专题05锐角的三角比（3个知识点7种题型1种中考考法）（解析版）

专题05锐角的三角比（3个知识点7种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：正切与余切知识点2：正弦与余弦知识点3：特殊锐角三角比的值【方法二】实例探索法题型1：正切、余切的有关计算题型2：网格内正切、余切的计算题型3：正弦、余弦的有关计算题型4：根据特殊锐角三角比的值求锐角题型5：特殊角的三角比的值的运算题型6：锐角三角比的应用题型7：求15°、75°、22.5°、67.5°的锐角三角比的值【方法三】仿真实战法考法：特殊锐角三角比的值【方法四】成果评定法【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：正切与余切1.正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tanA．．2.余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cotA．．aacABCb知识点2：正弦与余弦1.正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sinA．．2.余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cosA．．aacABCb知识点3：特殊锐角三角比的值1.特殊锐角的三角比的值30°45°1160°3.通过观察上面的表格，可以总结出：当090，的正弦值随着角度的增大而增大，的余弦值随着角度的增大而减小；的正切值随着角度的增大而增大，的余切值随着角度的增大而减小．【方法二】实例探索法题型1：正切、余切的有关计算1．（2022春•浦东新区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（）A．tanB=34 B．cotB=43 C．sinB=45【解答】解：如图，根据勾股定理得：BC=ABtanB=ACcotB=1sinB=ACcosB=BC故选：C．2．⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图所示，Rt△ABC中，设AC=b，BC=a，AB=c．根据锐角三角函数的定义：A、∵tanA=，cotA=，，∴，故成立；B、∵tanA=，cotB=，，∴，故不成立；C、∵tanA=，cotB=，∴，故不成立；D、∵cotA=，tanB=，∴，故不成立；3．（2021秋•青浦区期末）在△ABC中，∠C＝90°，如果tan∠A＝2，AC＝3，那么BC＝．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，tan∠A＝2，AC＝3，∴BC＝ACtan∠A＝3×2＝6，故答案为：6．题型2：网格内正切、余切的计算4.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．【答案】D．【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．题型3：正弦、余弦的有关计算5．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】作AD垂直BC的延长线于点D则△ABD为等腰直角三角形，∠B=45°∴6．在⊿ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则______．【答案】【详解】在Rt△ABC中，AC＝，，故填．题型4：根据特殊锐角三角比的值求锐角7．（2021秋•松江区期末）已知sinα＝，那么锐角α的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．75°【解答】解：∵sin60°＝，∴∠A＝60°，故选：C．8．（2021秋•黄浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACAB=32，那么∠B＝【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACAB那么sinB=AC∴∠B＝60°，故答案为：60°．题型5：特殊角的三角比的值的运算9．（2021秋•杨浦区期末）计算：cos245°﹣tan30°sin60°＝．【解答】解：cos245°﹣tan30°sin60°=12故答案为：0．10．（2021秋•浦东新区校级期末）计算：3cot60°+2sin45°＝．【解答】解：3cot60°+2sin45°＝3×+2×＝+，故答案为：+．11.（2021秋•嘉定区期末）计算：．【解答】解：＝＝＝．12．（2021秋•崇明区期末）计算：3tan30°+2cos45°﹣2sin60°•cot45°．【解答】解：3tan30°+2cos45°﹣2sin60°•cot45°．＝3×+2×﹣2××1＝＝．13．（2021秋•徐汇区期末）计算：sin60°+3tan30°⋅cos60°1-2cot45°+cot30°【解答】解：sin60°+3tan30°⋅cos60°=3=3=3=3+14．（2021秋•普陀区期末）计算：4sin【解答】解：原式==4×=3-1-1=1=315．（2021秋•黄浦区期末）计算：tan30°2cos30°+cot245°﹣sin2【解答】解：tan30°2cos30°+cot245°﹣sin2=332×32=13+=516．（2021秋•静安区期末）计算：tan45°sin60°⋅cot30°-(sin30°【解答】解：tan45°sin60°⋅cot30°-(sin30°=132×3-|=2=7题型5：锐角三角比的应用17.已知方程有两个相等的实数根，求锐角的大小．【答案】30°【解析】∵方程有两个相等的实数根， ∴ ． ∴． ∴．【总结】本题将根的判别式与锐角三角比结合在一起，完成相应计算．18.已知中，，，BC=15cm，求AB的长．【答案】AB=【解析】解：过A作AD⊥BC，垂足为D． 设， 在中，， ∴，则； 在中，， ∴，则； ∵BC=15cm， ∴， 解得：． ∴．19.已知中，，，BC=15cm，求AB的长．【答案】AB=【解析】解：过A作AD⊥BC，垂足为D． 设， 在中，， ∴，则； 在中，， ∴，则； ∵BC=15cm，∴，解得：． ∴．20.已知中，，AC=15cm，cm，求AB的长．【答案】或．ABCABCDABCD （图1） （图2）解：过C作CD⊥BA，垂足为D． 在中，，AC=15， ∵， ∴． 在中， ∵， ∴． 在图1中，； 在图2中，． 综上所述：AB的长为或．21.已知中，，，，求a、b、c的值．【答案】，，【解析】解：在中，，则． ∵， ∴， 解得：， ∴，．【总结】本题是对特殊角锐角三角比的综合运用．22.在中，、均是锐角，且，请判断的形状，并说明理由．【答案】等边三角形．【解析】∵， ∴，，解得：，． ∴，． ∴为等边三角形．【总结】本题主要是对绝对值和平方的非负性和特殊角的锐角三角比的值的综合考查．题型7：求15°、75°、22.5°、67.5°的锐角三角比的值23.应用锐角三角比的定义，求sin15°、tan15°、sin75°、tan75°．【答案】，，，．【解析】如图，作等腰△ABC，且． CCABD 过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D， 则，，． 设，则，， ． 在△BDC中， ； ； ； ．24.应用锐角三角比的定义，求sin22.5°、tan22.5°、sin67.5°、tan67.5°．【答案】，，， ．【解析】如图，作等腰△ABC，且． CCABD过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D． 则，． 设，则，， ． 在△BDC中， =； ； ； ．【方法三】仿真实战法考法：特殊锐角三角比的值25．（2022•广东）sin30°＝．【解答】解：sin30°＝．故答案为：．26．（2022•乐山）sin30°+﹣2﹣1．【解答】解：原式＝+3﹣＝3．27．（2022•金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．【解答】解：原式＝1﹣2×1+2+3＝1﹣2+2+3＝4．28．（2022•天津）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C． D．【解答】解：tan45°的值等于1，故选：B．29．（2022•荆门）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝．【解答】解：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1，故答案为：﹣1．30．（2022•牡丹江）先化简，再求值．（x﹣）÷，其中x＝cos30°．【解答】解：原式＝•＝•＝x﹣1，∵x＝cos30°＝，∴原式＝﹣1．31．（2022•通辽）计算：•+4|1﹣|sin60°﹣（）﹣1．【解答】解：•+4|1﹣|sin60°﹣（）﹣1＝2+4×（﹣1）×﹣2＝2+2（﹣1）﹣2＝2+6﹣2﹣2＝4．32．（2022•张家界）计算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1．【解答】解：原式＝＝．【方法四】成功评定法一、单选题1．（2023·上海·一模）在中，，，，那么的长是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】画出图形，利用三角函数的定义即可完成．【详解】如图所示，由正弦函数定义有：，；故选：A．【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义，已知一个角及斜边，求此角的对边，则利用正弦函数可以解决．2．（2023·上海长宁·统考一模）在中，，已知，，那么的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用锐角三角函数求出结果即可．【详解】解：如图，在中，，，，，故选C．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角的对边与斜边的比叫做该锐角的正弦是解题的关键．3．（2023·上海·一模）在直角坐标平面内，如果点，点与原点的连线与轴正半轴的夹角是，那么的值是（

