第16讲 特殊的平行四边形（原卷）初中数学

第十六讲一一特殊的平行四边形

考向一矩形的性质

典例引领

1.（2020•广东广州市•中考真题）如图，矩形ABC。的对角线AC,BD交于煎O,AB=6,BC=8,过

点。作。E_LAC，交AO于点E，过点E作EELBZ），垂足为尸，则OE+EP的值为（）

2.（2020•山东济南市•中考真题）如图，在矩形纸片A8CO中，A£>=10,A8=8,将AB沿AE翻折，使点3

落在8'处，4E为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段上的点C处，E尸为折痕，连接AC'.若

CF—3,则tanZB'AC'—.

变式拓展

1.（2020•贵州毕节市•中考真题）如图，在矩形A3CD中，对角线AC,8。相交于点。，点E，F分别

是A。，AO的中点，连接EF,若A8=6cm,BC=Scm,则EF的长是（）

1

A.2.2cmB.2.3cmC.2.4cmD.2.5cm

2.（2020•内蒙古中考真题）如图，在R/aABC中，ZACB=90°,。是AB的中点，BELCD,交C£＞的

延长线于点E.若AC=2,BC=2丘，则3E的长为（）

C.V3D.0

考向二矩形的判定

典例引领

1.（2020•湖北中考真题）已知oABCD中，下列条件：

平分NR4。，其中能说明口ABQD是矩形的是（）

A.①B.②C.③D.④

2.（2020•北京中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点，点F,G在

AB上，EF±AB,OG〃EF.（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.

变式拓展

1.（2020•山东聊城•中考真题）如图，在RtZ\ABC中，AB=2,NC=30°,将RtZVLBC绕点A旋转

得到RtAA'B'C',使点3的对应点8'落在AC上，在8'。'上取点。，使3,。=2,那么点。到BC的距

离等于（）.

C.V3-1D.V3+1

2.（2020•山东聊城•中考真题）如图，已知平行四边形ABC。中，E是8c的中点，连接4E并延长，交。C

的延长线于点凡且AF=AO,连接BF,求证：四边形A8FC是矩形.

4

考向三菱形的性质

典例引领

1.（2020•江苏无锡市•中考真题）如图，在菱形A8C。中，NB=5O。，点E在C£＞上，若AE=AC,则

ABAE=.

2.（2020•广西中考真题）如图，在菱形4BCQ中，点E,F分别是边A。，AB的中点.

（1）求证：△A5E四△APE；（2）若BE=垂）,NC=60°,求菱形ABC。的面积.

变式拓展

1.（2020•辽宁葫芦岛市•中考真题）一张菱形纸片A8C。的边长为6cm,高AE等于边长的一半，将菱形

纸片沿直线MN折叠，使点A与点8重合，直线MN交直线CO于点F,则DF的长为cm.

2.（2020•甘肃金昌市•中考真题）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以

调节AE间的距离，若AE间的距离调节到60C7M,菱形的边长A6=20cm,则的度数是（）

5

/)

A.90°B.100°C.120°D.150°

考向四菱形的判定

典例引领

1.（2020•江苏南通市•中考真题）下列条件中，能判定。ABCO是菱形的是（）

A.AC=BDB.ABA.BCC.AD=BDD.ACLBD

2.（2020•山东滨州市•中考真题）如图，过oABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别

交边AB、BC.CD、DA于点P、M、Q、N.（1）求证：△PBE^AQDE；（2）顺次连接点P、M、Q、N,

求证：四边形PMQN是菱形.

变式拓展

1.（2020•内蒙古通辽市•中考真题）如图，AO是△A6C的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列

条件，能判断是菱形的是（）

6

A.ABAC=90°B.ZDAE=9Q°C.AB^ACD.AB=AE

2.（202（）•湖南郴州市•中考真题）如图，在菱形ABC。中，将对角线AC分别向两端延长到点E和尸，使

得A£=CP.连接DE,DF,BE,BF.求证：四边形BE。尸是菱形.

考向五正方形的性质

典例引领

1.（2020•浙江金华市•中考真题）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形A8C。与正方

形EFG，.连结EG,BD相交于点O,8。与"C相交于点P.若GO=GP,则沁①•的值是（）

»正方形

A.1+V2B.2+5/2C.5-V2D.:

2.（2020•内蒙古呼和浩特市•中考真题）如图，正方形ABC。，G是8c边上任意一点（不与B、C重合），

£>E_LAG于点E,BF//DE,且交AG于点F.（1）求证：AF—BF=EF：（2）四边形麻DE是否可

能是平行四边形，如果可能请指出此时点G的位置，如不可能请说明理由.

