专题06 圆中的重要模型-圆中的外接圆和内切圆模型（原卷版）

专题06圆中的重要模型--圆中的外接圆和内切圆模型模型1、内切圆模型【模型解读】内切圆：平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆，这时称这个多边形为圆外切多边形。它亦是该多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。三角形内切圆圆心：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。【常见模型及结论】1）三角形的内切圆模型条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为三角形ABC的内心），⊙O的半径为r。结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。图1图2图32）直角三角形的内切圆模型条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为三角形ABC的内心），⊙O的半径为r。结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=；3）四边形的内切圆模型条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。结论：。例1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知圆O是的内切圆，且，则的度数是（）A． B． C． D．例2．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC＝（

）A．100° B．110° C．115° D．120°例3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股（长直角边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径长是（）

A．3步 B．5步 C．6步 D．8步例4．（2023·湖北武汉·九年级期中）《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式．若三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是（

）A． B． C． D．例5．（2023·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB＋CD的值是A．14 B．12 C．9 D．7例6．（2023春·江苏宿迁·九年级校联考期中）如图是的内切圆，切点分别是D，E，F，其中，若与相切与G点，与相交于M，N点，则的周长等于．

例7．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，在直角坐标系中，一直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，且，若是的内切圆，与、、轴分别相切，与、、轴分别相切，……按此规律，则的半径．例8．（2023·江苏无锡·统考模拟预测）如图，中，，，，点在内，且平分，平分，过点作直线，分别交、于点、，若与相似，则线段的长为（

）A．5 B． C．5或 D．6模型2、多边形的外接圆模型【模型解读】外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形，若一个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆，此时圆正好把三角形包围。三角形外接圆圆心：即做三角形三条边的垂直平分线（两条也可，两线相交确定一点）。【常见模型及结论】1）三角形的外接圆模型条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。结论：①OA=OB=OC；②。图1图2图32）等边三角形的外接圆模型条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；3）四边形的外接圆模型条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。结论：①；；②。例1．（2023春·湖北九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是内心，O是外心，则∠BIC＝（

）度A．70 B．135 C．55 D．125例2．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．例3．（2023·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则它的外接圆半径R＝，内切圆半径r＝．例4．（2023·江苏泰州·九年级统考期中）如图，在中，，，，点M，N分别是的内心和外心，则．例5．（2022秋·吉林白山·九年级统考期末）如图，在中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，连接．(1)求证：．(2)若，，求的长．例6．（2023湖北武汉九年级上期中）如图，点A、P、B、C为⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判断△ABC形状并证明；（2）将△APB绕点B顺时针旋转60°至△CMB，请画出图形，直接写出PA，PB，PC三者之间的数量关系．例7．（2023重庆九年级上期中）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．（1）求证：△ADP∽△BDA；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长．课后专项训练1．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图，在中，点I为三角形的内心，若为，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（2023春·广东九年级期中）圆O内切于三角形，在斜边上的切点为D，，，则内切圆的半径为（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2023秋·绵阳市九年级期中）如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长（）A．11 B．10 C．9 D．84．（2023春·江苏九年级期中）如图，的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，已知的周长为36．，，则AF的长为（

）A．4 B．5 C．9 D．135．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，不等边内接于，I是其内心，，，，内切圆半径为（

）A．4 B． C． D．6．（2023·江苏·九年级专题练习）图，是△ABC的外接圆，点I是△ABC内心，连接AI并延长交⊙O于点D，若AB＝9，BC＝14，CA＝13，则的值是（

）A． B． C． D．7．（2023·黑龙江·校联考模拟预测）△ABC中，∠A＝80°，点M是△ABC的外心，点N是△ABC的内心，连接BM，CM，BN，CN，则∠BMC与∠BNC的差为（）A．30° B．35° C．40° D．45°8．（2023·山东聊城·九年级校联考期中）等边三角形的内切圆半径、外接圆半径的比是（

）A．1： B．2：1 C．1： D．1∶29．（2023·山东枣庄·九年级校考自主招生）如图，中，内切圆O和边、、分别相切于点D、E、F，则以下四个结论中，错误的结论是（

）A．点O是的外心B．C．D．10．（2023·江苏九年级课时练习）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（