）A．4 B． C． D．【答案】A【分析】由锐角的余切定义，即可求解．【详解】解：如图，∵点，∴．故选∶A【点睛】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，关键是掌握锐角的三角函数定义．4．（2023·上海松江·统考一模）已知中，，，，那么下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据勾股定理求得斜边长，进而根据三角函数的定义即可求解．【详解】解：如图∵中，，，，∴,∴，，，，故选：B．【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解题的关键．5．（2023·上海虹口·统考一模）如图，在中，，那么的值为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】先利用勾股定理求解，再利用余弦的定义直接求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理，锐角的余弦的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数的定义．6．（2023·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，已知点与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为，那么的值是（）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】如图，由题意易得，然后问题可求解．【详解】解：过点A作轴于点B，如图所示：由题意得：，∵，∴，∴；故选B．【点睛】本题主要考查三角函数及坐标与图形，熟练掌握求一个角的正切值是解题的关键．二、填空题7．（2023·上海奉贤·统考一模）在中，如果，，那么的值是．【答案】【分析】根据题意可知，是等腰三角形，可知等腰三角形的三线合一，如图所示，过点作于，在中，根据余弦的计算方法即可求解．【详解】解：∵，∴是等腰三角形，如图所示，过点作于，，∴，在中，，故答案为：．【点睛】本题主要考查等腰三角形，余弦的计算方法，掌握等腰三角形的性质，构造直角三角形，余弦的计算方法是解题的关键．8．（2021秋·上海金山·九年级校考期中）在中，若，，，则【答案】4【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinA=，代入求出即可．【详解】解：，，，故答案为4．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．9．（2021·上海·九年级专题练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠B＝．【答案】60°【分析】利用正弦定义计算即可．【详解】解：如图，∵sinB＝，∴∠B＝60°，故答案为：60°．【点睛】此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握正弦定义．10．（2022·上海·九年级专题练习）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为米．【答案】【分析】由正切的定义分别确定的表达式，进而联立成方程组，求解方程组即可得到答案．【详解】解：如图，CD为树高，点C为树顶，则，BD=AD-100∴依题意，有由①得将③代入②，解得故答案为：．【点睛】本题考查正切的定义，二元一次方程组得应用，能依题意根据正切的定义列出方程组是解题的关键．11．（2023·上海·一模）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为．【答案】/0.5【分析】根据题意和图形，可以求得、和的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，然后即可求得的正弦值．【详解】解：由图可得，，，．∴，∴是直角三角形，∴，故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12．（2023·上海徐汇·统考一模）计算：【答案】/【分析】根据特殊角三角函数代入求解即可得到答案；【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查特殊角三角函数混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角三角函数值．13．（2023·上海长宁·统考二模）如图，在菱形中，对角线与交于点O，已知，，如果点E是边的中点，那么．【答案】5【分析】根据菱形的性质得到，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∴，∴，∵点E是边的中点，∴．故答案为：5．【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．14．（2023·上海普陀·统考二模）如图，在中，，，，点在边上，联结，将沿直线翻折后，点的对应点为点，如果，那么点到直线的距离为．【答案】【分析】过点作于点证明，求出利用余弦、正弦，等腰三角形的判定与性质求，，进而可得的长．【详解】解：过点作于点．，，由翻折变换的性质可知，，∴，∴，，，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换，等腰三角形的判定与性质，正弦、余弦．解题的关键在于添加辅助线，构造直角三角形解决问题．15．（2020·九年级校考期中）若sinα＝cos60°，则锐角α＝．【答案】45°【分析】根据30°，45°，60°角的三角函数值解答即可．【详解】∵sinα＝，∴α＝45°．故答案为：45°．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．16．（2022秋·上海黄浦·九年级校联考阶段练习）如图，已知在中，，分别是边上的高，连接，那么和的周长比为．【答案】/【分析】根据三角形的高得出，证明，继而证明，根据周长比等比相似比，结合，即可求解．【详解】∵分别是边上的高，∴，∵，∴，∴∴∵，∴，∴与的周长比，∵，∴与的周长比，故答案为：．【点睛】本题考查了余弦的定义，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．17．（2023·上海金山·统考一模）我们把将一个三角形面积分为相等的两个部分的直线称为美丽线．如图，在中，，直线是的一条美丽线，直线分别交边于点、，交延长线于点，当时，那么的值为．【答案】【分析】连接，根据新定义得出，设，则，根据得出，继而得出，即可求得，进而根据等角的余角相等，得出，即可求解．【详解】解：连接，依题意，在中，，直线是的一条美丽线，∴∵∴设，，则，.∴∴，∴,设，则，∴，∵，即∴，∵∴∴∵，∴∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查了余弦的定义，根据新定义得出是解题的关键．18．（2023·上海闵行·统考二模）如图，在菱形中，，，如果将菱形绕着点D逆时针旋转后，点A恰好落在菱形的初始边上的点E处，那么点E到直线的距离为．【答案】3【分析】如图，旋转、菱形的性质可知，，则，，，，根据E到直线的距离为，计算求解即可．【详解】解：如图，菱形绕着点D逆时针旋转后为菱形，由旋转、菱形的性质可知，，∴，，∴，∴，∴E到直线的距离为，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，菱形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．三、解答题19．（2023·上海崇明·统考一模）计算：【答案】【分析】因为，，，，然后代入计算式即可得出答案．【详解】，，，，原式，故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的各种三角函数值是解题的关键．20．（2023·上海·一模）计算：．【答案】【分析】把、、角的各种三角函数值代入计算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了特殊三角函数值的计算，特殊三角函数值计算在中考中经常出现，准确记住、、角的各种三角函数值是解题的关键．21．（2023·上海宝山·一模）计算：．【答案】【分析】分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【详解】解：【点睛】本题考查了三角函数值的混合运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．22．（2023·上海普陀·统考二模）如图，在中，，垂足为点，，，，．