7

变式拓展

1.（2020•广西中考真题）如图，在AABC中，BC=120,高4）=60,正方形EFG”一边在8c上,

点分别在AB,AC上，AD交EF干点、N,则AN的长为（）

C.25D.30

2.（2020•山东滨州市•中考真题）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为

2百,、后,4则正方形ABCD的面积为

8

考向六正方形的判定

典例引领

1.（2020•山东滨州市•中考真题）下列命题是假命题的是（）

A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.B.对角线互相垂直的矩形是正方形.

C.对角线相等的菱形是正方形.D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形.

2.（2020•广西玉林市•中考真题）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,且

万

OA=OB=OC=OD=—AB.（1）求证：四边形ABCD是正方形；

2

（2）若H是AB上的一点（H与A,B不重合），连接DH,将线段DH绕点H顺时针旋转90度，得到线

段HE,过点E分别作BC及AB的延长线的垂线，垂足分别是F,G,设四边形BGEF的面积为,以HB,

BC为邻边的矩形面积为邑，且£=邑，当A3=2时，求AH的长；

9

10

变式拓展

1.（2020•四川眉山市•中考真题）下列说法正确的是（）

A.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

2.（2020•山东威海市•中考真题）如图，在平行四边形ABCQ中，对角线89L4D，A3=l（）,AD=6,

。为BO的中点，E为边AB上一点，直线EO交CO于点F,连结。E,3尸.下列结论不成立的是（）

A.四边形。瓦步'为平行四边形B.若AE=3.6,则四边形为矩形

C.若4£=5,则四边形/为菱形D.若A£=4.8,则四边形OEBE为正方形

考向七中点四边形

典例引领

1.（2020•山东蒲泽•中考真题）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对

角线一定满足的条件是（）

A.互相平分B.相等C.互相垂直D.互相垂直平分

2.（2020•山东德州市•中考模拟）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中

点四边形.

11

（1）如图1,四边形ABCD中，点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证：中点四边形

EFGH是平行四边形；

（2）如图2,点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB,PC=PD,ZAPB=ZCPD,点E,F,G,H分

别为边AB,BC,CD,DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；

（3）若改变（2）中的条件，使NAPB=NCPD=90。，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状.（不

必证明）

12

变式拓展

1.（2020•全国九年级其他模拟）如图，四边形ABC。中，AC=m,BZ）=〃，且AC_LBQ,顺次连接四边形

ABC。各边中点，得到四边形再顺次连接四边形4BG出各边中点，得到四边形4282c26……，

如此进行下去，得到四边形A5B5C56的周长是（)

A

m+nmnin-vn

A.B.C.D.

42552”

2.（2020•广东珠海市•九年级二模）顺次连接菱形四边的中点得到的四边形一定是（）

A.正方形B.菱形C.矩形D.以上都不对

考向八特殊四边形的动态问题

典例引领

1.（2020•江苏南通市•中考真题）如图①，E为矩形488的边AO上一点，点P从点B出发沿折线8-E

-O运动到点。停止，点。从点B出发沿8C运动到点C停止，它们的运动速度都是lc7〃/s.现P,。两点

同时出发，设运动时间为x（s）,ZX8PQ的面积为y（o病），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形A8CQ

的面积是（）

D.56CT??2

13

2.（2020•四川雅安市•中考真题）己知，等边三角形ABC和正方形DEFG的边长相等，按如图所示的位置

摆放（C点与E点重合），点6、C.尸共线，△A6C沿BE方向匀速运动，直到B点与F点重合.设运动

时间为f,运动过程中两图形重叠部分的面积为S,则下面能大致反映s与，之间关系的函数图象是（）

变式拓展

1.（2020•贵州铜仁市•中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,动点P沿折线BCD从点B开

始运动到点D,设点P运动的路程为X,AADP的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）

14

2.（2020•甘肃金昌市•中考真题）如图①，正方形A3CD中，AC,BO相交于点。，E是8的中点，

动点P从点E出发，沿着EfOf3fA的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线

段AP的长度》随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为（）

D.2夜

、亨点冲关上

1.（2020•山东德州市♦中考真题）下列命题：

①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形;

③一个角为90。且一组邻边相等的四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形.

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2020•江苏盐城•中考真题）如图，在菱形ABCO中，对角线AC、相交于点为BC中点,

AC=6,BD=S.则线段OH的长为：（）

C.3D.5

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3.（2019•辽宁中考真题）如图，AC,3。是四边形A8C£＞的对角线，点E，/分别是AD，3c的中

点，点A/,N分别是AC，8D的中点，连接MF，FN,NE,要使四边形£MRV为正方形,

则需添加的条件是（）

A.AB=CD,ABA.CDB.AB-CD,AD-BC

C.AB=CD,AC1BDD.AB=CD,AD/IBC

4.（2020•湖南株洲•中考模拟）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中

点，则关于四边形EFGH,下列说法正确的为（）

A.一定不是平行四边形B.一定不是中心对称图形C.可能是轴对称图形D.当AC=BD时它是矩形

5.（2020•山东枣庄市•中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3,点E在边BC上，将AABE沿直线AE折

叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若NEAC=NECA,则AC的长是（）

A.3上B.6C.4D.5

6.（2020•浙江台州市•中考真题）下是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形;

③它是一个矩形.下列推理过程正确的是（）

A.由②推出③，由③推出①B.由①推出②，由②推出③

C.由③推出①，由①推出②D.由①推出③，由③推出②

16

7.（2020•河南中考真题）如图，在AABC中，ZACB=90°.边在x轴上，顶点A,B的坐标分别为（-2,6）

和（7,0）.将正方形。CDE沿％轴向右平移当点E落在A8边上时，点。的坐标为（）

A.1|,2）B.（2,2）C.（NJD.（4,2）

8.（2020•湖北黄冈市•中考真题）若菱形的周长为16,高为2,则菱形两邻角的度数之比为（）

A.4:1B.5:1C.6:1D.7:1

9.（2020•宁夏中考真题）如图，菱形ABCO的边长为13,对角线AC=24,点£、F分别是边CO、BC

的中点，连接EF并延长与的延长线相交于点G,则EG=（）

A.13B.10C.12D.5

10.（2020•贵州遵义市•中考真题）如图，在菱形48C。中，AB=5,AC=6,过点。作。交BA的

延长线于点E,则线段OE的长为（）

BC

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11.（2020•四川眉山市•中考真题）如图，正方形ABCO中，点尸是边上一点，连接A尸，以A尸为对

角线作正方形AEFG,边FG与正方形ABC。的对角线AC相交于点”，连接OG.以下四个结论：①

ZEAB=ZGAD；②AAECSAAGD；®2AE2=AH-AC^®DG±AC.其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

12.（2020•辽宁沈阳市•中考真题）如图，在矩形A8CD中，AB=6,BC=B,对角线AC,BD相交于

点。，点尸为边AO上一动点，连接OP,以O尸为折痕，将AAOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE

与8相交于点若△P£）匠为直角三角形，则。尸的长.

13.（2020•广西玉林市•中考真题）如图，将两张对边平行且相等的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成

的四边形ABCD菱形（是，或不是）.

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14.（2020•黑龙江哈尔滨市•中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1,线段AB和线段CD的端

点均在小正方形的顶点上.（1）在图中画出以AB为边的正方形钻所，点E和点F均在小正方形的顶点上；

（2）在图中画出以CD为边的等腰三角形CDG,点G在小正方形的顶点上，且ACDG的周长为10+JM，

连接EG,请直接写出线段EG的长.

15.（2020•四川自贡市•中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点尸在CO边

的延长线上，且CE=Z）F,连接AE和8尸相交于点M.

求证：AE=BF.

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16.（2020•江苏徐州市♦中考真题）我们知道：如图①，点3把线段AC分成两部分，如果生=空.那

ABAC

么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为叵］

2

（2）如图②，用边长为20c7〃的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABC。得折痕所，连接CE，将

CB折叠到CE上，点5对应点H,得折痕CG.试说明G是AB的黄金分割点；

（3）如图③，小明进一步探究：在边长为。的正方形ABCD的边上任取点£（AE>DE）,连接5E,

作交A6于点尸，延长£尸、CB交于点P.他发现当依与BC满足某种关系时£、尸恰好

分别是40、AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.

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18.（2020•江苏宿迁市・中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E,F在AC上，且AF=CE.求证：四边

形BEDF是菱形.

19.（2020•湖北咸宁市•中考真题）如图，在中，以点3为圆心，84长为半径画弧，交BC于点、E,

在AO上截取A尸=3E，连接X（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）请用无刻度的直尺在口ABCZ）

内找一点P,使乙4尸6=90。（标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法）

21

20.(2020•黑龙江鹤岗市•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，矩形A3C0的边45长是方程

d—3x—18=()的根，连接30，ZDBC=3O°,并过点。作CN_LBD,垂足为N,动点P从点8以

每秒2个单位长度的速度沿3。方向匀速运动到点D为止；点M沿线段DA以每秒G个单位长度的速度

由点。向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为/秒。＞。)

(1)线段CN=；(2)连接PM和MN,求"肱7的面积s与运动时间/的函数关系式;

(3)在整个运动过程中，当AOMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标.

22

21.(2020•湖北荆州市•中考真题)如图矩形ABCD中，AB=20,点E是BC上一点，将△/面沿着AE折

叠，点B刚好落在CD边上的点G处，点F在DG上，将△AOF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H

处，此时：5AA切=2:3.(1)求证：AEGC〜4GFH(2)求AD的长：(3)求tanNG/77的值.

