第四章 第一讲

第四章曲线运动第1讲运动的合成与分解(考纲要求Ⅱ)【热身练习】判断正误，正确的划“√”，错误的划“×”．(1)速度发生变化的运动，一定是曲线运动．()(2)曲线运动的物体加速度一定是变化的．()(3)两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等．()(4)只要两个分运动是直线运动，合运动一定是直线运动．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×【知识扫描】1．曲线运动(1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的方向．(2)运动的性质：做曲线运动的物体，速度的时刻在改变，所以曲线运动一定是运动．(3)曲线运动的条件：2．运动的合成与分解(1)基本概念(2)分解原则：根据运动的分解，也可采用分解．(3)遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循定则．3合运动轨迹判断——作图法【典型例题】问题1、曲线运动的条件及运动性质的判定问题：例1.一物体由静止开始下落一小段时间后突然受一恒定水平风力的影响，但着地前一小段时间风突然停止，则其运动轨迹的情况可能是图1中的哪一个？图1答案：C变式1.在光滑水平面上有一质量为2kg的物体，受几个共点力作用做匀速直线运动。现突然将与速度反方向的2N力水平旋转90°，则关于物体运动情况的叙述正确的是（）。A.物体做速度大小不变的曲线运动B.物体做加速度为的匀变速曲线运动C.物体做速度越来越大的曲线运动D.物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大答案：B、C变式2.质点在一平面内沿曲线由P运动到Q，如果用v、a、F分别表示质点运动过程中的速度、加速度和受到的合外力，图2中的图象可能正确的是（）图2答案：D问题2、合运动的性质及轨迹的判定：例2.（2007·南通模拟）关于运动的合成与分解，下列说法正确的是（）①两个直线运动的合运动一定是直线运动②两个互成角度的匀速直线运动的合运动一定是直线运动③两个匀加速直线运动的合运动可能是曲线运动④两个初速度为零的匀加速直线运动互成角度，合运动一定是匀加速直线运动A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④答案：D变式3.（2006·黄冈二模）一物体运动规律是，则下列说法中正确的是（）A.物体在x轴和y轴方向上都是初速度为零的匀加速直线运动B.物体的合运动是初速度为零，加速度为的匀加速直线运动C.物体的合运动是初速度为零，加速度为的匀加速直线运动D.物体的合运动是加速度为的曲线运动答案：AC问题3、牵连速度的分解问题：例3.如图3所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m沿斜面升高，则当滑轮右侧绳与竖直方向的夹角为，且重物下滑的速度为v时，小车的速度v′是多少？图3解析：物体M下滑的速度为合速度，被M带动的绳参与了两种运动，一是沿绳的速度（径向），一是沿绳的摆动方向，即与垂直的（横向），故以和为邻边作平行四边形，v为对角线，与v的夹角为，如图4所示，∴小车的速度。图4答案：变式4.（2007·郑州调考）A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体A以的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是时，如图5所示。物体B的运动速度为（绳始终有拉力）（）图5A.B.C.D.答案：D问题4、小船渡河的问题：小船过河(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．(2)三种速度：v船(船在静水中的速度)、v水(水的流速)、v合(船的实际速度)．(3)两个极值①过河时间最短：v船⊥v水，tmin＝eq\f(d,v船)(d为河宽)．②过河位移最小：若v船>v水。则v合⊥v水，如图甲所示，此时xmin＝d船头指向上游与河岸夹角为α.cosα＝eq\f(v水,v船)；若v船<v水，v船⊥v合，如图乙所示．过河最小位移为xmin＝eq\f(d,sinα)＝eq\f(v水,v船)d.例1、一小船渡河，河宽d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s.若船在静水中的速度为v2＝5m/s，求：(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(3)若水流速度v1＝5m/s，船在静水中的速度为v2＝2.5m/s，过河的最短位移是多少？解析(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．当船头垂直河岸时，如图甲所示．