八年级数学上册角度计算中的经典模型(举一反三)(含解析版)

角度计算中的经典模型【举一反三】

模型5双外角平分线模型

模型68字模型

模型7燕尾模型

模型8筝型

《痴吩刑

【模型1双垂直模型】

【条件】ZB=ZD=ZACE=90°.

【结论】ZBAC=ZDCE,ZACB=ZCED.

【例1】（2019春•润州区校级月考）如图，在△ABC中，乙4c8=90°,尸是AC延长线上一点，FDLAB,

垂足为。，FC与BC相交于点E,ZBED=55°.求/A的度数.

【变式1-1］（2019秋•凉州区校级期中）如图，Z^ABC中，NB=NC,FD1BC,DELAB,NAED=152°,

求NA的度数.

【变式1-2](2019春•莲湖区期中)如图，在△ACB中，ZACB=90°,CQ_LAB于。.

(1)求证：ZACD—ZB；

(2)若AF平分NCAB分别交CD、2c于E、F,求证：NCEF=NCFE.

【变式1-3[(1)如图①，在RtZkABC中，NACB=90°,CDLAB,垂足为。，N4CO与NB有什么关系？

为什么？

(2)如图②，在Rt/XABC中，NC=90°,D、E分别在AC,AB上，且NA£>E=NB,判断△AOE的形

状是什么？为什么？

(3)如图③，在RtZ\48C和RtZ\OBE中，ZC=90°,ZE=90",点C,B,E在同一直线上，

【模型2A字模型】

D

C

【结论】ZBDE+ZCED=180°+NA

【例2】（2019春•资中县月考）如图所示，ZVIBC中，ZC=75°,若沿图中虚线截去NC,则N1+N2等

于多少度?

【变式2-1］（2019春•长沙县校级期中）如图，已知NA=40°,求/1+N2+/3+N4的度数.

【变式2-2］（2019春•吁胎县期中）我们容易证明，三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和，那么,

三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？

I.尝试探究：

（1）如图1,/O8C与/ECB分别为△ABC的两个外角，试探究NA与NO8C+/ECB之间存在怎样的数

量关系？为什么？

II.初步应用：

(2)如图2,在△A8C纸片中剪去△(；£：£>,得到四边形ABDE,Nl=130°,则/2-/C=；

(3)小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3,在△力BC中，BP、CP分别平分外角NDBC、NECB,

/P与NA有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案.

【变式2-3](2019春•盐都区期中)(1)如图1,已知AABC为直角三角形，NA=90°,若沿图中虚线剪

去N4,则/1+/2等于

490°5.135°C.270°。.315°

(2)如图2,已知aABC中，NA=50°,剪去N4后成四边形，则Nl+N2=

(3)如图2,根据(1)与(2)的求解过程，请你归纳猜想/1+/2与NA的关系是.

(4)如图3,若/A没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究N1+N2与NA的关系并说明理由.

【模型3双内角平分线模型】

C

【条件】BP、CP分别为NABC、NACB的角平分线.

【结论】4=90。+；NA.

【例3】(2018秋•开封期中)如图，ZVIBC中，

(1)若/B=70°,点P是AABC的NBAC和/AC8的平分线的交点，求NAPC的度数.

(2)如果把(1)中/B=70°这个条件去掉，试探索/APC和之间有怎样的数量关系.

B

【变式3-1](2018秋•徐闻县期中)如图，在aABC中，NABC与NACB的平分线交于点O.

(1)如图1,已知NABC=40°,ZACB=60°,求NBOC的度数.

(2)如图2,已知NA=90°,求NBOC的度数.

(3)如图1,设NA=，〃°,求NBOC的度数.

【变式3-2](2019春•南岗区期末)已知在aABC中，乙4=100°,点。在aABC的内部连接8£>,CD,

且乙4BD=NCB。，NACD=NBCD.

(1)如图1,求NBOC的度数；

(2)如图2,延长BD交4c于点E,延长CD交4B于点F,若NAED-NA尸。=12°,求N4C尸的度数.

