专题03 实数（知识串讲+热考题型+真题训练）（解析版）

专题03实数【考点1：平方根的】【考点2：利用开平方解方程】【考点3：算术平方根的概念及应用】【考点4：算术平方根的非负性】【考点5：立方根的概念及性质】【考点6：开方运算中小数点移动规律】【考点7：平方根与立方根的综合】【考点8：立方根的应用】【考点9：无理数的概念】【考点10：实数的分类和性质】【考点11：实数与数轴的关系】【考点12：估算无理数范围】【考点13：无理数的整数和小数部分问题】【考点14：实数大小比较】【考点15：实数的运算】知识点1：平方根1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点3：平方根的性质知识点4：平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.知识点5：立方根的定义1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.2.立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.知识点6：立方根的性质注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.知识点7：立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.知识点8：无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.知识点9：实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.知识点10：实数运算1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。【考点1：平方根的】1．9的平方根是（）A．±3 B．± C．±9 D．3【答案】A【解答】解：9的平方根是：±＝±3．故选：A．2．一个正数的两个平方根分别是2a﹣3和5﹣a，则这个数是（）A．49 B．25 C．16 D．7【答案】A【解答】解：由题意得，2a﹣3+5﹣a＝0，解得a＝﹣2，∴5﹣a＝5﹣（﹣2）＝7，2a﹣3＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，∴（±7）2＝49，即这个数是49，故选：A．3．的平方根是（）A．4 B．±4 C．±2 D．2【答案】C【解答】解：＝4，4的平方根是±2．故选：C．4．若a2＝9，b3＝﹣8，且ab＞0，则a﹣b的值为（）A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣1或5【答案】A【解答】解：∵a2＝9，b3＝﹣8，∴a＝±3，b＝﹣2，∵ab＞0，∴a＝﹣3∴a﹣b＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1．即a﹣b的值为﹣1．故选：A．【考点2：利用开平方解方程】5．求下列各式中x的值．（1）x2﹣25＝0；（2）（x﹣1）2＝64．【答案】（1）x＝±5；（2）x＝9或x＝﹣7．【解答】解：（1）移项，得x2＝25，开平方，得x＝±5；（2）开平方，得x﹣1＝±8，解得x＝9或x＝﹣7．6．解方程：（1）25x2﹣49＝0；（2）2（x+1）2﹣49＝1．【答案】（1）；（2）x1＝4，x2＝﹣6．【解答】解：（1）25x2﹣49＝0，化为：，∴x＝±，∴；（2）2（x+1）2﹣49＝1，化为：（x+1）2＝25，∴x+1＝±5，∴x1＝4，x2＝﹣6．【考点3：算术平方根的概念及应用】7．4的算术平方根是（）±2 B．﹣2 C．2 D．【答案】C【解答】解：4的算术平方根是：，故选：C．8．整数100的算术平方根是（）A．10 B．±10 C．100 D．±100【答案】A【解答】解：100的算术平方根为10，故选：A．【考点4：算术平方根的非负性】9．若，则a+b的值是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．0【答案】C【解答】解：∵，|a+3|≥0，，∴a+3＝0，2﹣b＝0，解得a＝﹣3，b＝2，∴a+b＝﹣3+2＝﹣1．故选：C．10．若，则yx的值为（）A．﹣6 B．﹣8 C． D．【答案】B【解答】解：∵，∴y+2＝0，x﹣3＝0，解得：y＝﹣2，x＝3，∴yx＝（﹣2）3＝﹣8，故选：B．11．若，则（a+b）2023＝﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：∵，∴a+3＝0，b﹣2＝0，∴a＝﹣3，b＝2，∴a+b＝﹣1，∴（a+b）2023＝（﹣1）2023＝﹣1，故答案为：﹣1．【考点5：立方根的概念及性质】12．实数﹣27的立方根是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．﹣9【答案】B【解答】解：实数﹣27的立方根是﹣3，故选：B．13．若一个数的立方根等于﹣2，则这个数等于（）A．4 B．8 C．±8 D．﹣8【答案】D【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2，故选：D．