专题03 圆中的重要模型-四点共圆模型（原卷版）

专题03圆中的重要模型-四点共圆模型四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。例1、（2023•连云港期中）如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是．例2．（2022秋·江西赣州·九年级校联考期中）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（

）A．∠ACB=90°B．∠BDC=∠BACC．AC平分∠BADD．∠BCD+∠BAD=180°例3．（2021·湖北随州·统考中考真题）如图，在中，，为的中点，平分交于点，，分别与，交于点，，连接，，则的值为；若，则的值为．例4．（2022·北京·清华附中九年级阶段练习）如图，四边形中，，，则的度数为______．模型2、定边对双直角共圆模型同侧型异侧型1）定边对双直角模型（同侧型）条件：若平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。2）定边对双直角模型（异侧型）条件：若平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆，其中AC为直径。例1．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，是的中点，是的中点，若，，，则的长为（

）

A． B． C． D．例2．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，四边形中，，，于点．若，，则线段的长为．例3．（2022·浙江嘉兴·二模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA平分∠BED．（1）CD的长是；（2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是．例4．（2022·湖北武汉·校考二模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD．（1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°；（2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP．若AP＝2，求△APC的面积；模型3、定边对定角共圆模型条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆．条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆.例1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上．（1）求∠BAD的度数；（2）求证：A、D、B、E四点共圆．例2．（2022秋·江苏无锡·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例3．（2023·江苏·九年级假期作业）综合与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）∵∠B＝∠D∴∠AEC+∠B＝180°∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）∴点A，B，C，D四点在同一个圆上(1)上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：；依据2：．(2)如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为．拓展探究：(3)如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．①求证：A，D，B，E四点共圆；②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由例4．（2022·陕西·九年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，对角线平分，，且．(1)证明：；(2)若，，求的长．

模型4、对角互补共圆模型条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆．条件：如图2，BA、CD的延长线交于P，，结论：A、B、C、D四点共圆.例1．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，其中点与点对应，点与点对应．(1)画出．(2)直线与直线相交于点，证明：A，，，四点共圆．例2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，中，，平分，，连接，并延长分别交，于点和点，若，，则的长为（）A．10 B．12 C．15 D．16例3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，，，点、分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为．

例4．（2022春·浙江九年级课时练习）在正方形中，是边上一点，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，若点，，三点共线，求证：，，，四点共圆；（3）若点，，三点共线，且，求的长．课后专项训练1．（2023·广西·中考模拟）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（）A．B．C．D．2．（2023秋·河北张家口·九年级校考期末）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（）A．2 B．3 C．4 D．63．（2022秋·北京海淀·九年级校考期中）如图，点O为线段的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接，．请写出图中任意一组互补的角为和（不添加辅助线，不添加数字角标和字母）4．（2022·广东·东莞市九年级期末）如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝，∠ABC＝60°．D是平面内一动点，且∠ADB＝30°，则CD的最小值是________5．（2022·广西·九年级专题练习）如图所示，，，则___．6．（2022春·九年级课时练习）如图所示，，，求.7．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在中，，，的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．

8．（2023·江苏·九年级假期作业）已知：如图，在正方形中，、分别是、的中点．(1)线段与有何关系．说明理由；(2)延长、交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由．9．（2022秋·九年级统考期末）如图，在中，，点为线段一点，连接，将绕点旋转至，连接和（）．

(1)如图1，若，，点P是延长线一点，连接，若，，，求的长；(2)如图2，，作于点交于点，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，若，点是直线上一动点，连接，当点运动到中点时，将沿翻折至，连接，请直接写出面积的最大值．10．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）如图，以点为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），，将绕点P旋转，得到．(1)求B、C两点的坐标；(2)请在图中画出线段、，并判断四边形的形状（不必证明），求出点M的坐标；(3)动直线l从与重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与重合时停止，设直线l与交点为E，点Q为的中点，过点E作于G，连接、．请问在旋转过程中的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．11．（2022·江苏扬州·模拟预测）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．设AB＝1．（1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；（2）分别求△ABC和△ABD的面积；（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求OE︰OF的比值．12．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E．F运动时间为t秒．回答下列问题：(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于cm?(2)如图2，在点E、F运动过程中，①求证：点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；②是否存在这样的t值，使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为_________．13．（2021·九年级课时练习）如图，四边形内接于，对角线，垂足为，于点，直线与直线于点．（1）若点在内，如图1，求证：和关于直线对称；（2）连接，若，且与相切，如图2，求的度数．14．（2023·江苏·九年级假期作业）【问题情境】如图①，在四边形中，，求证：A、B、C、D四点共圆．小吉同学的作法如下：连结，取的中点，连结、，请你帮助小吉补全余下的证明过程；【问题解决】如图②，在正方形中，，点是边的中点，点是边上的一个动点，连结，，作于点P．（1）如图②，当点P恰好落在正方形对角线上时，线段的长度为；（2）如图③，过点P分别作于点，于点，连结，则的最小值为．15．（2023·山东日照·统考中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．

(1)求证：A，E，B，D四点共圆；(2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；(3)已知，点M是