【变式3-3](2019春•东阿县期末)已知任意一个三角形的三个内角的和是180°.如图1,在aABC中，

ZABC的角平分线BO与NACB的角平分线CO的交点为O

(1)若乙4=70°,求NBOC的度数；

(2)若N4=a,求NBOC的度数；

(3)如图2,若80、CO分别是/ABC、/4CB的三等分线，也就是NOBC=』NABC,ZOCB=-ZACB,

33

NA=m求N50C的度数.

图1图2

【模型4内外角平分线模型】

【条件】BP、CP分别为NABC、NACD的角平分线.

【结论】ZA=1ZP.

2

【例4】（2018秋•江岸区期中）如图，△ABC中，/ABC与24CB的外角的平分线相交于点E.

（1）已知NA=60°,求NE的度数；

【变式4-1］（2019秋•卫滨区校级期中）如图，的外角NACZ）的平分线CP与内角/ABC平分线8尸

【变式4-2］（2019秋•莆田校级期中）如图所示，已知3。为AABC的角平分线，C。为aABC外角/ACE

的平分线，且与8。交于点。；

(1)若/4BC=60°,ZDCE=10Q,则/。=°；

(2)若NA8C=70°,NA=80°,则°；

(3)当NABC和NACS在变化，而N4始终保持不变，则是否发生变化？为什么？由此你能得出什么

结论？(用含NA的式子表示ND)

【变式4-3](2018秋•彭水县校级月考)如图，已知BO是△A8C的角平分线，C。是8c的外角NACE

的外角平分线，CD与BD交于点D.

(1)若NA=50°,则NZ)=；

(2)若NA=80°,则/£)=；

(3)若NA=130°,则/£>=；

(4)若NO=36°,则/A=；

(5)综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的准确性.

【模型5双外角平分线模型】

B

P

【条件】BP、CP分别为NEBC、NBCD的角平分线.

【结论】ZP=90°--ZA.

2

【例5】(2018秋•鄂伦春自治旗月考)如图，ZVIBC中，分别延长Z\ABC的边A3、AC到。、E,ZCBD

与/BCE的平分线相交于点P,爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：

(1)若NA=60。，则NP=_______°；

(2)若NA=40°,则NP=____O

(3)若NA=100°,则NP=—O

(4)请你用数学表达式归纳NA与NP的关系

【变式5-1](2019秋•团风县校级月考)BD、8分别是△ABC的两个外角NCBE、N5CF的平分线,

求证：N血=9。。-/4

A

5C

E

D

【变式5-2](2019春•雨城区校级期中)如图，Bl,C7分别平分△A8C的外角NOBC和NECB,

(1)若NA8C=40°,NACB=36°,求N8/C的大小；

(2)若NA=96°,试求/8/C；

(3)根据前面问题的求解，请归纳/8/C和NA的数量关系并进行证明.

【变式5-3]如图，在△ABC中，BD,CQ是内角平分线，BP,CP是/ABC,/ACB的外角平分线，分别

交于点。，P.

(1)若N4=30°,求NBDC,NBPC的度数.

(2)若NA=m°,求NBDC,NBPC的度数(直接写出结果，不必说明理由)

(3)想一想，NA的大小变化，对NO+N尸的值是否有影响，若有影响，请说明理由，若无影响，直接求

AB

【结论】NA+NB=ND+NE.

【例6】（2019春•辉县市期末）图I,线段AB、CD相交于点O,连接A。、CB,我们把形如图1的图形称

之为“8字形”.如图2,在图1的条件下，和/BCD的平分线AP和CP相交于点尸，并且与C。、

AB分别相交于M、N.试解答下列问题:

(1)在图1中，请直接写出NA、NB、NC、之间的数量关系:

(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数:.个;

(3)图2中，当/。=50度，NB=40度时，求NP的度数.

(4)图2中/。和为任意角时，其他条件不变，试问NP与NB之间存在着怎样的数量关系.（直

接写出结果，不必证明）.

