高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第七节 抛物线习题 理试题

第七节抛物线[基础达标]一、选择题(每小题5分,共30分)1.在同一坐标系下,下列曲线中,右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合的是 ()A.=1 B.=1C.=1 D.=11.D【解析】因为抛物线y2=4x的焦点坐标是(1,0),而A中椭圆的半焦距c=,B中椭圆的半焦距c==2,C中双曲线的半焦距c=,D中双曲线的半焦距c==1,且焦点在x轴上,满足题意.2.(2015·天水一模)过抛物线C:x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若抛物线C在点B处的切线斜率为1,则线段|AF|= ()A.1 B.2 C.3 D.42.A【解析】∵x2=2y,∴y'=x,∵抛物线C在点B处的切线斜率为1,∴B,∵x2=2y的焦点F,准线方程为y=-,∴直线l的方程为y=,∴|AF|=1.3.抛物线y2=-12x的准线与双曲线=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 ()A.3 B. C.6 D.63.A【解析】抛物线y2=-12x的准线x=3与双曲线=1的两条渐近线y=±x所围成的三角形的面积等于×2×3=3.4.(2015·滨州模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点,且两条曲线的交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为 ()A. B.2 C.+1 D.-14.C【解析】由题意可得=a2+b2,且在双曲线上,则=1,即=1,=1,化简得b2=2ac,则c2-2ac-a2=0,e2-2e-1=0,e>1,解得e=+1.5.(2015·湖南雅礼中学月考)已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线=1(a>0,b>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的一个交点,且AF⊥x轴,若l为双曲线的一条渐近线,则l的倾斜角所在的区间可能是 ()A. B. C. D.5.D【解析】∵|AF|==p,c=,∴=2c,又c>b,∴tanθ=>2,∴l的倾斜角所在的区间可能是.6.(2015·赤峰期末)如图所示,设抛物线C:y2=4x的焦点为F,A,B是C上两点,且AF⊥FB,弦AB的中点M在C的准线上的射影为M',则的最小值为 ()A. B. C. D.6.C【解析】如图所示,设|AF|=a,|BF|=b,A,B在准线上的射影点分别为Q,P,连接AQ,BP,由抛物线定义得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|,在梯形ABPQ中根据中位线定理,得2|MM'|=|AQ|+|BP|=a+b.由勾股定理得|AB|2=a2+b2,配方得|AB|2=(a+b)2-2ab,又∵ab≤,∴(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2×(a+b)2,得|AB|≥(a+b),∴,即的最小值为.二、填空题(每小题5分,共20分)7.(2015·河南实验中学质检)若抛物线y2=4x上的两点A,B到焦点的距离之和为6,则线段AB的中点到y轴的距离为.

7.2【解析】由|AF|+|BF|=xA+xB+p=xA+xB+2=6,得xA+xB=4,则AB的中点横坐标为=2,即线段AB的中点到y轴的距离是2.8.(2015·湖州二模)设F是抛物线C:y2=4x的焦点,过F的直线l交抛物线C于A,B两点,当|AB|=6时,以AB为直径的圆与y轴相交所得弦长是.

8.2【解析】过A,B两点和AB的中点D分别向抛物线的准线作垂线,由抛物线定义和梯形中位线知识可得圆心D到y轴的距离d=2,又圆的半径为3,所以以AB为直径的圆与y轴相交所得弦长是2=2.9.若抛物线C1:y2=4x与抛物线C2:x2=2py(p>0)异于原点O的交点A到抛物线C1的焦点的距离为3,则抛物线C2的方程为.

9.x2=y【解析】由点A到抛物线C1的焦点的距离为3,得xA+1=3,解得A点坐标为(2,2),代入x2=2py(p>0),得p=,所以抛物线C2的方程为x2=y.10.(2015·南充月考)若以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A,B满足=2,则弦AB的中点到准线的距离为.