合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5m/s.t＝eq\f(d,v2)＝eq\f(180,5)s＝36s，v＝eq\r(v12＋v22)＝eq\f(5,2)eq\r(5)m/sx＝vt＝90eq\r(5)m(2)欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角α如图乙所示，有v2sinα＝v1，得α＝30°所以当船头向上游偏30°时航程最短．x′＝d＝180m.t′＝eq\f(d,v2cos30°)＝eq\f(180,\f(5,2)\r(3))s＝24eq\r(3)s答案(1)船头垂直于河岸36s90eq\r(5)m(2)船头向上游偏30°24eq\r(3)s180m【反馈练习】1．(单选)一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内()．A．速度一定不断改变，加速度也一定不断改变B．速度一定不断改变，加速度可以不变C．速度可以不变，加速度一定不断地改变D．速度可以不变，加速度也可以不变解析做曲线运动的物体速度方向不断改变，加速度一定不为零，但加速度可能改变也可能不变，所以做曲线运动的物体可以是匀变速运动也可以是非匀变速运动．答案B2．(2013·肇庆期末)(单选)关于曲线运动，下列说法正确的是()．A．做曲线运动的物体，受到的合外力一定不为零B．物体受到的合外力方向变化，一定做曲线运动C．只要物体做圆周运动，它所受的合外力一定指向圆心D．物体只要受到垂直于初速度方向的恒力作用，就一定能做匀速圆周运动答案A3．(双选)关于曲线运动的性质，以下说法正确的是()．A．曲线运动一定是变速运动B．曲线运动一定是变加速运动C．变速运动不一定是曲线运动D．运动物体的速度大小、加速度大小都不变的运动一定是直线运动解析曲线运动的速度方向是时刻发生变化的，因此是变速运动，A正确；加速度是否发生变化要看合外力是否发生变化，斜向上抛到空中的物体做曲线运动，但加速度大小不变，B错误；变速运动也可能是只有速度的大小发生变化，它就不是曲线运动，C正确；由匀速圆周运动知，D错误．答案AC4．(2013·广州中学模拟)(双选)一个质点同时参与互成一定角度的匀速速直线运动和匀变速直线运动，该质点的运动特征是()．A．速度不变B．运动中的加速度不变C．轨迹是直线D．轨迹是曲线解析匀速直线运动的加速度为零，匀变速直线运动的加速度恒定不变，由此可知合加速度不变，B正确；由速度的合成可知：合速度时刻在变化，A错误；合加速度沿着匀变速直线运动的方向，合速度为两个分运动速度的矢量和，由此可知合加速度与合速度不在同一条直线上，因此运动轨迹为曲线，D正确，C错误．答案BD图4－1－15．(2013·上海宝山区期末)(双选)如图4－1－1所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，现用一支铅笔贴着细线的左侧水平向右以速度v匀速移动，运动过程中保持铅笔的高度不变，悬挂橡皮的那段细线保持竖直，则在铅笔未碰到橡皮前，橡皮的运动情况是()．A．橡皮在水平方向上做匀速运动B．橡皮在竖直方向上做加速运动C．橡皮的运动轨迹是一条直线D．橡皮在图示虚线位置时的速度大小为veq\r(cos2θ＋1)解析悬挂橡皮的细线一直保持竖直，说明橡皮水平方向具有和铅笔一样的速度，A正确；在竖直方向上，橡皮的速度等于细线收缩的速度，把铅笔与细线接触的地方的速度沿细线方向和垂直细线方向分解，沿细线方向的分速度v1＝vsinθ，θ增大，沿细线方向的分速度增大，B正确；橡皮的加速度向上，与初速度不共线，所以做曲线运动，C错误；橡皮在题图虚线位置时的速度vt＝eq\r(v12＋v2)＝veq\r(sin2θ＋1)，D错误．答案ABeq\x(对应“高考题组”见PPT课件，供参考)图4－1－2【典例1】(单选)各种大型的货运站中少不了旋臂式起重机，如图4－1－2所示，该起重机的旋臂保持不动，可沿旋臂“行走”的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿旋臂水平运动．现天车吊着货物正在沿水平方向向右匀速行驶，同时又启动天车上的起吊电动机，使货物沿竖直方向做匀减速运动．此时，我们站在地面上观察到货物运动的轨迹可能是下图中的()．解析由于货物在水平方向做匀速运动，在竖直方向做匀减速运动，故货物所受的合外力竖直向下，由曲线运动的特点：所受的合外力要指向圆弧内侧可知，对应的运动轨迹可能为D.答案D【跟踪短训】图4－1－31．(单选)某学生在体育场上抛出铅球，其运动轨迹如图4－1－3所示．已知在B点时的速度方向与加速度方向相互垂直，则下列说法中正确的是()．A．D点的速率比C点的速率大B．D点的加速度比C点的加速度大C．从B到D加速度与速度始终垂直D．从B到D加速度与速度的夹角先增大后减小解析铅球做斜抛运动，根据曲线运动的条件和题设中在B点的速度方向与加速度方向相互垂直，即竖直方向上的分速度为零，可判断B点是轨迹的最高点，根据加速度和速度方向间的关系可知A项正确；D点和C点的加速度一样大，都等于重力加速度，B错；过了B点后，在D点加速度与速度不可能再垂直，C错；根据曲线运动的特点，可判断从B点到D点加速度与速度的夹角一直减小，D错．