【变式6-1］（2018春•新泰市期中）己知：如图，AM,CM分别平分和NBCD.

①若NB=32°,NO=38°,求NM的度数;

②探索与N8、的关系并证明你的结论.

B

D

【变式6-2](2018秋•南昌期中)如图1,已知线段A&CD相交于点O,连接AC、BD,则我们把形如这

样的图形称为“8字型”.

(1)求证：ZA+ZC=ZB+ZD；

(2)如图2,若NCAB和NBDC的平分线AP和OP相交于点P,且与C。、AB分别相交于点M、N.

①以线段AC为边的“8字型”有个，以点。为交点的“8字型”有个；

②若/B=100°,/C=120°,求/尸的度数；

③若角平分线中角的关系改为"NC4P=g/CAB,NCDP=；NCDB”,试探究/尸与N8、NC之间存在

的数量关系，并证明理由.

【变式6-3](2018秋•青岛期末)【问题背景】

(2)如图2,AP,CP分别平分/8A。、NBCD,若/ABC=20°,ZADC=26°,求NP的度数(可直接

使用问题(1)中的结论)

【问题探究】

(3)如图3,直线AP平分N3AQ的外角CP平分NBCD的外角NBCE,若/A8C=36°,ZADC

=16°,猜想/P的度数为

【拓展延伸】

（4）在图4中，若设NC=x,ZB=y,ZCAP=-ACAB,ZCDP=-ZCDB,试问NP与/C、NB之间

33

的数量关系为（用x、y表示NP）

（5）在图5中，AP平分/BA。，CP平分NBC。的外角/8CE,猜想NP与NB、NO的关系，直接写出

结论.

【模型7燕尾模型】

AA

【结论】NBPC=NA+NB+NC.

【例7】（2019春•冠县期末）（期探究：如图1,求证：ZBOC=ZA+ZB+ZC.

（2）应用：如图2,ZABC=100°,ZD£F=130°,求NA+NC+/O+NF的度数.

【变式7-1］（2019秋•平度市期末）材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品-圆规.我

们不妨把这样图形叫做“规形图”.

解决问题：

（1）观察“规形图”，试探究NBOC与/A,NB,NC之间的数量关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：

I.如图②，把一块三角尺DEF放置在△A8C上，使三角尺的两条直角边OE,。尸恰好经过点3,C,若

ZA=40°,贝I］NA8£>+/AC£）=°.

II.如图③，8。平分乙4BP,C£>平分NACP,若乙4=40°,ZBPC=130°,求/BDC的度数.

【变式7-2］（2019秋•阜阳月考）在数学学习中整体思想与转化思想是我们常用到的数学思想.如图（1）

中，求NA+NB+NC+NO+NE的度数等于多少0寸，我们可以连接8,利用三角形的内角和则有N8+NE

^ZECD+ZBDC,这样乙4、NB、NC、ND、/E的和就转化到同一个△AC。中，

图（2）中/4+NB+/C+/O+/E的度数等于.

图（3）中NA+NB+NC+ND+NE的度数等于.

图（4）中NA+NB+NC+NQ+NE+NF的度数等于.

【变式7-3］（2019秋•襄城区期中）已知：点。是△4BC所在平面内一点，连接40、CD.

（1）如图1,若N4=28°,/B=72°,ZC=11°,求/AOC；

（2）如图2,若存在一点P,使得PB平分/ABC,同时PO平分N4DC,探究乙4,NP,NC的关系并证

明；

（3）如图3,在（2）的条件下，将点。移至NABC的外部，其它条件不变，探究/A,NP,/C的关系

并证明.

AArA

【例8】(2019春•邳州市校级月考)如图，在折纸活动中，小明制作了一张aABC纸片，点£＞、E分别在

边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合.

(1)若NA=75°,则/1+N2=.

(2)若,则/1+/2=.

(3)由(1)(2)探索NA与N1+N2之间的数量关系，并说明理由.

【变式8-1](2018春•迁安市期末)动手操作：

一个三角形的纸片A8C,沿。E折叠，使点A落在点4'处.

