函数的单调性

§1.3.1函数的单调性图示是某市一天24小时内的气温变化图。气温θ是关于时间t的函数，观察这个气温变化图，说说气温在哪些时间段内是逐渐上升或下降的？

情景引入yyxxoo11-111-1-1观察下列两个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

思考：从左向右图象有什么变化趋势？

函数的单调性xyo-1xOy1124-1-211.从左至右图象————

2.在区间

(-∞,+∞)上，随着x的增大，f(x)的值————

2.(0,+∞)上从左至右图象______，

当x增大时f(x)的值_____

1上升增大下降

1.(-∞,0]上从左至右图象

当x增大时f(x)的值

减小思考1：画出下列函数的图象，根据图象思考当自变量x的值增大时,函数值是如何变化的？新课探究

上升

增大xyo-1xOy1124-1-211

在某一区间内，当x的值增大时,函数值y也增大——图象在该区间内逐渐上升；当x的值增大时,函数值y反而减小——图象在该区间内逐渐下降。函数的这种性质称为函数的单调性思考2：通过上面的观察，如何用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势？Oxyx1x2f(x1)f(x2)单调增函数的定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。

类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.Oyx1x2f(x1)f(x2)一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数。如果函数y=f(x)在区间D上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间D上具有单调性。（1）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质；注意：判断1：函数f(x)=x2在是单调增函数。xyo（2）

x1,x

2

取值的任意性。判断2：定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)在R上是增函数。yxO12f(1)f(2)解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1)，[1，3),[3，5].例1.如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数？

其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数；说明:区间端点处若有定义写开写闭均可.

在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数.质发疑展答思辩维1、根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.

2544xyO-1321解:函数y=f(x)的单调区间有[－1,0）,[0,2)，[2，4),[4，5].其中y=f(x)在区间[0，2)，[4，5]上是增函数；在区间[－1，0），[2，4)上是减函数.练一练：证明函数在R上是减函数.即∵∴

∴

例2、利用单调性定义：证明：设是R上任意两个值，且，∴函数

在R上是减函数．则（3）判断符号：

判断的符号

用定义证明函数单调性的四步骤：

（1）取值：在所给区间上任意设两个实数（2）作差变形

：

作差常通过“因式分解”、“通分”、“配方”等手段将差式变形为因式乘积或平方和等形式；

（4）得出结论:得出单调性的结论2、证明：函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数。证明：任取x1,x2

(0，+∞)

，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=由于x1,x2得x1x2>0,又由x1<x2得x2-x1>0所以f(x1)-f(x2)>0,

即f(x1)>f(x2)f(x)=在(0，+∞)上是减函数。取值判断符号变形作差得出结论取值

判断符号

作差变形得出结论课堂小结1.两个定义：增函数、减函数的定义；②(定义法)证明函数单调性，步骤:①图象法判断函数的单调性：增函数的图象从左到右减函数的图象从左到右上升下降3.一个数学思想：数形结合2：两种方法拓展探究

证明：函数