答案A图4－1－42．(双选)一个物体以初速度v0从A点开始在光滑水平面上运动．一个水平力作用在物体上，物体的运动轨迹如图中实线所示，图4－1－4中B为轨迹上一点，虚线是过A、B两点并与运动轨迹相切的直线，虚线和实线将水平面划分为图示的5个区域．则关于该施力物体位置的判断，下列说法中正确的是()．A．如果这个力是引力，则施力物体一定在④区域B．如果这个力是引力，则施力物体一定在②区域C．如果这个力是斥力，则施力物体一定在②区域D．如果这个力是斥力，则施力物体可能在①或③区域解析如果这个力是引力，则施力物体一定在④区域，这是因为曲线运动的轨迹应介于合外力的方向与速度的方向之间，且弯向合外力的一侧，选项A正确；如果这个力是斥力，在①②③⑤区域内任取一点分别与A、B两点相连并延长，可发现①③⑤区域的各点，对应轨迹不在合外力方向和速度方向之间，而②区域的点，对应轨迹在合外力方向和速度方向之间，因此选项C正确．答案AC【典例2】(双选)质量为m＝2kg的物体在光滑的水平面上运动，在水平面上建立xOy坐标系，t＝0时物体位于坐标系的原点O.物体在x轴和y轴方向的分速度vx、vy随时间t变化的图线如图4－1－5甲、乙所示．则()．图4－1－5A．t＝0时，物体速度的大小为3m/sB．t＝8s时，物体速度的大小为4m/sC．t＝8s时，物体速度的方向与x轴正向夹角为37°D．t＝8s时，物体的位置坐标为(24m，16m)解析由题图可知，t＝0时刻，vx＝3m/s，vy＝0，所以t＝0时刻，物体的速度大小v0＝3m/s，A正确；t＝8s时，vx＝3m/s，vy＝4m/s，物体的速度大小v＝eq\r(vx2＋vy2)＝5m/s，B错误；速度方向与x轴正向夹角设为α，则tanα＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(4,3)，α＝53°，C错误；t＝8s时，物体的位置坐标x＝vxt＝24m，y＝eq\f(1,2)ayt2＝16m，所以t＝8s时，物体的位置坐标为(24m，16m)，D正确．答案AD【跟踪短训】3．(2013·庆阳模拟)(单选)在无风的情况下，跳伞运动员从水平飞行的飞机上跳伞，下落过程中受到空气阻力，已知物体速度越大受到的空气阻力越大，下列描述下落速度的水平分量大小vx、竖直分量大小vy与时间t的图象，可能正确的是()．解析跳伞运动员下落过程中受到的空气阻力并非为恒力与速度有关．且速度越大受到的阻力越大，水平方向只受阻力，速度减小，阻力减小，加速度减小，在vx－t图象中图线的斜率表示加速度，故A错误、B正确；竖直方向运动员受重力和空气阻力，速度逐渐增大，阻力增大，合力减小，加速度减小，故C、D圴错．答案B图4－1－64．(单选)如图4－1－6所示，从广州飞往上海的波音737航班上午10点到达上海浦东机场，若飞机在降落过程中的水平分速度为60m/s，竖直分速度为6m/s，已知飞机在水平方向做加速度大小等于2m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2m/s2的匀减速直线运动，则飞机落地之前()．A．飞机的运动轨迹为曲线B．经20s飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等C．在第20s内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等D．飞机在第20s内，水平方向的平均速度为21m/s解析由于初速度的方向与合加速度的方向相反，故飞机的运动轨迹为直线，A错误；由匀减速运动规律可知，飞机在第20s末的水平分速度为20m/s，竖直方向的分速度为2m/s，B错误；飞机在第20s内，水平位移x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v0xt20＋\f(1,2)axt202))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v0xt19＋\f(1,2)axt192))＝21m，竖直位移y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(voyt20＋\f(1,2)ayt202))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v0yt19＋\f(1,2)ayt192))＝2.1m，C错误．飞机在第20s内，水平方向的平均速度为21m/s，D正确．答案D即学即练河宽60m，水流速度v1＝6m/s，小船在静水中的速度v2＝3m/s，则：(1)它渡河的最短时间是多少？(2)最短航程是多少？解析(1)设船与岸成θ角开出，如图所示．渡河时间为：t＝eq\f(d,v2sinθ)当θ＝90°时渡河时间最短，tmin＝eq\f(d,v2)＝eq\f(60,3)s＝20s.(2)因为船速小于水速，所以小船一定向下游漂移．