观察猜想

(1)如图1,若/4=40°,则/1+/2=°；

若NA=55°,则/1+N2=0；

若N4=〃°,则Nl+N2=°.

探索证明：

(2)利用图1,探索Nl、N2与NA有怎样的关系？请说明理由.

拓展应用：

(3)如图2,把△ABC折叠后，BA'平分NABC,CA'平分NAC8,若Nl+N2=108°,利用(2)中结

论求NBA'C的度数.

【变式8-2](2019春•宿城区校级月考)RtZ\4BC中，NC=90°,点。、E分别是aABC边AC、BC上的

点，点、P是一动点.令NPD4=N1,NPEB=N2,ZDPE=Za.

(1)若点P在线段AB上，如图(1)所示，且Na=50°,求NI+N2的度数；

(2)若点尸在边AB上运动，如图(2)所示，则Na、Nl、N2之间有何关系？猜想并说明理由；

(3)若点P运动到边AB的延长线上，如图(3)所示，直接写出/a、Zk/2之间关系为：.(不

需说明理由).

c

图1图2

图3

【变式8-3］（2019秋•南漳县校级月考）如图（1）,在折纸活动中，小明制作了一张△A8C的纸片，点。、

E分别在A3、AC上，将△A8C沿着DE折叠压平，A与A'重合，若/A=70°,则Nl+N2=；

如图（2）,当点A落在△ABC外部时，那么N2-N1=.

图1图2

专题02角度计算中的经典模型【举一反三】

模型5双外角平分线模型

模型68字模型

模型7燕尾模型

模型8筝型

《蜘吩刑

【模型1双垂直模型】

【条件】ZB=ZD=ZACE=90°.

【结论】ZBAC=ZDCE,ZACB=ZCED.

【例1】（2019春•润州区校级月考）如图，在△4BC中，NAC8=90°,尸是AC延长线上一点，FDLAB,

垂足为。，FD与2C相交于点E,NBED=55；求NA的度数.

【分析】首先由FDL43于。，根据直角三角形两锐角互余得出NBE£>+/8=90°,同理，由NACB=

90°,得出/A+N2=90°,然后根据同角的余角相等得出/A=/8ED=55°.

【答案】解：于D，

AZfi£D+Zfi=90°,

,：ZACB=90°,

AZA+ZB=90°,

/.ZA=ZBED=55°.

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质以及余角的性质，比较简单.

【变式1-1］（2019秋•凉州区校级期中）如图，ZkABC中，ZB=ZC,FDLBC,DEA.AB,ZAFD=152°,

求NA的度数.

【分析】利用外角性质可求得NC,在△ABC中利用三角形内角和定理可求得NA.

【答案】解：

.*.ZFDC=90°,

；/A尸0=152°,

.•.NC=NAFD-NFDC=152°-90°=62°,

；NB=NC,

ZA=1800-ZB-ZC=180°-62°-62°=56°.

【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形三个内角和为180。是解题的关键.

【变式1-2］（2019春•莲湖区期中）如图，在△ACB中，ZACB=90°,CQ_LA8于。.

（1）求证：ZACD=ZB；

（2）若AF平分NC4B分别交CD、BC于E、F,求证：NCEF=NCFE.

【分析】（1）由于/ACO与都是/BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证;

(2)根据直角三角形两锐角互余得出NC»1=9O°-ZCAF,/AEZ)=90°-ZDAE,再根据角平分线

的定义得出/CAF=ND4E,然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明/CEF=/CFE.

【答案】证明：(1)VZACfi=90°,于力，

ZACD+ZBCD=90°,NB+NBCD=90°,

ZACD=ZB；

(2)在RtZUFC中，NC砌=90°-ZCAF,

同理在RtZLAEO中，ZA£D=90°-ZDAE.

又尸平分NC48,

：.ZCAF^ZDAE,

/.NAED=NCFE,

又,：NCEF=NAED,

：.NCEF=NCFE.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适

中.

