专题06 全等模型-角平分线模型（原卷版）

专题06全等模型-角平分线模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作.结论：、≌.图1图2常见模型1（直角三角形型）条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作.结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.）图3常见模型2（邻等对补型）条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。结论：①；②；③.例1．（2022·北京·中考真题）如图，在中，平分若则____．例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°例3．（2023·山东·七年级专题练习）如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小．例4．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）定理的回顾与应用：(1)填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到．符号语言：∵如图1，为上的平分线，且，∴．(2)解答：已知：如图2，，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、，且．求证：．(3)作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点P为的平分线上的点，请你用尺规作图3，分别在角的两边上找点、，使得（要求保留作图痕迹，不写作法）(4)思考：如图4，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、，当与有怎样的数量关系时，．（只写数量关系，不必证明）模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，为的角平分线，，结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。图1图2图3条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F.结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。例1．（2023·江苏·八年级期末）如图，中，，，平分，则的最大值为．例2．（2022·绵阳市·九年级期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF．（2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系．例3．（2022·安徽黄山·九年级期中）如图，在中，，，是边上一动点，于．（1）如图（1），若平分时，①求的度数；②延长交的延长线于点，补全图形，探究与的数量关系，并证明你的结论；（2）如图（2），过点作于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想．模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）【模型解读与图示】条件：如图，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结.结论：≌，CB=CA。条件：如图，分别为和的角平分线，，在上截取，连结.结论：≌，≌，AB+CD=BC。例1．（2023·山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（

）A． B． C． D．4例2．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．

例3．（2023·山东八年级课时练习）（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．例4．（2023·辽宁沈阳·八年级校考期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________.(2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.

课后专项训练1．（2022·江苏常州·一模）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点C作于E，则的值为（

）A． B．9 C．6 D．7．22．（2021·四川成都·二模）已知，如图，BC=DC，∠B+∠D=180°．连接AC，在AB，AC，AD上分别取点E，P，F，连接PE，PF．若AE=4，AF=6，△APE的面积为4，则△APF的面积是（

）A．2 B．4 C．6 D．83．（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，平分，，，，，则的长为（

）

A． B． C． D．4．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M、N两点，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；其中正确的个数为（）

A．3 B．2 C．1 D．05．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作直线交于点，交于点，过点作于，有下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则，其中正确的结论有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2022·福建·福州立志中学一模）如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点B，交CD于点F，H是BC边的中点，连接DH交BE于点G，现给出以下结论：①△ACD≌△FBD；②AE=CE；③△DGF为等腰三角形；④S四边形ADGE=S四边形GHCE．其中正确的有_________（写出所有正确结论序号）．7．（2023·重庆市八年级月考）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为______cm2．8．（2023·江苏八年级月考）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD＝4，则CE＝________．9．（2023春·广西·七年级专题练习）如图，四边形中，平分，于点，．求证：．10．（2023·成都市八年级课时练习）如图，在四边形中，于，，.求证：；.11．（2023·四川·八年级期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF．（2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系．12．（2022·北京西城·二模）在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如图1，当点E与点C重合时，AD与的位置关系是______，若，则CD的长为______；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示与之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．13．（2022·重庆·二模）已知：如图1，四边形ABCD中，，连接AC、BD，交于点E，．(1)求证：；(2)如图2，过点B作，交DC于点F，交AC于点G，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，若，求线段GF的长．14．（2022·陕西西安·一模）如图，△ABD和△BCE都是等边三角形，∠ABC＜105°，AE与DC交于点F．（1）求证：AE＝DC；（2）求∠BFE的度数；（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．15．（2022·自贡市九年级月考）根据图片回答下列问题．(1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．(2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC．16．（2023·山东·九年级专题练习）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容．已知：如图13.5.4，是的平分线，P是上任意一点，，垂足分别为点D和点E．求证：．分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得【问题解决】请根据教材