专题2.16 等边三角形的轴对称性（分层练习）（基础练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.16等边三角形的轴对称性（分层练习）（基础练）一、单选题1．如图，梯子与地面的夹角为，上端靠墙，底端距离墙角米，则梯子的长度为（

）A．米 B．米 C．米 D．米2．如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且，则CE的长是（

）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．如图，于点D，则的长为（

）A． B． C． D．4．如图，是等边三角形，点为边上一点，以为边作等边，连接．若，则长为（

）A． B． C． D．5．若三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等，则该三角形一定为（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等边三角形 D．等腰三角形，但不一定为等边三角形6．下列条件中，不能得到等边三角形的是（）A．有两个内角是60°的三角形 B．有两个外角相等的等腰三角形C．有一个角是60°的等腰三角形 D．三个角都相等的三角形7．如图，在等边中，D为的中点，P，Q分别在，上，且，，在上有一动点E，则的最小值为（

）

A．28 B．29 C．18 D．198．古代大型武器投石机，是利用杠杆原理将载体以不同的抛物线投射出去的装置．图是图投石机的侧面示意图．为炮架的炮梢两顶点，已知A、B两点到炮轴O的距离分别为1米和8米，当炮索自然垂落垂直于地面时，落在地面上的绳索还有5米．如图，拉动炮索，炮梢绕炮轴O旋转，点A的对应点为，点B的对应点为．当炮索的顶端在地面且与炮轴在同一直线上时，若垂直地面，，此时，到水平地面的距离是（

）米

A．12 B． C． D．219．如图，在等边三角形DEF中，，点A在DF上，点B在DE上，且DA＝2，，，则CE的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．410．将如图所示的纸片折叠、粘合成正方体形状．下列结论：①粘合时，线段AB与线段FG重合；②在正方体中，DE所在的面与GH所在的面相对；③在正方体中，AC//DE；④在正方体中，DE与EF的夹角是60°．其中所有正确结论的序号是A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二、填空题11．如图，在中，，，是高若，则．12．如图，在中，，交于点，，，则的长为．13．如图，，，三点在同一直线上，和均为等边三角形，连结，，若，那么．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E是△ABC内一点，点F在BC上，△BEF是等边三角形，作∠BAC的平分线交EF于点D，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝cm．15．如图，在中，，D，E是边上两点，且所在的直线垂直平分线段，平分，，则的长是．16．如图，∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点C，D分别是点P关于OA，OB的对称点，连接CD交OA，OB分别于点E，F；若△PEF的周长的为9，则线段OP＝17．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接．若，，，则．

18．如图，中，，，，动点在边上运动，将线段绕点逆时针旋转得，取的中点，当点从点开始向右运动到点时结束，则对应的点所经过的路线的长度为．

三、解答题19．如图，平分，，，在上取一点，连接，使，．（1）求证：PC//OB；（2）求∠CPO的度数．20．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，求AC的长．解：延长CD到H，使DH＝CD，连接AH，∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，（

）∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，∵D为AB的中点，∴AD＝BD，（

）在△ADH与△BDC中，∴△ADH≌△BDC（SAS），∴AH＝BC＝4，（

）∠H＝∠BCD＝90°，（）∵∠ACH＝30°，∴AC＝8．（

）21．如图，是等边三角形，是边上一点，在右侧作，且，连接，．（1）求证：是等边三角形；（2）若是等边外一点，且与点都在直线同侧，若，连接，画出图形，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．22．如图，，点C为射线上一定点，E为线段延长线上一定点，且，点A关于射线对称点为D，连接．（1）证明：；（2）若P为直线上一个动点，求周长最小时，P所在的位置，并求出周长的最小值．23．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝6，在△ABC内取一点O，使得AB＝OB，∠CAO＝15°，AM⊥BO，M为垂足．（1）求AM的长；（2）求证：AO＝CO．24．作图：已知直线，在三条直线上各取一个点作一个等边△ABC．操作：如图，在l1上取点A，D，在l3上取点E，作等边△ADE，DE交l2于点B；在l3上点E的左侧取点C，使CE＝BD，连接AC，BC，则△ABC即为所求的等边三角形．（1）完成作图并写出已知，求证；（2）证明△ABC为等边三角形．参考答案1．B【分析】梯子与地面的夹角为，即，则，再根据，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半即可求得梯子的长度．【详解】解：已知梯子与地面的夹角为，即，则，且，所以，即梯子的长度为6米．故选：B【点拨】本题考查直角三角形的角的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．2．B【分析】根据等边三角形的性质得AC=AB=4，由等边三角形三线合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解．【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC=4cm，∠ACB=60°，∵BD平分∠ABC，∴AD=CD(三线合一)∴DC=cm，∵∠E=30°∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°∴∠CDE=∠E所以CD=CE=2cm故选：B．【点拨】本题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定，直角三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．3．C【分析】根据等角对等边得到，根据三角形外角的性质得到，再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，故选C．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，求出，是解题的关键．4．A【分析】由，是等边三角形可得AC=BA=BC，BD=BE，，可得出，即，可得，由全等三角形的性质得AD=CE=3，则BC=AC=AD+CD，即可解题．【详解】解：∵，是等边三角形，∴AC=BA=BC，BD=BE，，∴，即，在和中，，∴，∴AD=CE=3，∴BC=AC=AD+CD=3+1=4．故选：A．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，本题中求证是解题的关键．5．C【分析】三角形的三条角平分线交于一点，这点到三个顶点的距离相等，由此可知三角形的三个内角相等，则三角形为等边三角形．【详解】如图：