10.【解析】设||=2m,||=m,m>0,由已知可得xA=2m-1,xB=m-1,则=2,解得m=.由梯形中位线得弦AB的中点到准线的距离为.三、解答题(共10分)11.(10分)如图,直线l与抛物线y2=x交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,与x轴相交于点M,且y1y2=-1.(1)求证:M点的坐标为(1,0);(2)求证:OA⊥OB;(3)求△AOB的面积的最小值.11.【解析】(1)设M点的坐标为(x0,0),直线l的方程为x=my+x0,代入y2=x得y2-my-x0=0, ①∵y1,y2是此方程的两根,∴y1y2=-x0,∴x0=-y1y2=1,即M点的坐标为(1,0).(2)∵y1y2=-1,∴x1x2+y1y2=+y2y2=y1y2(y1y2+1)=0,∴OA⊥OB.(3)由方程①得y1+y2=m,y1y2=-1,且|OM|=x0=1,于是S△AOB=|OM||y1-y2|=≥1,∴当m=0时,△AOB的面积取最小值1.[高考冲关]1.(5分)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在y轴上,若线段FA的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为,则点A的坐标为()A.(0,±2) B.(0,2) C.(0,±4) D.(0,4)1.A【解析】由题意可得xB=,又点B到抛物线准线的距离为,所以,解得p=,抛物线方程为y2=2x,又因为xB=,所以yB=±1,yA=±2,故A(0,±2).2.(5分)(2015·河南实验中学质检)双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,且F2恰为抛物线y2=4x的焦点,设双曲线C与该抛物线的一个交点为A,若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形,则双曲线C的离心率为 ()A. B.1+ C.1+ D.2+2.B【解析】不妨设点A在第一象限,由F2恰为抛物线y2=4x的焦点,得双曲线的c=1,又△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形,则|AF2|=|F1F2|=2,点A也在抛物线上,由抛物线的定义可得A(1,2),F1(-1,0),则|AF1|=2,由双曲线定义得|AF1|-|AF2|=2a=2-2,解得a=-1,所以离心率e==1+.3.(5分)(2015·湖北黄冈中学模拟)过曲线C1:=1(a>0,b>0)的左焦点F1作曲线C2:x2+y2=a2的切线,设切点为M,延长F1M交曲线C3:y2=2px(p>0)于点N,其中C1,C3有一个共同的焦点,若|MF1|=|MN|,则曲线C1的离心率为()A. B.-1 C.+1 D.3.D【解析】设双曲线的右焦点为F2,则F2的坐标为(c,0).因为曲线C1与C3有一个共同的焦点,所以y2=4cx,因为O为F1F2的中点,M为F1N的中点,所以OM为△NF1F2的中位线,所以OM∥NF2,因为|OM|=a,所以|NF2|=2a,又NF2⊥NF1,|F1F2|=2c所以|NF1|=2b.设N(x,y),则由抛物线的定义可得x+c=2a,则x=2a-c,过点F1作x轴的垂线,点N到该垂线的距离为2a,由勾股定理y2+4a2=4b2,即4c(2a-c)+4a2=4(c2-a2),得e2-e-1=0,解得e=(负值已舍).4.(5分)(2015·长沙三模)已知A,B为抛物线C:y2=4x上的两个动点,且A,B位于x轴异侧,若=5,同时抛物线C的焦点F到直线AB的距离为2,则△AOB的面积为.

4.20【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1=,x2=,直线AB的斜率kAB==x1x2+y1y2=(y1y2)2+y1y2=5,由A,B位于x轴异侧,得y1y2=-20(舍去正数4),则直线AB的方程为y-y1=(x-x1),化简得y=(x-5),则直线AB恒过点(5,0),又由抛物线C的焦点F(1,0)到直线AB的距离为2,得AB的倾斜角为30°或150°,不妨设为30°,则,得y1+y2=4,则|y1-y2|==8,所以△AOB的面积为×5×8=20.5.(10分)已知点P为抛物线y2=4x上的动点,点Q在y轴上,且PQ⊥y轴,A(2,a),求PQ+PA的最小值.5.【解析】点A(2,a)可能在抛物线内部,也可能在抛物线的外部,所以要讨论.①当|a|≤2时,点A(2,a)在抛物线内部,直接过点A向y轴作垂线,与抛物线的交点即为PQ+PA最小时的点P,此时(PQ+PA)min=2;②当|a|>2时,点A(2,a)在抛物线外部,由抛物线的定义知PQ=PF-1,得PQ+PA=PF+PA-1,则A,P,F三点共线时,PQ+PA取得最小值,即(PQ+PA)min=|AF|-1=-1.6.(10分)(2015·梅州一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(1)求C的方程.(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,证明直线AE过定点,并求出定点坐标.6.【解析】(1)当点A的横坐标为3时,过点A作AG⊥x轴于点G,∴A(3,),F,|AF|=3+.当点D在焦点F的右侧时,如图所示.∴|FD|=|AF|=3+.∵△ADF为正三角形,∴|FG|=|FD|=.又∵|FG|=|OG|-|OF|=3-,∴3-,∴p=2.∴C的方程为y2=4x.当点D在焦点F的左侧时,|FD|=|AF|=3+,此时点D在x轴负半轴,不成立,应舍去.∴C的方程为y2=4x.(2)设A(x1,y1),|FD|=|AF|=x1+1,∴D(x1+2,0