足为H，再过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q，这样构造一个矩形，两个直角三角形和，然后进行计算即可；（2）要求A、G两点的水平距离，所以过点G作，垂足为O，再过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K，这样构造一个矩形，四个直角三角形，分别为，，，，然后进行计算即可．【详解】（1）过点C作，垂足为H，过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q，

则四边形为矩形，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，答：车厢最高点C离地面的距离是5.3米；（2）不会发生安全事故，理由是：过点G作，垂足为O，过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K，

则四边形为矩形，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，在中，∵，∴，∴，在中，∵，∴，∵，∴∵，∴，∵，∴不会发生安全事故．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的重心，旋转的性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．【类型五解直角三角形应用与正方形的综合】例题：（2023春·江西九江·九年级统考期中）图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图2，并测得正方形与正方形的面积相等，且，

(1)判断四边形的形状，并说明理由．(2)求的长．（参考数据：）【答案】(1)四边形是菱形，详见解析(2)【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，从而得，即可得出结论；（2）作于点M，解，即可求解．【详解】（1）解：四边形是菱形

，理由：正方形与正方形的面积相等，，，∴四边形是平行四边形，，，，∴四边形是菱形．（2）解：作于点M，

在中，，，得

，．【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，解直角三角形，熟练掌握正方形的性质、菱形的判定、正确求解直角三角形是解题的关键．【变式训练】1．测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥，点O是正方形的中心垂直于地面，是正四棱锥的高，泰勒斯借助太阳光．测量金字塔影子的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量．甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥表示．（1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形的边长为，金字塔甲的影子是，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为______m．（2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形边长为，金字塔乙的影子是，，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度．【答案】（1）100；（2）．【分析】（1）如图2中，连接交于，勾股定理求得，再根据物体的长度与影子的长度成比例，即可求得；（2）如图1中，连接，,过点作交的延长线于,勾股定理求得，再根据物体的长度与影子的长度成比例，即可求得．【详解】（1）如图2中，连接交于，四边形是正方形，，，，垂直平分，，，，设金子塔的高度为，物体的长度与影子的长度成比例，，，故答案为：100．（2）如图，根据图1作出俯视图，连接，,过点作交的延长线于,，，，四边形是正方形，，，，，，，．乙金字塔的高度为．【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，俯视图，物长与影长成正比等知识，正确的添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．【类型六解直角三角形应用与其他图形的综合】例题：（2023秋·山东威海·九年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．（结果精确到，参考数据：，，，）

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l的距离；(2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．【答案】(1)车后盖最高点到地面的距离为(2)没有危险【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．【详解】（1）如图，作，垂足为点，

在中，，，，，平行线间的距离处处相等，，答：车后盖最高点到地面的距离为．（2）没有危险，理由如下：如图，过作，垂足为点，

，，，，，在中，，．平行线间的距离处处相等，到地面的距离为．，没有危险．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．【变式训练】1．在日常生活中我们经常使用订书机，如图，是订书机的托板，压柄绕着点B旋转，连接杆的一端点D固定，点E从A向B滑动，在滑动过程中，的长保持不变，已知．

(1)如图1，当，B、E之间的距离为，求连接杆的长度．(2)现将压柄从图1的位置旋转到与底座垂直，如图2所示，求在此过程中点E滑动的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）过点D作交与点P，在中，通过解直角三角形可求出的长度，在中，利用勾股定理可求出的长度；（2）在中，利用勾股定理可求出的长度，结合（1）中的长度即可求出答案．【详解】（1）解：在图1中，过点D作交与点P，

在中，，在中，，∴，即连接杆的长度为；（2）解：在中，，∴，∴在此过程中点E滑动的距离为，【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．2．（2023秋·河北石家庄·九年级校联考阶段练习）如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