∵内的三条角平分线的交点D到三个顶点的距离相等，∴，∴，又∵，∴，∴三角形为等边三角形；故选：C

【点拨】本题考查的是等边三角形的判定定理，等腰三角形的性质，角平分线的定义等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．6．B【分析】根据等边三角形的判定定理逐一判断即可．【详解】解：A、有两个内角是60°的三角形是等边三角形，故此选项不符合题意；B、有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，故此选项符合题意；C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故此选项不符合题意；D、三个角都相等的三角形是等边三角形，故此选项不符合题意；故选B．【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定，熟知等边三角形的判定定理是解题的关键．7．A【分析】作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值．【详解】解：是等边三角形，，，∵D为的中点，，，∴，∴，，如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，∵，∴，∴当点P、E、三点在同一直线上时，最小，则最小，即的最小值为，，，，，∴，，，是等边三角形，，的最小值为28．故选：A．【点拨】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．8．C【分析】如图所示，延长交地面于C，延长交地面于D，设此时炮索的位置为E，证明都是等边三角形，得到，再证明得到，则，即可得到，，设，则，求出，即可求出．【详解】解：如图所示，延长交地面于C，延长交地面于D，设此时炮索的位置为E，∵，∴都是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，设，则炮索的长为，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴到水平地面的距离是，故选C．

【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．9．D【分析】由等边三角形的性质得三个角都是60°，三边相等，证明△ADB≌△CFA（AAS），再根据全等三角形的性质得出DA＝CF，即可得出答案．【详解】解：∵∠CAB＝60°，∴∠FAC+∠DAB＝120°，∵△DEF为等边三角形，∴∠D＝∠F＝60°，DF＝DE＝EF，∴∠FAC+∠FCA＝120°，∴∠DAB＝∠FCA，在△ADB和△CFA中，，∴△ADB≌△CFA（AAS），∴DA＝CF＝2，∵EF＝6，∴CE＝EF﹣CF＝6﹣2＝4，故选：D．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．10．B【分析】根据正方体的平面展开图，折叠成几何体的直观图，直接利用相关性质判定①②③④的结论．【详解】解：根据正方体的平面展开图，折叠成几何体的直观图，如图所示：①粘合时，线段AB与线段FG重合，故①正确，符合题意；②在正方体中，DE所在的面与GH所在的面相对，故②正确，符合题意；③在正方体中，AC和DE不在同一平面内，不平行，故③错误，不符合题意；④在正方体中，连接BD，所以△BDE为等边三角形，DE与EF所在直线成60°角，故④正确，符合题意．故选：B．【点拨】本题考查了正方体及其平面展开图，等边三角形的判定和性质，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．11．9【分析】求出，求出，根据含30度角的直角三角形性质求出，，求出即可．【详解】解：是高，，，，，，，，，，故答案为：9．【点拨】本题主要考查的是含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出，．12．【分析】根据，，可求出的度数，得等腰三角形，在根据含角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，且，∴，在中，，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题主要考查等腰三角形，含角的直角三角形的综合，掌握等腰三角形的性质，含角的直角三角形的角与边的关系是解题的关键．13．/21度【分析】由等边三角形的性质得出，根据可求出答案．【详解】解：是等边三角形，，，，故答案为：．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．14．8【分析】利用等边三角形的性质求出DF的值，利用三十度角所对的直角边是斜边的一半求出GF，从而求出BG，利用等腰三角形的性质求出BC．【详解】解：∵△BEF是等边三角形∴BE=EF=BF=6cm,∠EFB=60°∵DE＝2cm∴DF=4cm∵AB＝AC，AD平分∠BAC∴AG⊥BC，BG=BC∴∠GDF=90°-∠EFB=30°∴GF=DF=2cm∴BG=BF-GF=4cm∴BC=8cm故答案为8【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出BG的长是解决问题的关键．15．10【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，证明为等边三角形，得到，根据等腰三角形的判定定理解答即可．【详解】解：∵是线段的垂直平分线，∴，又，∴，∵平分，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∴，∴，故答案为：10．【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16．9【分析】首先根据对称性得出△DOC是等边三角形，进而得出答案．【详解】解：连接OD，OC，∵∠AOB=30°，点D、C分别是点P关于直线OA、OB的对称点，，即，，∴，DO=OP=OC，PF=DF，PE=CE，∴△DOC是等边三角形，，∵△PEF的周长的为9，，∴OP=9．故答案为：9．【点拨】本题考查了轴对称的性质，得出△DOC是等边三角形是解题关键．17．【分析】根据线段垂直平分线的画法和性质，得，，，再根据，根据等边三角形的判定与性质，即可．【详解】解：由题意得，是的垂直平分线，∴，则，∵，∴，∵，∴，∴，∵在中，，，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴．故答案为：．【点拨】本题考查线段垂直平分线画法及其性质，等边三角形的知识，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质．18．【分析】如图，取的中点，连接，由题意得，，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，得，，根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，再根据勾股定理，即可．【详解】如图所示：把绕点A逆时针旋转得，取的中点，连接，∵线段绕点逆时针旋转得，∴，，，∴当点与点重合时，点与点重合时，是等边三角形；当点与点重合时，点在处，是等边三角形，∴连接、两点，为点的运动路线，∵是的中点，∴，，∴，∵在中，，，，∴，∴，∴在中，，∴．故答案为：．