【变式1-3[(1)如图①，在Rt/XABC中，ZACB=9O0,CD1AB,垂足为£>,N4C。与NB有什么关系？

为什么？

(2)如图②，在RtZ\ABC中，ZC=90°,D、E分别在AC,AB上，且NA£>E=N8,判断△A£>£的形

状是什么？为什么？

(3)如图③，在Rt/XABC和中，ZC=90°,ZE=90°,点C,B,E在同一直线上，

【分析】⑴根据直角三角形的性质得出NAC£>+/A=NB+NZ)C8=9(r,再解答即可；

(2)根据直角三角形的性质得出/ADE+/A=/A+NB=90°,再解答即可；

(3)根据直角三角形的性质得出乙48。+/4=/48。+/£)8£=/。跖+/£)=90”,再解答即可.

【答案】解：(1)ZACD=ZB,理由如下：

;在RtZkABC中，ZACB=90°,CD±AB,

：.ZACD+ZA^ZB+ZDCB=90°,

，ZACD^ZB；

(2)ZviOE是直角三角形.

•.•在RtZXABC中，ZC=90°,D、E分别在AC,A8上，且/A力E=ZB,NA为公共角,

AZAED=ZACB=90°,

...△AQE是直角三角新；

(3)/A+/O=90°.

\•在RtZ\A8C和RtZXDBE中，ZC=90°,ZE=90°，AB±BD,

，ZABC+ZA=ZABC+ZDBE=ZDBE+ZD=90°,

.*./A+N£>=90°.

【点睛】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出两锐角互余.

【模型2A字模型】

【结论】ZBDE+ZCED=180°+NA

【例2】(2019春•资中县月考)如图所示，ZVIBC中，ZC=75°,若沿图中虚线截去NC,则N1+N2等

于多少度？

【分析】根据三角形内角和定理求出/A+/B,根据多边形的内角和公式求出即可.

【答案】解：*.，ZA+ZB+ZC=180",

:./A+/8=180°-ZC,

VZC=75°,

...NA+N8=180°-75°=105°,

VZl+Z2+Zy4+ZB=360°,

.,.Zl+Z2=360--(Z4+ZB),

J.N1+N2=36O°-105°=255°.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和多边形的内角和公式，能熟记定理是解此题的关键.

【变式2-1](2019春•长沙县校级期中)如图，己知NA=40°,求/1+/2+/3+N4的度数.

【分析】根据三角形的内角和定理分别求得/1+/2,Z3+Z4,就可求得最后结果.

【答案】解：•••NA=40°,

Z1+Z2=Z3+Z4=180°-N4=140°.

.,.Zl+Z2+Z3+Z4=280°.

【点睛】此题主要是三角形内角和定理的运用.

【变式2-2](2019春•吁胎县期中)我们容易证明，三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和，那么,

三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？

（图3）

I.尝试探究:

(1)如图1,/DBC与NECB分别为△ABC的两个外角，试探究与/OBC+/ECB之间存在怎样的数

量关系？为什么？

II.初步应用：

(2)如图2,在△ABC纸片中剪去△(7&),得到四边形/1=130°,则N2-/C=；

(3)小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3,在△48C中，BP、CP分别平分外角/O8C、NECB,

NP与N4有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案

【分析】(1)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出/C3C+/ECB,再利用三角

形内角和定理整理即可得解；

(2)根据(1)的结论整理计算即可得解；

(3)表示出NQ8C+NEC8,再根据角平分线的定义求出NP8C+NPC8,然后利用三角形内角和定理列

式整理即可得解；

【答案】解：(1)NDBC+NECB

=180°-N48C+180°-NACB

=360°-(NABC+NACB)

=360°-(180°-ZA)

=180°+ZA；

(2)VZl+Z2=Z1800+/C,

二130°+Z2=180°+NC,

：.Z2-ZC=50°；

(3)^DBC+ZECB=180°+/A,

,:BP、CP分别平分外角/O8C、NECB,

:.NPBC+NPCB=L(NDBC+NECB)=1.(1800+ZA)

22

在△PBC中，ZP=180°-1-(180°+ZA)=90°-工/A；

22

即/P=90°-1.ZA；

2

故答案为：50°,ZP=90°-LZA.