14．若，则的值为（）A．﹣5 B．15 C．25 D．5【答案】A【解答】解：由题意得，x﹣5＝0，y+25＝0，解得x＝5，y＝﹣25，∴＝＝＝﹣5，故选：A．【考点6：开方运算中小数点移动规律】15．已知≈0.7937，≈1.7100，那么下列各式正确的是（）A．≈17.100 B．≈7.937 C．≈171.00 D．≈79.37【答案】B【解答】解：∵；故选：B．16．如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（）A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333【答案】C【解答】解：∵≈1.333，∴＝≈1.333×10＝13.33．故选：C．17．已知，，那么约等于（）A．13.11 B．0.1311 C．41.47 D．0.4147【答案】A【解答】解：∵，∴，故选：A．【考点7：平方根与立方根的综合】18．已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2．（1）求a、b的值．（2）求2a+b的算术平方根．【答案】（1）a＝16，b＝4；（2）6．【解答】解：（1）∵实数a+9的一个平方根是﹣5，∴a+9＝（﹣5）2＝25，解得a＝16，∵2b﹣a的立方根是﹣2，∴2b﹣a＝（﹣2）3＝﹣8，即2b﹣16＝﹣8，解得b＝4，∴a＝16，b＝4；（2）解：，即2a+b的算术平方根是6．19．已知7a+1的立方根是，8a+b﹣2的平方根是±2．（1）求a，b的值．（2）求﹣8a+3b+3的平方根．【答案】（1）a＝﹣，b＝7；（2）±5．【解答】解：（1）∵7a+1的立方根是，8a+b﹣2的平方根是±2．∴7a+1＝；8a+b﹣2＝4，解得；（2）当，b＝7时，﹣8a+3b+3＝﹣8×（﹣）+3×7+3＝25．则25的平方根是±5．∴﹣8a+3b+3的平方根是±5．【考点8：算术平方根和立方根的应用】20．一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（）A．±4 B．4 C．±2 D．2【答案】D【解答】解：棱长＝＝4，4的算术平方根为2．故选：D．21．某商店出售一种体积为36πcm3的小球，已知球的体积公式为（r为球的半径），则这种小球的半径为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】C【解答】解：当V＝36π时，π，解得r＝3，故选：C．22．已知一个正方体的体积是1000cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是488cm3，问截得的每个小正方体的棱长是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：设截得的每个小正方体的棱长xcm，依题意得1000﹣8x3＝488，∴8x3＝512，∴x＝4，答：截得的每个小正方体的棱长是4cm．23．某小区有一块面积为196m2的正方形空地，开发商计划在此空地上建一个面积为100m2的长方形花坛，使长方形的长是宽的2倍．请你通过计算说明开发商能否实现这个愿望？（参考数据：≈1.414，≈7.070）【答案】见试题解答内容【解答】解：长方形花坛的宽为xm，长为2xm．2x•x＝100，∴x2＝50，∵x＞0，∴x＝，2x＝2，∵正方形的面积＝196m2，∴正方形的边长为14m，∵2＞14，∴当长方形的边与正方形的边平行时，开发商不能实现这个愿望．长方形花坛如图放置，设宽为2xm，长为4xm．∵正方形ABCD的面积为196m2，∴AB＝14（m），AC＝14（m），由题意2x+4x＝14，∴x＝，∴长方形EFGH的面积＝8x2≈87.1＜100，∴开发商不能实现这个愿望．综上所述，开发商不能实现这个愿望．24．有一张面积为81cm2的正方形卡片．（1）该正方形贺卡的边长为9cm；（2）现有一个面积为96cm2的长方形卡袋，长宽之比为4：3，能否将这张卡片不折叠且全部放入此卡袋？请判断并说明理由．【答案】（1）9；（2）不能，见解析，【解答】解：（1）设正方形的边长为xcm，根据题意，得x2＝81，解得x＝9，x＝﹣9（舍去），故正方形的边长为9cm，故答案为：9．（2）不能将这张卡片不折叠且全部放入此卡袋．理由如下：∵面积为96cm2的长方形卡袋，长宽之比为4：3，∴设长为4xcm，宽为3xcm，∴4x×3x＝12x2＝96，解得x＝2，x＝﹣2（舍去），故长方形的宽为，∵，故不能将这张卡片不折叠且全部放入此卡袋．【考点9：无理数的概念】25．下列各数中，是无理数的是（）A． B．3.14 C． D．0【答案】C【解答】解：A：是分数，属于有理数，不符合题意；B：3.14是有限小数，属于有理数，不符合题意；C：π是无理数，故是无理数，符合题意；D：0是整数，属于有理数，不符合题意；故选：C．26．在，﹣3.14，0，，﹣32，，﹣1.121121112…（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：0，﹣3.14，，﹣32，是有理数；，﹣1.121121112…（每两个2之间依次多一个1）是无理数，∴无理数有2个，故选：B．