高考数学二轮复习 第二篇 熟练规范 中档大题保高分 第25练 空间中的平行与垂直练习 文试题

第25练空间中的平行与垂直[明考情]高考中对直线和平面的平行、垂直关系交汇综合命题，多以棱柱、棱锥、棱台或简单组合体为载体进行考查，难度中档偏下.[知考向]1.空间中的平行关系.2.空间中的垂直关系.3.平行和垂直的综合应用.考点一空间中的平行关系方法技巧(1)平行关系的基础是线线平行，比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系.(2)证明过程中要严格遵循定理中的条件，注意推证的严谨性.1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1证明如图所示，作ME∥BC交BB1于点E，作NF∥AD交AB于点F，连接EF，则EF⊂平面AA1B1B.∵ME∥BC，NF∥AD，∴eq\f(ME,BC)＝eq\f(B1M,B1C)，eq\f(NF,AD)＝eq\f(BN,BD).在正方体ABCD－A1B1C1D1∵CM＝DN，∴B1M＝NB又B1C＝BD∴eq\f(ME,BC)＝eq\f(BN,BD)＝eq\f(NF,AD)，又BC＝AD，∴ME＝NF.又ME∥BC∥AD∥NF，∴四边形MEFN为平行四边形，∴MN∥EF.又EF⊂平面AA1B1B，MN⊄平面AA1B1B，∴MN∥平面AA1B1B.2.(2017·全国Ⅰ)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P－ABCD的体积为eq\f(8,3)，求该四棱锥的侧面积.(1)证明由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥PA，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，所以PE⊥平面ABCD.设AB＝x，则由已知可得AD＝eq\r(2)x，PE＝eq\f(\r(2),2)x，故四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝eq\f(1,3)AB·AD·PE＝eq\f(1,3)x3.由题设得eq\f(1,3)x3＝eq\f(8,3)，故x＝2.从而结合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2eq\r(2)，PB＝PC＝2eq\r(2)，可得四棱锥P－ABCD的侧面积为eq\f(1,2)PA·PD＋eq\f(1,2)PA·AB＋eq\f(1,2)PD·DC＋eq\f(1,2)BC2sin60°＝6＋2eq\r(3).3.(2017·龙岩市新罗区校级模拟)如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.(1)若弧BC的中点为D，求证：AC∥平面POD；(2)如果△PAB的面积是9，求此圆锥的表面积.(1)证明方法一设BC∩OD＝E，∵D是弧BC的中点，∴E是BC的中点.又∵O是AB的中点，∴AC∥OE.又∵AC⊄平面POD，OE⊂平面POD，∴AC∥平面POD.方法二∵AB是底面圆的直径，∴AC⊥BC.∵弧BC的中点为D，∴OD⊥BC.又AC，OD共面，∴AC∥OD.又AC⊄平面POD，OD⊂平面POD，∴AC∥平面POD.(2)解设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，∴h＝r，l＝eq\r(2)r.由S△PAB＝eq\f(1,2)×2r×h＝r2＝9，得r＝3，∴S表＝πrl＋πr2＝πr×eq\r(2)r＋πr2＝9(1＋eq\r(2))π.4.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点解存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF綊CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD∥CF.又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A∴CF∥平面ADD1A1又CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1DD1⊂平面ADD1A1∴CC1∥平面ADD1A1又CC1，CF⊂平面C1CF，CC1∩CF＝C，∴平面C1CF∥平面ADD1A1考点二空间中的垂直关系方法技巧判定直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直定义.(2)(3)利用线面垂直的性质，两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面.(4)利用面面垂直的性质定理，两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.5.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点.求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.证明(1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝eq\f(1,2)DE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB.又AB＝eq\f(1,2)DE，∴GF＝AB.∴四边形GFAB为平行四边形，∴AF∥BG.∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE.∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.6.(2017·全国Ⅲ)如图，在四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.(1)证明如图，取AC的中点O，连接DO，BO.因为AD＝CD，所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.又DO∩OB＝O，所以AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.(2)解连接EO.由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝eq\f(1,2)AC.又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝eq\f(1,2)BD.故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的eq\f(1,2)，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的eq\f(1,2)，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.7.