）A．64° B．120° C．122° D．128°11．（2022秋·山东潍坊·九年级统考期末）如图，点I为的内切圆的圆心，连接并延长交的外接圆于点D，连接，若，则的长为（

）．A．1 B．2 C．2.5 D．3.512．（2023春·江苏九年级课时练习）用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：如图，①在上任取一点A，连接并延长交于点B；②以点B为圆心，为半径作圆弧分别交于C，D两点；③连接，并延长分别交于点E，F；④顺次连接，，，，，，得到六边形．连接，，交于点G，则下列结论错误的是（

）A．的内心与外心都是点G B．C．点G是线段的三等分点 D．13．（2023·广东广州·校考二模）如图，是的弦，点是上一点，与点关于对称，直线交于点，交于点，直线交于点，且连接给出下面四个结论：①；②平分；③平分；④点为的内心．其中，所有正确结论的序号是．14．（2023·贵州遵义·统考二模）已知内接于，它的内心为点D，连接交弦于点E，交于点F，已知，，，则线段的长为．

15．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点B的坐标为（4，0），以O点为圆心，以OB为半径的圆交y轴于点A，点C为第一象限内圆上一动点，CD⊥x轴于D点，点I为△OCD的内心，则AI的最小值为．16．（2022秋·江苏泰州·九年级统考期中）如图，在中，，，，点M，N分别是的内心和外心，则．17．（2023·北京·九年级校考阶段练习）在△ABC中，∠BAC=80°，∠C=60°，若点O为△ABC的外心，则∠AOC的度数是；若点P为△ABC的内心，则∠APC的度数是．18．（2023·山东泰安·九年级统考期末）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为．19．（2023·山东潍坊·统考二模）如图，点N为的内心，连接，．分别以A，C为圆心，，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交的垂直平分线于点M，连接，，若，则°．

20．（2023·江苏南通·九年级统考期中）直角三角形的外接圆半径是3，内切圆半径是1，则该直角三角形的周长为．21．（2023浙江年级上期中）在△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm，则它的外接圆半径R=cm，内切圆半径r=cm.22．（2023·江苏南京·统考二模）如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与，，相切，切点分别为，，，则的半径为．

23．（2023·江苏·九年级假期作业）如图内接于，，是的直径，点是延长线上一点，且，．(1)求证：是的切线；(2)求的直径；(3)当点B在下方运动时，直接写出内心的运动路线长是．

24．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE，(1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度数；(2)求证：DE=DB．25．（2023·北京·校考三模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OIR2Rr.下面是该定理的证明过程（借助了第(2)问的结论）：延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等），∴△MDI∽△ANI.∴，∴IAIDIMIN①如图②，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°.∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA．∵∠BAD=∠E（同弧所对圆周角相等），∴△AIF∽△EDB．∴，∴②，由（2）知：，∴又∵，∴2Rr(Rd)(Rd)，∴Rd2Rr∴dR2Rr任务：（1）观察发现：IMRd，IN（用含R，d的代数式表示）；（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由.（请利用图1证明）.（3）应用：若△ABC的外接圆的半径为6cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm．26．（2023江苏九年级上期末）如图，△ABC中，A、B，C三点的坐标分别为A（0，8），B（–6，0），C（15，0）．若△ABC内心为D，求点D的坐标．27．（2023春·福建泉州·九年级校考期中）如图，已知在中．（1）请用圆规和直尺作出的内切圆⊙：（保留作图痕迹，不写作法）（2）若⊙与、、分别相切于点D、E、F，且，的周长为12，求的长．28．（2023春·安徽·九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．（1）求证：OD⊥BE；（2）若DE＝，AB＝10，求AE的长；（3）若△CDE的面积是△OBF面积的，求的值．29．（2023江苏盐城九年级期中）（1）如图所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：．（2）[初步探索]小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：根据小明的思路，请你完成证明．若圆的半径为，则的最大值为______．（3）类比迁移：如图所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为，试求周长的最大值．（4）拓展延伸：如图所示，等腰，点A、在圆上，，圆的半径为连接，试求的最小值．30．（2023山东九年级上期中）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点．∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：