专题2.17因式分解的应用及材料分析大题培优专练（50题）-2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】（原卷版）

2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.17因式分解的应用及材料分析大题培优专练（50题）班级：_____________姓名：_____________得分：_____________一、解答题1．（2023上·山西晋城·八年级统考期中）在现今“互联网+”的时代：密码与我们的生活已经密不可分．而诸如“000000”“666666”“生日”等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是将一个多项式分解因式．如多项式：xx2-y2-2yx2-y2分解因式的结果为x-yx+yx-2y，当x=16，y=2时，x-y=14，x+y=18，x-2y=12，此时可以得到6个6(1)根据上述方法，当x=25，y=2时，对于多项式x3(2)小敏同学设计的多项式a4-8a2b2+162．（2023上·福建泉州·八年级统考期中）综合与实践某数学兴趣小组开展综合实践活动发现：特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如，已知多项式2x3-2x2小安的求解过程如下：解：由题意设2x3-2由于上式为恒等式，为了方便计算，取x=-2，则2×(-2)解得：m=①________．(1)补全小安求解过程中①所缺的内容；(2)若(x-2)3=ax(3)若多项式x4+mx3+nx-4有因式(x+1)和(x-2)3．（2023上·北京东城·八年级汇文中学校考期中）如果一个正整数满足各数位上的数字都相同，我们称这样的正整数为“稳定数”，比如：2，55，888，1111．对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数n为“变动数”．将一个“变动数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为M(n)．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和M(123)=213+321+132=666，是一个“稳定数”．(1)计算：M(531)，M(426)，并判断它们是否为“稳定数”(2)若“变动数”n=100a+10b+3（其中a，b都是正整数，1≤a≤9，1≤b≤9），且M(n)为最大的三位“稳定数”，求n的值．4．（2023上·北京西城·八年级北京四中校考期中）阅读下列材料：对于多项式x2+x-2，如果我们把x=1代入此多项式，发现x2+x-2的值为0，这时可以确定多项式中有因式x-1；同理，可以确定多项式中有另一个因式又如：对于多项式2x2-3x-2，发现当x=2时，2则多项式2x2-3x-2我们可以设2x2-3x-2=x-2mx+n于是我们可以得到：2x请你根据以上材料，解答以下问题：(1)当x=______时，多项式6x2-x-5的值为0，所以多项式6x2-x-5(2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：x35．（2023上·北京西城·八年级北京十五中校考期中）阅读下列材料，回答问题：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等，例如：分解因式x2+2x-3，我们可以进行以下操作：x2+2x-3=x根据阅读材料，用配方法解决下列问题：(1)若多项式x2-4x+k是一个完全平方式，则常数k=(2)分解因式：x2-4x-12=______，代数式2x6．（2022上·广西南宁·八年级校考阶段练习）【材料阅读】若m2-2mn+2n解：∵∴∴∵∴∴m=4,n=4．【尝试探究】根据你的观察，探究下面的问题：(1)a2-4a+4+b2=0，则a=(2)已知a、b、c是7．（2023上·吉林长春·八年级统考期中）在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．题目：将2x+y2小彬的解法：2x+y=4x2+4xy+=3x2-3=3(x+y)(x-y)第3步小颖的解法：2x+y=2x+y+x+2y2x+y-x+2y第1=(3x+3y)(x+3y)第2步=3(x+y)(x-y)第3步任务：(1)经过讨论，他们发现两人中只有一人的解答正确，你认为解答正确的同学是______；而另一位同学的解答是从第______步开始出错的，你认为这位同学解答过程错误的原因是______．(2)按照做错同学的思路，写出正确的解答过程；8．（2022上·河南新乡·八年级校考期中）综合与实践