(2017·南京一模)如图，在六面体ABCDE中，平面DBC⊥平面ABC，AE⊥平面ABC.(1)求证：AE∥平面DBC；(2)若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC.证明(1)过点D作DO⊥BC，O为垂足.∵平面DBC⊥平面ABC，平面DBC∩平面ABC＝BC，DO⊂平面DBC，∴DO⊥平面ABC.又AE⊥平面ABC，则AE∥DO.又AE⊄平面DBC，DO⊂平面DBC，故AE∥平面DBC.(2)由(1)知，DO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴DO⊥AB.又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC⊂平面DBC，∴AB⊥平面DBC.∵DC⊂平面DBC，∴AB⊥DC.又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB⊂平面ABD，则DC⊥平面ABD.又AD⊂平面ABD，故可得AD⊥DC.8.已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD为正方形，顶点S在底面ABCD上的射影为其中心O，高为eq\r(3)，设E，F分别为AB，SC的中点，且SE＝2，M为CD边上的点.(1)求证：EF∥平面SAD；(2)试确定点M的位置，使得平面EFM⊥底面ABCD.(1)证明取SB的中点P，连接PF，PE.∵F为SC的中点，∴PF∥BC，又底面ABCD为正方形，∴BC∥AD，即PF∥AD，又PE∥SA，∴平面PFE∥平面SAD.∵EF⊂平面PFE，∴EF∥平面SAD.(2)解连接AC，AC的中点即为点O，连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD，取OC的中点H，连接FH，则FH∥SO，∴FH⊥平面ABCD，∴平面EFH⊥平面ABCD，连接EH并延长，则EH与DC的交点即为M点.连接OE，由题意知SO＝eq\r(3)，SE＝2.∴OE＝1，AB＝2，AE＝1，∴eq\f(MC,AE)＝eq\f(HC,HA)＝eq\f(1,3)，∴MC＝eq\f(1,3)AE＝eq\f(1,6)CD，即点M在CD边上靠近C点距离为eq\f(1,6)的位置.考点三平行和垂直的综合应用方法技巧空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.9.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点.求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.证明(1)在△PAD中，∵E，F分别为AP，AD的中点，∴EF∥PD.又∵EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴直线EF∥平面PCD.(2)如图，连接BD.∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ADB为正三角形.∵F是AD的中点，∴BF⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BF⊂平面ABCD，∴BF⊥平面PAD.又∵BF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD.10.(2017·山东)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.证明(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCD－A1B1C1D1所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EM⊥BD，又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1E⊥BD.因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1.又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM.又B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.11.(2017·汉中二模)如图，在棱长均为4的三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别是BC和B1C(1)求证：A1D1∥平面AB1D；(2)若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60°，求三棱锥B1－ABC的体积.(1)证明连接DD1，在三棱柱ABC－A1B1C1∵D，D1分别是BC和B1C1∴B1D1∥BD，且B1D1＝BD，∴四边形B1BDD1为平行四边形，∴BB1∥DD1，且BB1＝DD1.又∵AA1∥BB1，AA1＝BB1，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，∴四边形AA1D1D为平行四边形，∴A1D1∥AD.又∵A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D，∴A1D1∥平面AB1D.(2)解在△ABC中，边长均为4，则AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC.∵平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，AD⊂平面ABC∴AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A－B1BC在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4，得AD＝2eq\r(3)，在△B1BC中，B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°，∴△B1BC的面积为4eq\r(3).∴三棱锥B1－ABC的体积即为三棱锥A－B1BC的体积V＝eq\f(1,3)×4eq\r(3)×2eq\r(3)＝8.12.如图，在四棱锥S－ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD.四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点.(1)求证：CD⊥平面SAD；(2)求证：PQ∥平面SCD；(3)若SA＝SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并证明你的结论.