2

【点睛】本题考查「三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，

角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键.

【变式2-3](2019春•盐都区期中)(1)如图1,已知△48C为直角三角形，NA=90。，若沿图中虚线剪

去则/1+/2等于

A.90°8.135°C.270°0.3150

(2)如图2,已知AABC中，ZA=50°,剪去NA后成四边形，则/1+N2=°.

(3)如图2,根据(1)与(2)的求解过程，请你归纳猜想/1+/2与/A的关系是.

(4)如图3,若NA没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究N1+N2与NA的关系并说明理由.

【分析】(1)利用了四边形内角和为360°和宜角三角形的性质求解；

(2)根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；

(3)根据(1)(2)可以直接写出结果；

(4)根据折叠的性质，对应角相等，以及邻补角的性质即可求解.

【答案】解：(I)I•四边形的内角和为360°,直角三角形中两个锐角和为90°

/.Zl+Z2=360o-(NA+NB)=360°-90°=270°.

...N1+N2等于270°.

故选C；

(2)Z1+Z2=I8O°+50°=230°.

故答案是：230；

(3)/1+/2与/A的关系是：Zl+Z2=180°+ZA；

故答案是：/1+/2=180°+ZA；

(4)；是由胆折叠得到的，

二ZAFE=ZPFE,ZAEF=ZPEF

.,.Zl=180°-2ZAFE,/2=180°-2/AEF

Nl+/2=360°-2(ZAFE+ZAEF)

又•.•/AFE+NAEF=180°-NA,

.,.Zl+Z2=360°-2(180°-NA)=2NA,

即N1+N2=2NA.

【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系.

(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和.

（2）三角形的内角和是180度.求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180。”这一隐含的条件.

【模型3双内角平分线模型】

BC

【条件】BP、CP分别为NABC、NACB的角平分线.

【结论】ZP=90°+-ZA.

2

【例3】（2018秋•开封期中）如图，/XABC中，

（1）若NB=70°,点P是AABC的NBAC和/AC8的平分线的交点，求NAPC的度数.

（2）如果把（1）中乙8=70°这个条件去掉，试探索/APC和之间有怎样的数量关系.

【分析】（1）依据点P是△ABC的N84C和乙4c8的平分线的交点，即可得到/出C=L/8AC,ZPCA

2

="kzBC4,再根据三角形内角和定理，即可得到NAPC的度数.

2

（2）依据点?是△A8C的NB4C和NAC8的平分线的交点，即可得到/FC=JL/54C,ZPCA=1.Z

22

BCA,进而得出N%C+NPCA=L（N%C+NPCA）,再根据NP=180°-（N以C+NPC4）进行计算

2

即可.

【答案】解：（1）vze=70°,

：.ZBAC+ZBCA=\IO°,

:点P是△ABC的/BAC和/ACB的平分线的交点，

ZPAC=^ZBAC,ZPCA=LZBCA,

22

：.ZPAC+ZPCA=1-(.ZPAC+ZPCA}=1_X11O°=55",

22

.,.ZP=180°-55°=125°；

(2)•点尸是△ABC的/ft4c和/ACB的平分线的交点，

/.ZPAC=kzBAC,ZPCA=LZBCA,

22

：.ZPAC+ZPCA=1-(ZPAC+ZPCA),

2

.•.ZP=I8O0-(ZB4C+ZPCA)

=180°-L(NBAC+N8cA)

2

=180°-1(180°-ZB)

2

=90°+LZB.

2

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解决问题的关键是掌握三角形内角和

定理：三角形内角和是180°.

【变式3-1](2018秋•徐闻县期中)如图，在△A8C中，NABC与NAC8的平分线交于点O.

(1)如图1,已知乙4BC=40°,乙4cB=60°,求ZBOC的度数.

(2)如图2,已知NA=90°,求NBOC的度数.

(3)如图1,设NA=〃?°,求N80C的度数.