【考点10：实数的分类和性质】27．下面4个数：，其中是有理数的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：，∴有理数有，共3个，故选：C．28．下列说法正确的有（）（1）带根号的数都是无理数；（2）立方根等于本身的数是0和1；（3）﹣a一定没有平方根；（4）实数与数轴上的点是一一对应的；（5）两个无理数的差还是无理数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解答】解：（1）无限不循环小数都是无理数，故（1）不符合题意；（2）立方根等于本身的数是0和1、﹣1故（2）不符合题意；（3）﹣a可能有平方根，故（3）不符合题意；（4）实数与数轴上的点是一一对应的，故（4）符合题意；（5）两个无理数的差可能是无理数、可能是有理数，故（5）不符合题意；故选：A．29．计算：|3.14﹣π|＝π﹣3.14．【答案】见试题解答内容【解答】解：|3.14﹣π|＝π﹣3.14，故答案为：π﹣3.14．30．计算：|3﹣|﹣|﹣2|＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝3﹣+（﹣2）＝1故答案为：131．的相反数是2﹣．【答案】2﹣．【解答】解：的相反数是：2﹣，故答案为：2﹣．【考点11：实数与数轴的关系】32．如图，数轴上的点A表示的数为（）A．2.2 B．2.3 C． D．【答案】D【解答】解：OA2＝12+22＝5，OA＝﹣（舍去），OA＝．选项D符合题意，故选：D．33．为了证明数轴上的点可以表示无理数，老师给学生设计了如下材料：如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点（记为点0）到达点A，点A对应的数是（）A．π B．3.14 C．﹣π D．﹣3.14【答案】A【解答】解：∵直径为1个单位长度的圆的周长为，∴点A对应的数是π，故选：A．34．如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形BACD，将对角线BC绕点B逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点M处，则点M表示的数是1﹣．【答案】1﹣．【解答】解：根据题意得：BC＝，OB＝1，∴BM＝BC＝，OM＝MB﹣OB＝﹣1，∵M点在原点O的左侧，∴点M表示的数是﹣（﹣1）＝1﹣，故答案为：1﹣．35．已知实数a、b在数轴上的对应点如图，化简|a|﹣|a+b|+|c﹣b|＝c．【答案】c．【解答】解：由图可知，a＜0，a＜b＜0＜c，且|a|＞|b|，所以，a+b＜0，c﹣b＞0，所以|a|﹣|a+b|+|c﹣b|＝﹣a+a+b+c﹣b＝c，故答案为：c36．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a+3b|+|a﹣b|的结果为4b．【答案】4b．【解答】解：由题意得，a＜0＜b，且|a|＜|b|，∴a﹣b＜0，|a|＜|3b|，∴a+3b＞0，∴|a+3b|+|a﹣b|＝a+3b+b﹣a＝4b，故答案为：4b．【考点12：估算无理数范围】37．估计3的值在（）A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间【答案】B【解答】解：∵3＝，＜＜，∴4＜＜5，即3的值在4到5之间，故选：B．38．若a＜＜b，其中a，b为两个连续的整数，则ba的值为（）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】C【解答】解：∵4＜8＜9，∴，又∵，其中a，b为两个连续的整数，∴a＝2，b＝3，∴ba＝32＝9．故选：C．39．估算的范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵25＜29＜36，∴5＜＜6，∴4＜﹣1＜5，故选：B．40．若，其中a是正整数，则a是（）A．1 B．1和2 C．2 D．2和3【答案】C【解答】解：∵4＜5＜9，∴，∴，∵，∴1＜a＜3，∵a是正整数，则a是2，故选：C．【考点14：无理数的整数和小数部分问题】41．如果的小数部分为a，的整数部分为b，则a+b﹣＝2．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵1＜＜2，3＜＜4，∴a＝﹣1，b＝3，∴a+b﹣＝﹣1+3﹣＝2．故答案为：2．42．若的整数部分是a，小数部分是b，则2a﹣b＝24﹣．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵8＜＜9，∴a＝8，b＝﹣8，∴2a﹣b＝2×8﹣（﹣8）＝24﹣．故答案为：24﹣．【考点14：实数大小比较】43．比较大小：＜．【答案】见试题解答内容【解答】解：，，∵，，又∵，∴，∴，故答案为：＜．44．比较大小：（1）＞4；（2）＞1．【答案】（1）＞；（2）＞．【解答】解：（1）∵，17＞16，∴；（2）∵，∴，故答案为：（1）＞；（2）＞．45．比较大小：＞．【答案】＞．【解答】解：∵，∴，∴．