如图所示，以v1矢量末端为圆心，以v2矢量的大小为半径画弧，从v1矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知sinθ＝eq\f(v2,v1)，最短航程为：x短＝eq\f(d,sinθ)＝eq\f(v1,v2)d＝eq\f(6,3)×60m＝120m.答案(1)20s(2)120m附：对应高考题组(PPT课件文本，见教师用书)1．(2011·上海卷·11)(单选)如图所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行．当绳与河岸的夹角为α时，船的速度大小为 ()．A．vsinα B.eq\f(v,sinα) C．vcosα D.eq\f(v,cosα)解析如图所示，把人的速度沿绳和垂直绳的方向分解，由几何知识有v船＝vcosα，所以C正确．A、B、D错误．答案C2．(2011·江苏卷，3)(单选)如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB.若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为 ()．A．t甲<t乙 B．t甲＝t乙C．t甲>t乙 D．无法确定解析设两人在静水中游速为v0，水速为v，则t甲＝eq\f(xOA,v0＋v)＋eq\f(xOA,v0－v)＝eq\f(2v0xOA,v02－v2)t乙＝eq\f(2xOB,\r(v02－v2))＝eq\f(2xOA,\r(v02－v2))<eq\f(2v0xOA,v02－v2)故A、B、D错，C对．答案C3．(2011·四川卷，22(1))某研究性学习小组进行如下实验：如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R.将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，在R从坐标原点以速度v0＝3cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动．同学们测出某时刻R的坐标为(4，6)，此时R的速度大小为________cm/s.R在上升过程中运动轨迹的示意图是________．(R视为质点)解析红蜡块有水平方向的加速度，所受合外力指向曲线的内侧，所以其运动轨迹应如D图所示，因为竖直方向匀速，由y＝6cm＝v0t知t＝2s，水平方向x＝eq\f(vx,2)·t＝4cm，所以vx＝4cm/s，因此此时R的速度大小v＝eq\r(vx2＋v02)＝5cm/s.答案5DA对点训练——练熟基础知识eq\a\vs4\al(题组一)物体做曲线运动的条件及轨迹分析1．(2013·广州模拟)(双选)关于做曲线运动的物体，下列说法中正确的是()．A．它所受的合外力一定不为零B．它所受的合外力一定是变力C．其速度可以保持不变D．其动能可以保持不变答案AD2．(单选)“神舟”十号飞船于2013年6月11日发射升空，如图所示，在“神舟”十号靠近轨道沿曲线从M点到N点的飞行过程中，速度逐渐减小．在此过程中“神舟”十号所受合力的方向可能是()．解析做曲线运动的物体所受合力的方向总是指向曲线凹侧，A、D错误；由于速度逐渐减小，故力F的方向与速度方向的夹角应大于90°，C正确．答案C图4－1－83．(单选)如图4－1－8所示，在一次消防演习中，消防队员要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人．为了节省救援时间，当消防车匀速前进的同时，人沿倾斜的梯子匀加速向上运动，则关于消防队员的运动，下列说法中正确的是 ()． 图4－1－8A．消防队员做匀加速直线运动B．消防队员做匀变速曲线运动C．消防队员做变加速曲线运动D．消防队员水平方向的速度保持不变解析由于消防队员同时参与两个分运动，由两分运动的特点可知，其合运动为匀变速运动，但轨迹为曲线，故B正确；消防队员在水平方向的速度增大，D错误．答案Beq\a\vs4\al(题组二)运动的合成与分解4．(2013·吉林重点中学模拟)(双选)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图4－1－9所示，当运动员从直升飞机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是()．A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成图4－1－9更多的动作图4－1－9B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害C．运动员下落时间与风力无关D．运动员着地速度与风力无关解析水平风力不会影响竖直方向的运动，所以运动员下落时间与风力无关，A错误，C正确．运动员落地时竖直方向的速度是确定的，水平风力越大，落地时水平分速度越大，运动员着地时的合速度越大，有可能对运动员造成伤害，B正确，D错误．