(1)证明∵四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD.又∵平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面SAD.(2)证明取SC的中点R，连接QR，DR.由题意知，PD∥BC且PD＝eq\f(1,2)BC.在△SBC中，Q为SB的中点，R为SC的中点，∴QR∥BC且QR＝eq\f(1,2)BC.∴QR∥PD且QR＝PD，则四边形PDRQ为平行四边形，∴PQ∥DR.又PQ⊄平面SCD，DR⊂平面SCD，∴PQ∥平面SCD.(3)解存在点N为SC的中点，使得平面DMN⊥平面ABCD.连接PC，DM交于点O，连接PM，SP，NM，ND，NO，∵PD∥CM，且PD＝CM，∴四边形PMCD为平行四边形，∴PO＝CO.又∵N为SC的中点，∴NO∥SP.易知SP⊥AD.∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，且SP⊥AD，∴SP⊥平面ABCD，∴NO⊥平面ABCD.又∵NO⊂平面DMN，∴平面DMN⊥平面ABCD.例(12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，点E，F，H分别为AB，PC，BC的中点.(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAH⊥平面DEF.审题路线图(1)eq\x(E，F是中点)eq\o(→,\s\up7(取PD的),\s\do5(中点M))eq\x(构造▱AEFM)→eq\x(线线平行EF∥AM)→eq\x(线面平行EF∥平面PAD)(2)eq\x(面面垂直PAD⊥ABCD)eq\o(→,\s\up7(PA⊥AD))eq\x(线面垂直PA⊥底面ABCD)→eq\x(线线垂直PA⊥DE)eq\o(→,\s\up7(Rt△ABH≌Rt△DAE))eq\x(线线垂直DE⊥AH)→eq\x(线面垂直DE⊥平面PAH)→eq\x(面面垂直平面PAH⊥平面DEF)规范解答·评分标准证明(1)取PD的中点M，连接FM，AM.∵在△PCD中，F，M分别为PC，PD的中点，∴FM∥CD且FM＝eq\f(1,2)CD.∵在正方形ABCD中，AE∥CD且AE＝eq\f(1,2)CD，∴AE∥FM且AE＝FM，则四边形AEFM为平行四边形，∴AM∥EF.…………………4分又∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD.…………6分(2)∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，∴PA⊥底面ABCD.∵DE⊂底面ABCD，∴DE⊥PA.∵E，H分别为正方形ABCD边AB，BC的中点，∴Rt△ABH≌Rt△DAE，则∠BAH＝∠ADE，∴∠BAH＋∠AED＝90°，则DE⊥AH.…………………8分∵PA⊂平面PAH，AH⊂平面PAH，PA∩AH＝A，∴DE⊥平面PAH.…………10分∵DE⊂平面DEF，∴平面PAH⊥平面DEF.…………………12分构建答题模板[第一步]找线线：通过三角形或四边形的中位线，平行四边形、等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直.[第二步]找线面：通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行.[第三步]找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行.[第四步]写步骤：严格按照定理中的条件规范书写解题步骤.1.如图，在空间四面体ABCD中，若E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)求证：BC∥平面EFGH.证明(1)∵在空间四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，∴EF綊eq\f(1,2)AD，GH綊eq\f(1,2)AD，∴EF綊GH，∴四边形EFGH是平行四边形.(2)∵E，H分别是AB，AC的中点，∴EH∥BC.∵EH⊂平面EFGH，BC⊄平面EFGH，∴BC∥平面EFGH.2.(2017·北京)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积.(1)证明因为PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC.又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD.(2)证明因为AB＝BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知，PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC.所以平面BDE⊥平面PAC.(3)解因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE.因为D为AC的中点，所以DE＝eq\f(1,2)PA＝1，BD＝DC＝eq\r(2).由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC，所以三棱锥E－BCD的体积V＝eq\f(1,6)BD·DC·DE＝eq\f(1,3).3.(2017·北京海淀区模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝2，E是侧棱PA上的动点.(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论.(1)解∵PA⊥底面ABCD，∴PA为此四棱锥底面上的高.∴V四棱锥P－ABCD＝eq\f(1,3)S正方形ABCD×PA＝eq\f(1,3)×12×2＝eq\f(2,3).(2)证明连接AC交BD于点O，连接OE.∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝OC.又∵AE＝EP，∴OE∥PC.又∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴PC∥平面BDE.(3)解不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.∵CE⊂平面PAC，∴BD⊥CE.4.如图，已知正方形ABCD的边长为2，AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥A－BCD.(1)求证：平面AOC⊥平面BCD；(2)若三棱锥A－BCD的体积为eq\f(\r(6),3)，且∠AOC是钝角，求AC的长.(1)证明∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AO，BD⊥CO.折起后仍有BD⊥AO，BD⊥CO，