23

._直通一中考

1.（2020•四川泸州市•中考真题）下列命题是假命题的是（）

A.平行四边形的对角线互相平分B.矩形的对角线互相垂直

C.菱形的对角线互相垂直平分D.正方形的对角线互相垂直平分且相等

2.（202（）•湖北襄阳市♦中考真题）已知四边形ABCO是平行四边形，AC,BO相交于点O,下列结论错误

的是（）

A.OA=OC,OB=ODB.当=时，四边形ABC。是菱形

C.当NABC=90°时，四边形4BC。是矩形D.当AC=8。且AC_LBD时，四边形ABC。是正方形

3.（2020•黑龙江鹤岗市•中考真题）如图，菱形A8C£＞的对角线AC,相交于点0,过点。作DH±AB

于点H,连接OH，若0A=6,0/7=4.则菱形ABC。的面积为（）

D

A.72B.24C.48D.96

4.（2020•广西贵港市•中考真题）如图,动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AA7L8W,P是CD

边上的一个动点，E是4）边的中点,则线段PE+QW的最小值为（）

A.V10-1B.0+1c.V10D.75+1

24

5.（2020•浙江绍兴市•中考真题）如图，点O为矩形A8C£＞的对称中心，点E从点A出发沿AB向点8运动,

移动到点B停止，延长E。交CO于点凡则四边形AEC尸形状的变化依次为（）

A.平行四边形一正方形一平行四边形一矩形B.平行四边形一菱形一平行四边形一矩形

C.平行四边形f正方形一菱形一矩形D.平行四边形一菱形一正方形一矩形

6.（2020・湖北恩施土家族苗族自治州•中考真题）如图，正方形43CD的边长为4,点E在上且6石=1,

产为对角线AC上一动点，则周长的最小值为（）.

A.5B.6C.7D.8

7.（2020•广东中考真题）如图，在正方形48co中，A8=3,点£,尸分别在边AB，CDk,

NEFD=60。.若将四边形£®C厂沿成折叠，点B恰好落在A£）边上，则属的长度为（）

夜C.>/3D.2

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8.（2020•湖南怀化•中考真题）在矩形A3CO中，AC,80相交于点。，若AAQB的面积为2,则矩形

A8CD的面积为（）

C.8D.10

9.（2020•辽宁锦州市•中考真题）如图，在菱形ABC。中，P是对角线4c上一动点，过点P作于

点E.于点F.若菱形ABC。的周长为20,面积为24,则PE+P尸的值为（）

10.（2020•四川绵阳市•中考真题）如图，在四边形ABCD中,AD〃BC,ZABC=90°,AB=2«,AD=2,

将AABC绕点C顺时针方向旋转后得A/l'B'C,当力'B，恰好经过点D时，AB'CD为等腰三角形，若BB'=2,

C.V13D.V14

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11.（2020•黑龙江大庆市•中考真题）如图，在边长为2的正方形EFG”中，M，N分别为EF与G”的

中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线

段的中点时，点E，/恰与AB，AC两边的中点重合.设点4到Eb的距离为了,三角形A8C与

正方形瓦6”的公共部分的面积为丁，则当y=g时，x的值为（）

人7叵口而fc也「c母门7V10

A.一或2+JB.--或2-JC.2±—D.—

4222242

12.（2020•广西中考真题）如图，在边长为2G的菱形A8CO中，NC=60°,点瓦产分别是AB,A。上

的动点，且AE=D尸,。E与BE交于点P.当点E从点A运动到点3时，则点P的运动路径长为.

13.（2020•柳州市柳林中学中考真题）如图，在矩形纸片48C。中，AB=6,BC=10,点E在CZ）上，将4

8CE沿BE折叠，点C恰好落在边AQ上的点尸处，点G在AF上，将△ABG沿8G折叠，点4恰好落在线

段BF上的〃处，有下列结论：①NE8G=45°；②2sABFG=5SAFGH;③△OEFS^ABG；®4CE=5ED.其

中正确的是.（填写所有正确结论的序号）

27

14.（2020•辽宁营口市•中考真题）如图，在菱形48C。中，对角线AC,3。交于点O,其中OA=1,OB=

2,则菱形A8CO的面积为.

k

15.（2020•福建中考真题）设A,B,C,O是反比例函数>=一图象上的任意四点，现有以下结论：

x

①四边形A8CD可以是平行四边形；②四边形ABC。可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四

边形ABC。不可能是正方形.其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

16.（2020•陕西中考真题）如图，在菱形ABC。中，A8=6,/3=60°,点E在边AO上，且AE=2.若

直线/经过点E,将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F,则线段E尸的长为.

17.（2020•福建中考真题）如图，点瓦户分别在菱形A3CD的边BC,CO上，且BE=DF.求证:

ZBAE=ZDAF-