学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a,b的长方形．(1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为a+b的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式_______．(2)图3是由若干张A,B,C三种卡片拼成的一个长方形，观察图形，可将多项式a2+5ab+6b(3)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1,S2，若Q=S1-9．（2023上·山东东营·八年级东营市东营区实验中学校考阶段练习）先阅读下面的材料，再分解因式．如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解，例am+an+bm+bn=am+n请用上面材料中提供的方法因式分解：(1)m2(2)x2(3)若△ABC三边分别为a，b，c且满足a2-ab+ac-bc=0试判断10．（2023上·山东泰安·八年级东平县实验中学校考阶段练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：x2②拆项法：例如：x2(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）4x②（拆项法）x2(2)当a,b,c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b11．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考期中）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．(1)他用1张1号、1张2号和2张3号纸片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是________．(2)如果要拼成一个长为a+2b，宽为a+b的大长方形，则需要2号纸片________张，3号纸片________张；(3)当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积，可以把多项式a2+3ab+2b(4)动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+612．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）【数学问题】试证明：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．【解法讨论】小彤说：“连续奇数的差是2，我们可以设其中较小的数为x，则较大的数为x+2．然后再利用平方差公式来推理．”小园说：“赞同你的想法，不过有一个漏洞，你这种设法不能表明这两个数一定是奇数．”小彤说：“嗯，你说的有道理，那么设较小的数为2x+1可以吗？”【问题解决】请你按照小彤和小园讨论的思路，完成问题的证明过程．【迁移运用】探究：两个连续偶数的平方差也一定是8的倍数吗？请证明你的结论．13．（2022上·广西南宁·八年级校考期中）利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为例如：x2(1)填空：将多项式x2-2x+3变形为x+m2+n的形式，并判断x2所以x2-2x+3______0（项“>”、“<”、“=(2)将x2+10x-2变形为x+m2(3)如图①所示的长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S1，如图②所示的长方形边长分别是5a、a+5面积为S

14．（2023上·江西宜春·八年级江西省丰城中学校考阶段练习）阅读材料：若m2-2mn+2n2-8n+16=0解：∵m2-2mn+2n∴(m-n)2+(n-4)2=0，∴(m-n)2=0，根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知x2-2xy+2y(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2-10a-12b+61=0(3)已知a-b=8，ab+c2-16c+80=015．（2023上·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期中）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小胡同学用换元法对多项式x2解：设x2原式=y-1y+3=y2=y+12=x2请根据上述材料回答下列问题：(1)小胡同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______；A．提取公因式法

B．平方差公式法

C．完全平方公式法(2)老师说，小胡同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果；(3)请你用换元法对多项式x216．（2022上·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期中）阅读理解并填空：(1)为了求代数式x2+2x+3的值，我们必须知道若x=1，则这个代数式的值为________﹔若x=2，则这个代数式的值为_______；……可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围．(2)把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大（或最小）值问题．例如：x2+2x+3=x2+2x+1+2=x+12+2，因为(3)求代数式-x2-6x+12(4)试探究关于x、y的代数式5x2-4xy+y217．（2023上·山东淄博·八年级校考阶段练习）如图，有足够多的正方形（A型和B型）和长方形（C型）卡片，利用这些卡片可以进行因式分解，如对多项式a2

(1)要拼成面积为a2+3ab+2b2的图形需A卡张，B卡张，C卡张，利用这些卡片可以拼成一个长方形（不重叠无缝隙），由于同一长方形面积的有不同表示形式：各卡片的面积和为a2(2)请参考照（1）中的因式分解过程，画出草图对2a18．（2023下·山东枣庄·八年级校考阶段练习）有足够多的长方形和正方形的卡片，如图①．

(1)如果选取1号，2号，3号卡片分别为1张，2张，3张（如图②），可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系将多项式a2(2)小明想用类似的方法将多项式2a2+7ab+3b2分解因式，那么需要1号卡片___________张，2号卡片___________张，319．（2023上·山东淄博·八年级淄博市张店区实验中学校考阶段练习）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由x+px+q=x利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2解：x请仿照上面的方法，解答下列问题：(1)分解因式：x2(2)分解因式：(x(3)填空：若x2+px-8可分解为两个一次因式的积，则整数20．（2023上·山西临汾·八年级统考阶段练习）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到a+2a+b

(1)写出图2中所表示的数学等式：___________．(2)利用（1）中所得的结论，解决下列问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2(3)图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个长为b、宽为a的长方形纸片．请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在所给的方框内，要求所拼的几何图形的面积为2a21．（2022下·河北石家庄·七年级校考期末）对于二次三项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为x+a2的形式，但对于二次三项式x2+2ax-3a=x2+2ax+(1)请用上述方法把x2(2)多项式x2+10x+28有最小值吗？如果有，求出最小值是多少？此时22．（2021上·江西宜春·八年级校考阶段练习）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S