【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求解即可;

【答案】解：(1)平分乙48C,/ABC=40",

N08C=上/ABC=20°,

2

；C。平分N4C8,44CB=60°,

AZOCB=AZACB=30°,

2

AZBOC=180°-20°-30°=130°.

(2)=/A=90°,

AZABC+ZACB=\S0°-90°=90°,

又；NO3C=1-/A8C,ZOCB=1.ZACB,

22

.,.NO8C+NOCB=45°,

.'.ZBOC=180°-45°=135°.

(3)VZA=m°

.•.NABC+NAC3=180°-m°,

又：/O8C=l_/A8C,NOCB=L/ACB,

22

：.ZOBC+ZOCB^90°,

2

：.ZBOC=90°+L”°.

2

【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问

题，属于中考常考题型.

【变式3-2］（2019春•南岗区期末）已知在△ABC中，NA=100°,点力在△ABC的内部连接8力，CD,

且乙4M=/CB£>,NACD=NBCD.

（1）如图1,求/BDC的度数；

（2）如图2,延长80交AC于点E,延长C。交A8于点凡若/4E£>-12°,求/ACF的度数.

（图1）（图2）

【分析】（1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到NBOC的度数；

（2）设/ACF=a,则N8CQ=a,ZC£?D=40°-a=ZABD,依据三角形外角性质，即可得到/AEQ

=ZACF+ZCDF,ZAFD=ZABE+ZBDF,再根据NAED-NAFD=12°,即可得到a的值.

【答案】解：（1）；4=100°,

：.ZABC+ZACB=SO°,

又•；NABD=NCBD,NACD=NBCD,

：.^CBD=k-ZABC,ZBCD=1.ZACB,

22

/.ZCBD+ZBCD=1.(ZABC+ZACB}=40°,

2

.•./8OC=180°-40°=140°；

(2)设/4CF=a,则/8C£>=a,

VZBDC=140°,

/.ZCBD=40°-a=N48£),

•/ZAED是△OCE的外角，ZAFD是△8OF的外角，

NAED=ZACF+ZCDF,NAED=NABE+NBDF,

：.ZAED-ZAFD=ZACF+ZCDF-ZABE-ZBDE=a-(400-a)=12°,

解得a=26°,

AZACF=26°.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内角和是

180°.

【变式3-3](2019春•东阿县期末)已知任意一个三角形的三个内角的和是180°.如图1,在△ABC中，

NABC的角平分线BO与NACB的角平分线CO的交点为。

(1)若NA=70°,求NBOC的度数；

(2)若NA=a,求N8OC的度数；

(3)如图2,若BO、CO分别是/ABC、NACB的三等分线，也就是NOBC=1NA8C,ZOCB=-ZACB,

33

ZA=a,求/BOC的度数.

【分析】(1)根据三角形的内角和定理求出N48C+NAC8,根据角平分线的定义求出Z08C+N0C8,

根据三角形内角和定理求出即可；

(2)根据三角形的内角和定理求出NA8C+/ACB,根据角平分线的定义求出N08C+/0CB,根据三角

形内角和定理求出即可；

(3)根据三角形的内角和定理求出NA8C+NACB,求出N08C+N0C8,根据三角形内角和定理求出即

可.

【答案】解：(1)•••/A=70°,

...NABC+NAC8=180°-Z4=110°,

•.•在△ABC中，ZABC的角平分线BO与NACB的角平分线CO的交点为0,

.•./03C=LNABC,NOCB=L/ACB,

22

：.ZOBC+ZOCB^1-(ZABC+ZACB)=55°,

2

.•.N8OC=180°-CZOBC+ZOCB)=125°；

(2)VZA=a,

/.ZABC+ZACB=\SO°-ZA=1800-a,

:在△ABC中，ZABC的角平分线BO与NACB的角平分线CO的交点为O,

：./O8C=1_/A8C,NOCB=L/ACB,

22

.•.NOBC+NOCB=L(N4BC+/4CB)=_L(180°-a)=90°-La，

222

...N8OC=180°-(ZOBC+ZOCB)=180°-(90°-^Q)=90°+La；

22

(3)VZA=a,

AZABC+ZACB=\S0°-ZA=180°-a,

,：ZOBC^l-ZABC,ZOCB=l-ZACB,

33

：.ZOBC+ZOCB^^.(ZABC+ZACB)(1800-a)=60°-La，

333

80c=180°-CZOBC+ZOCB)=180°-(60°-^Q)=120°+La.