【点拨】本题考查动点问题与几何的综合，旋转，三角形的知识，解题的关键是掌握等边三角形的判定和性质，勾股定理的运用，旋转的性质，动点的运动轨迹．19．(1）见解析(2)【分析】（1）根据，可得，再由平分，可得，从而得到，即可求证；（2）根据角平分线的性质定理，可得，从而得到，进而得到，再由PC//OB，可得，即可求解．【详解】（1）证明：，，平分，，，∴PC//OB；（2）解：平分，，，，，，，，，∵PC//OB，，，．【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形的性质是解题的关键．20．垂直的定义；中点的定义；对顶角相等；全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半【分析】根据垂直、中点的定义以及全等三角形的判定与性质，结合上下文，求解即可．【详解】解：延长CD到H，使DH＝CD，连接AH，∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，（垂直的定义）∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，∵D为AB的中点，∴AD＝BD，（中点的定义）在△ADH与△BDC中，∴△ADH≌△BDC（SAS），∴AH＝BC＝4，（全等三角形的对应边相等）∠H＝∠BCD＝90°，（全等三角形的对应角相等）∵∠ACH＝30°，∴AC＝8．（直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半）【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，涉及了垂直、中点、对顶角以及直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．21．(1）证明过程见详解（2）当点在右侧时，；当点在左侧时，，理由见详解【分析】（1）是等边三角形，，，可证，由此即可证；（2）如图所示（见详解），当点在右侧时，当点在左侧时，【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，，又∵，，∴，∴，，∴是等边三角形；（2）解：如图所示，当点在右侧时，．证明：在上取点，使，连结，设与交于点，∵，∴，又∵，∴，又∵，，∴，∴，，∴，即，∴是等边三角形，∴．∵，∴；如图，当点在左侧时，．在上取点，使，连接，同理可得，∴，，同理可得为等边三角形，，∵，∴．【点拨】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用是解题的关键．22．(1）见解析(2)P与B重合时，周长最小，最小值为36．【分析】（1）根据证明，即可得出结论；（2）根据两点之间线段最短，得出当P，A，E三点共线时，最小，最小值为，再证明为等边三角形，即可求解【详解】（1）证明：∵A，D两点关于射线对称，B，C在上，∴，在和中，∴，∴；（2）解：∵，由于点D，E均为定点，故的长不变．∴当最小时，的周长最短．∵A，D两点关于射线对称，∴．∴．∵两点之间线段最短，∴当P，A，E三点共线时，最小，即P与B重合时最小，最小值为．∵，∴．又∵，∴．∴为等腰三角形．又∵，∴为等边三角形．∴．∵的最小值为．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．23．（1）3；（2）见解析【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的基本性质以及“等边对等角”求出∠BAO和∠OAM，即可得到∠BAM，从而可得到△BAM是含30°角的直角三角形，即可求解；（2）作OD⊥AC于D点，结合（1）的结论分别求出AD和CD的长度，即可证D为AC的中点，进而得到OD垂直平分AC，最终利用垂直平分线的性质即可证明．【详解】（1）解：∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=90°，∵∠CAO=15°，∴∠BAO=90°-15°=75°，∵AB=OB，∴∠BAO=∠BOA=75°，∴∠ABO