(1)请直接用含a和b的代数式表示S1=________，S2=(2)应用公式计算：1-(3)应用公式计算：2+123．（2022上·福建泉州·八年级校考阶段练习）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法等，对项数较多的多项式（例：ma+mb+na+nb）就无法直接进行因式分解时，我们可以将该多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．过程如下：ma+mb+na+nb=ma+b(1)分解因式：ab+a+b+1(2)若等腰三角形的两条边长分别a和b，a、b都是正整数a>b且满足ab-a-b-4=0．求这个等腰三角形的周长．(3)黑板上有2022个数，分别是1，12，13，…，12022，每次操作，选两个数a和b，计算得到ab+a+b，再把a和b24．（2022上·湖南衡阳·八年级校考期中）若一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数再如，M=5==(x+2y)2+(2x-y)2（x、y是整数），所以M(1)请你再写出一个小于20的“完美数”；(2)判断9x2+1+4y2-12xy（x，25．（2022上·湖南衡阳·八年级校考期中）（阅读材料）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：a2解：原式====a+2②求x2解：原式==x+3由于x+32≥0，所以即x2+6x+11的最小值为请根据上述材料解决下列问题：(1)填空①在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+②用配方法因式分解：a2-12a+35=③当x=______时，代数式x2+8x+7的最小值为(2)已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2(3)若M=23x2+3x+1，N=4x26．（2023上·八年级课时练习）对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成x+a2的形式．但对于二次三项式x2+2ax-8a2x2像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．阅读以上材料，解决下列问题．(1)分解因式：a2(2)当a为何值时，二次三项式a227．（2022下·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期中）先阅读下面的内容，再解决问题：对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成x+a2的形式．但对于二次三项式x2+2xa-3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2x====像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：(1)分解因式：a2(2)若a2+b2-14a-8b+65=0，并且△ABC的三边长是a，b，c28．（2023上·八年级课时练习）小刚同学动手剪了如图所示的正方形和长方形纸片若干张．

(1)他用1张1号、1张2号和2张3号纸片拼出一个新的图形（如图2）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是__________；(2)当他拼成如图3所示的长方形时，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积，可以把多项式a2+3ab+2b(3)请你依照小刚的方法，动手操作，利用拼图分解因式：a2+5ab+629．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2=-1，这个数i叫做虚数单位．那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，例如计算：2+i+i3(1+i)(2+3i)=1×2+1⋅3i+i⋅2+i⋅3i=2+3i+2i+3⋅i(1)填空：i5=______，2(2)计算：①2+i2-i；②2+i(3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：x+3y+3i=1-x-yi，（x，y为实数），求(4)试一试：请你参照i2=-1这一知识点，将m230．（2020上·福建福州·八年级福州黎明中学校考期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如，①用配方法分解因式：a2解：原式=a②M=a2-2ab+2解：a2∵(a-b)2≥0，∴当a=b=1时，M有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x2-2(2)用配方法因式分解（不按要求不给分）：x2(3)若M=14x31．（2023上·重庆大渡口·八年级重庆市第三十七中学校校联考开学考试）阅读材料：材料1：将一个三位数或三位以上的整数分成左中右三个数，如果满足：中间数=左边数的平方+右边数的平方，那么我们称该整数是平方和数，比如，对于整数251，它的中间数是5，左边数是2，右边数是1，因为22+12=5，所以251是平方和数；再比如，对于整数3254，因为32+4材料2：将一个三位数或者三位以上的整数分成左中右三个数，如果满足：中间数=2×左边数×右边数，那么我们称该整数是双倍积数；比如：对于整数163，它的中间数是6，左边数是1，右边数是3，因为2×1×3=6，所以163是双倍积数；再比如，对于整数3305，因为2×3×5=30，所以3305是一个双倍积数，显然，361，5303这两个数也肯定是双倍积数．请根据上述定义完成下面问题：(1)如果一个三位整数既是平方和数，又是双倍积数，则该三位整数是_____．（直接写出结果）(2)如果我们用字母a表示一个整数分出来的左边数，用字母b表示一个整数分出来的右边数，则a585b为一个平方和数，a504b为一个双倍积数，求a232．（2023下·辽宁抚顺·八年级校考期中）阅读理解并解答：(1)我们把多项式a2＋2ab例如：①x2∵x+12≥0，∴则代数式x2＋2x＋6的最小值为______，此时，相应的x的值为______②3x=3x∵x-22≥0，∴∴代数式3x2-12x+3的最小值为______，此时，相应的x(2)仿照上述方法，代数式-x2-8x＋7有最______（“大”或“33．（2023上·重庆巫溪·八年级统考期末）已知m为任意的两位数，若m的各位数字不同且均不为0，这样的两位数称为“互斥数”，把一个“互斥数”的十位数字和个位数字交换位置，得到一个新的两位数，把这两个两位数相加的和除以11的商记为N(m)．例如m=43，对调后的两位数为34，这两个两位数的和为77，77÷11=7，所以N(43)=7．(1)计算：N(24)=；N(79)=；(2)若a，b都是“互斥数”，其中a=10x+24，b=51+y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y均为整数)，当N(a)+N(b)=1934．（2023下·四川成都·八年级校考阶段练习）小福同学在课后探究学习中遇到题目：分解因式：x(x+1)(x+2)(x+3)+1．小福同学经过几次尝试后发现如下做法：因式分解：x(x+1)(x+2)(x+3)+1解：原式==设x∴原式=M(M+2)+1===小福和组内同学分享学习心得时总结：当有四个一次式连续相乘时，我选择了每两个一次式分别乘积；经过我多次尝试，我发现选择哪两个一次式相乘也很重要，我最后选择了“常数之和相等”的分组相乘方式，之后在乘积中有整体出现，选择了换元完成分解．另外，我发现在划横线那个步骤时，有时也会选择“常数乘积相等”的分组相乘方式．小福同学分享了解题方法和学习心得之后很多同学有了自己的思考和理解，纷纷跃跃欲试请你结合自己的思考和理解完成下列变式训练：(1)分解因式：(x-1)(x+1)(x+2)(x+4)+9；(2)分解因式：x-6x-235．（2023下·安徽池州·八年级统考期中）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．