33

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，能求出N08C+N0CB是解此题的关键,

求解过程类似.

【模型4内外角平分线模型】

A

【条件】BP、CP分别为NABC、NACD的角平分线.

【结论】ZA=1ZP.

2

【例4】（2018秋•江岸区期中）如图，△ABC中，/ABC与NACB的外角的平分线相交于点E.

（1）已知乙4=60°,求NE的度数；

（2）直接写出NA与NE的数量关系：.

【分析】（I）根据角平分线的定义得到/£8=工/48,ZEBC^kzABC,根据三角形的外角的性质

22

计算；

（2）仿照（1）的计算过程证明.

【答案】解：（1）CE.BE分别平分乙4CD、ZABC,

：.ZECD=1-ZACD,ZEBC=1.ZABC,

22

:.NE=NECD-NEBD=L（NACD-NABC）=工/4=30°；

22

（2）由（1）得，ZE=LZA,

：.NA=2NE

故答案为：ZA=2Z£.

【点睛】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻

的两个内角的和是解题的关键.

【变式4-1］（2019秋•卫滨区校级期中）如图，ZVIBC的外角NACD的平分线CP与内角NABC平分线BP

交于点P,若N8PC=40°,求NCAB的度数.

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得NACD=/BAC+NA8C,NPCD=

ZP+ZPCB,根据角平分线的定义可得/PC£>=L/ACD,ZPBC=1-ZABC,然后整理得到/PCD=

22

40。+1ZABC,再代入数据计算即可得解.

2

【答案】解：在△ABC中，ZACD^ZBAC+ZABC,

在△尸8c中，4PCD=NBPC+NPBC,

,:PB、PC分别是/A8c和/ACO的平分线，

ZPCD=LZACD,ZPBC=1-ZABC,

22

：.ZPCD=ZBPC+ZPBC=40°+^ZABC,

2

ALzACD=i-ZABC+40°,

22

ZACD-ZABC=80°,

：.ZBAC=ZACD-ZABC=80°,

即NCAB=80°.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角

平分线的定义，熟记定理与性质并求出NPCD=40°+L/ABC是解题的关键.

2

【变式4-2](2019秋•莆田校级期中)如图所示，己知8。为△A8C的角平分线，CO为aABC外角NACE

的平分线，且与8。交于点。；

(1)若N4BC=60°,NDCE=70°,则°；

(2)若NABC=70°,ZA=80°,则NO=°；

(3)当NABC和/ACB在变化，而NA始终保持不变，则NO是否发生变化？为什么？由此你能得出什么

BE

【分析】(1)根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求得；

(2)根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求得；

(3)根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出N。、NA的等式，推出即可求得

2

结论.

【答案】解：(1)：8。为△ABC的角平分线，ZABC=60°,

：.ZDBC=30°,

VZDCE=70°,

:.ND=NDCE-NDBC=7Q°-30°=40°；

(2)VZABC=70°,ZA=80°,

二/ACE=150°

BD为AABC的角平分线，CD为4ABC外角ZACE的平分线，

AZDBC=^ZABC=35°,ZDCE=1.ZACE=15°,

22

：.ZD=ZDCE-ZDBC=15°-35°=40°；

(3)不变化,

理由：VZDCE=ZDBC+ZD,

二ZD=1-ZACE-l.ZABC=L(ZA+ZABC)-L/ABC=L/A.

22222

故答案为40；40.

【点睛】此题考查三角形内角和定理以及三角形外角的性质的综合运用，解此题的关键是求出

2

A.

【变式4-3](2018秋•彭水县校级月