故答案为：＞．【考点15：实数运算】46．计算：．【答案】3﹣4．【解答】解：原式＝﹣2+﹣2+2＝3﹣4．47．计算：．【答案】1+．【解答】解：原式＝2﹣1+＝1+．48．计算：（1）﹣22+×（1﹣）2；（2）﹣|2﹣|﹣．【答案】（1）﹣3；（2）0．【解答】（1）解：原式＝﹣4+＝﹣4+＝﹣4+＝﹣3；（2）解：原式＝2﹣（2﹣）﹣＝2﹣2+＝0．49．计算：|﹣5|．【答案】12．【解答】解：原式＝5﹣3+4+6＝12．1．4的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．16 D．±2【答案】D【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2，故选：D．2．的相反数是（）A． B．﹣ C．﹣ D．【答案】B【解答】解：的相反数是﹣．故选：B．3．如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（）A．a+b＞0 B．ab＞0 C．a﹣b＞0 D．|a|﹣|b|＞0【答案】C【解答】解：A、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴|b|＞|a|，∴a+b＜0，故选项A错误；B、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴ab＜0，故选项B错误；C、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴a﹣b＞0，故选项C正确；D、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴|a|﹣|b|＜0，故选项D错误．故选：C．4．估算﹣2的值（）A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间【答案】C【解答】解：∵5＜＜6，∴3＜﹣2＜4．故选：C．5．如图，在数轴上表示实数的点可能是（）A．点P B．点Q C．点M D．点N【答案】C【解答】解：∵9＜15＜16，∴3＜＜4，∴对应的点是M．故选：C．6．的平方根是（）A．4 B．±4 C．2 D．±2【答案】D【解答】解：＝4，4的平方根是±2．故选：D．7．数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（）A．﹣1 B．1﹣ C．2﹣ D．﹣2【答案】C【解答】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B，∴AB＝﹣1，∵点B关于点A的对称点为C，∴AC＝AB．∴点C的坐标为：1﹣（﹣1）＝2﹣．故选：C．8．下列各数中，3.14159，，0.131131113…（相邻两个3之间1的个数逐次加1个），﹣π，，，无理数的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：由定义可知无理数有：0.131131113…，﹣π，共两个．故选：B．9．已知|a|＝5，＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（）A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣12【答案】D【解答】解：∵|a|＝5，∴a＝±5，∵＝7，∴b＝±7，∵|a+b|＝a+b，∴a+b＞0，所以当a＝5时，b＝7时，a﹣b＝5﹣7＝﹣2，当a＝﹣5时，b＝7时，a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12，所以a﹣b的值为﹣2或﹣12．故选：D．10．比较大小：＜．（填“＞、＜、或＝”）【答案】见试题解答内容【解答】解：∵（）2＝12，（3）2＝18，而12＜18，∴2＜3．故答案为：＜．11．8的立方根是2．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵23＝8，∴8的立方根为2，故答案为：2．12．已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b＝11．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵，a、b为两个连续的整数，∴＜＜，∴a＝5，b＝6，∴a+b＝11．故答案为：11．13．化简：||＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵＜0∴||＝2﹣．故答案为：2﹣．14．若实数a、b满足|a+2|，则＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意得：，解得：，则原式＝＝1．故答案为：1．15．已知一个正数的平方根是3x﹣2和5x+6，则这个数是．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意可知：3x﹣2+5x+6＝0，解得x＝﹣，所以3x﹣2＝﹣，5x+6＝，∴（）2＝故答案为：．16．任何实数a，可用[a]表示不超