②求解：原式=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=a+3-1a+3+1

=a+2a+4

即x2+6+11的最小值为请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+(2)因式分解：a2(3)求4x36．（2023上·安徽·八年级校联考开学考试）阅读下列材料：因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法无法分解．如m2解题过程如下：m2这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组分解的思想方法解决下列问题：(1)因式分解：x2(2)因式分解：x2(3)若a，b为非零实数，c=-12023，且1437．（2023下·重庆忠县·八年级校考阶段练习）若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是谋略数，如22，797，12321都是谋略数．最小的谋略数是11，没有最大的谋略数，因为数位是无穷的．有一种产生谋略数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个谋略数．如：16的逆序数为61，16＋61=77，77是一个谋略数；37的逆序数为73，37＋73=110，110的逆序数为11，(1)请你根据以上材料，直接写出57产生的第一个谋略数；(2)若将任意一个四位谋略数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除；(3)若将一个三位谋略数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位谋略数共有多少个？38．（2023下·四川达州·八年级校考期中）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类），宽为a、长为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图1中的三类图形可以拼出一些长方形来解释某些等式．

尝试解决：(1)用图1中的若干个图形（三类图形都要用到）拼成一个正方形，使其面积为a+b2，画出图形，并根据图形回答a+b2(2)图2是由图1中的三类图形拼出的一个长方形，根据图2可以得到并解释等式：_________．(3)用图1中的若干个图形（三类图形都要用到）拼成一个长方形，使其面积为3a2+7ab+239．（2023下·甘肃陇南·八年级统考期末）阅读与思考请仔细阅读并完成相应任务．生活中我们经常用到密码，例如用支付宝或微信支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2-x-2可以因式分解为x-1x+1x+2，当x=29时，x-1=28任务：(1)根据上述方法，当x=15，y=5时，对于多项式x3(2)已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x，y，求出一个由多项式x340．（2023下·辽宁沈阳·八年级统考期中）若干张正方形和长方形卡片如图1所示，其中甲型、乙型卡片分别是边长为a，ba>b的正方形，丙型卡片是长为a、宽为b的长方形．选取2块甲型卡片，2块乙型卡片，5块丙型卡片，拼成如图2

(1)观察图2，写出一个多项式的因式分解为______；(2)若图2中甲型、乙型卡片的面积和为136，大长方形卡片的周长为60，求大长方形卡片的面积．41．（2023下·安徽宿州·八年级校考期末）王老师在黑板上写了三个等式．第1个等式：32第2个等式：52第3个等式：72⋯请你结合以上等式的规律，解答问题：(1)请你写出第5个等式：________；(2)设两个连续奇数分别为2n+1，2n-1（n为正整数），试说明其平方差是8的倍数．42．（2023下·陕西汉中·八年级校考阶段练习）阅读以下材料：材料：因式分解：x+y2解：将“x+y”看成整体，x+y=A，则原式=A再将“A”还原，得原式=x+y+1上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：(1)因式分解：a2(2)求证：无论n为何值，式子n2-2n-3n43．（2022上·重庆梁平·八年级统考期末）我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：k=m×n（m，n是正整数，且m≤n），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k的最佳分解，并规定：fk=mn．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18-1>9-2>6-3，所以3×6是(1)f20=__________；f(2)若fx2+2x=202144．（2023下·江西九江·八年级校考期中）某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2-mn+2m-2nm==m=m-n“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：(1)分解因式：a3(2)分解因式：x2(3)△ABC的三边a，b，c满足a2+ab+c45．（2023下·陕西宝鸡·八年级统考期末）有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．

(1)如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含m，n的式子表示）．方法1：__________________________________________________．方法2：_________________________