(1)求的长；(2)求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据求得，根据，得出，代入数据即可求解；（2）勾股定理求得，根据，可得，根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；（2）在中，勾股定理得，∵，∴，【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．23．（2023·上海·一模）如图，已知是等边三角形，，点在上，，是的外角平分线，连接并延长与交于点．

(1)求的长；(2)求的正切值．【答案】(1)3(2)【分析】（1）证明，则，再根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；（2）过点作于点，在直角中，利用三角函数求得和的长度，即可求得的大小，即可求得三角函数值．【详解】（1）解：在延长线上取一点，是等边三角形，，，，是的外角平分线，，，，，又，，，．（2）解：过点作于点．

，，，，，又，，，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数值的求法，求三角函数值的问题常用的方法是转化为求直角三角形的边的问题．24．（2022春·上海普陀·九年级校考期中）如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转．若∠BOA的两边分别与函数的图像交于A、B两点，(1)当OB与x轴的正半轴的夹角为45°时，求点A、B的坐标．(2)在直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转过程中，∠OAB大小会变化吗？如果不变，请求出tan∠OAB的值如果有变化，请说明理由．(3)如果AB交y轴于点C，若AC=2BC时，求点A，B的坐标．【答案】(1)A（-1,1），B（2,2）(2)2(3)【分析】（1）根据OB与x轴的正半