答案BC图4－1－105．(2013·济南模拟)(双选)如图4－1－10所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成30°角的斜面向右以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，下列说法正确的是 ()．图4－1－10A．橡皮的速度大小为eq\r(2)vB．橡皮的速度大小为eq\r(3)vC．橡皮的速度与水平方向成60°角D．橡皮的速度与水平方向成45°角解析钉子沿斜面匀速运动，橡皮具有向上的分速度v，同时具有沿斜面方向的分速度v，根据运动的合成可知，橡皮的速度大小为eq\r(3)v，速度与水平方向成60°角，选项B、C正确．答案BC6．(双选)一质量为2kg的物体在5个共点力作用下做匀速直线运动．现同时撤去其中大小分别为10N和15N的两个力，其余的力保持不变．下列关于此后该物体运动的说法中，正确的是()．A．可能做匀减速直线运动，加速度大小为10m/s2B．可能做匀速圆周运动，向心加速度大小为5m/s2C．可能做匀变速曲线运动，加速度大小可能为5m/s2D．一定做匀变速直线运动，加速度大小可能为10m/s2解析物体在5个共点力作用下处于平衡状态，合力为零，当撤去10N和15N的两个力时，剩余3个力的合力与这两个力的合力等大反向，即撤去力后5N≤F合≤25N，2.5m/s2≤a合≤12.5m/s2，由于剩余3个力的合力方向与原速度方向不一定在一条直线上，所以可能做匀变速曲线运动，也可能做匀变速直线运动，故A、C正确．答案AC7．(双选)在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t＝0时刻起，由坐标原点O(0，0)开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图象如图4－1－11甲、乙所示，下列说法中正确的是 ()．图4－1－11A．前2s内物体沿x轴做匀加速直线运动B．后2s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y轴方向C．4s末物体坐标为(4m，4m)D．4s末物体坐标为(6m，2m)解析前2s内物体在y轴方向速度为0，由题图甲知只沿x轴方向做匀加速直线运动，A正确；后2s内物体在x轴方向做匀速运动，在y轴方向做初速度为0的匀加速运动，加速度沿y轴方向，合运动是曲线运动，B错误；4s内物体在x轴方向上的位移是x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2＋2×2))m＝6m，在y轴方向上的位移为y＝eq\f(1,2)×2×2m＝2m，所以4s末物体坐标为(6m，2m)，D正确，C错误．答案ADeq\a\vs4\al(题组三)“小船渡河”问题8．(2013·黄冈期末)(双选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线．则其中可能正确的是()．解析船头垂直于河岸时，船的实际航向应斜向右上方，A正确，C错误；船头斜向上游时，船的实际航向可能垂直于河岸，B正确；船头斜向下游时，船的实际航向一定斜向下游，D错误．答案AB9．(单选)唐僧、悟空、沙僧和八戒师徒四人想划船渡过一条宽150m的河，他们在静水中划船的速度为5m/s，现在他们观察到河水的流速为4m/s，对于这次划船过河，他们有各自的看法，其中正确的是()．A．唐僧说：我们要想到达正对岸就得朝着正对岸划船B．悟空说：我们要想节省时间就得朝着正对岸划船C．沙僧说：我们要想少走点路就得朝着正对岸划船D．八戒说：今天这种情况我们是不可能到达正对岸的解析当船朝正对岸运动时，渡河所用时间最短，B正确；由于船在静水中的速度大于水流速度，故船可以到达正对岸，但此时船头应斜向上游，A、C、D错误．答案B10．(单选)一小船在静水中的速度为3m/s，它在一条河宽为150m，水流速度为4m/s的河流中渡河，则该小船()．A．能到达正对岸B．渡河的时间可能少于50sC．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200mD．以最短位移渡河时，位移大小为150m解析因为小船在静水中的速度小于水流速度，所以小船不能到达正对岸，故A错误；当船头与河岸垂直时渡河时间最短，最短时间t＝eq\f(d,v船)＝50s，故渡河时间不能少于50s，故B错误；以最短时间渡河时，沿水流方向位移x＝v水t＝200m，故C正确；当v船与实际运动方向垂直时渡河位移最短，设此时船头与河岸的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(3,4)，故渡河位移s＝eq\f(d,cosθ)＝200m，故D错误．答案CB深化训练——提高能力技巧图4－1－1211．(2013·上海卷，20)(双选)如图4－1－12所示，为在平静海面上，两艘拖船A、B拖着驳船C运动的示意图．A、B的速度分别沿着缆绳CA、C