2023年高考数学（甲卷）模拟仿真卷三（学生版+解析版）

2023年高考数学(甲卷)模拟仿真卷(3)

选择题(共12小题，满分60分，每小题5分)

1.(5分)已知集合8={0,1,2},C={-1,0,1},非空集合A满足A=A=C,则符合条件的集

合A的个数为()

A.3B.4C.7D.8

2.(5分)已知复数z满足(2+i)z=|4-3i|(i为虚数单位)，贝！Jz=()

A.2+zB.2-iC.1+2;D.1-2;

3.(5分)命题puVxe(0,+co),sinx>x"的否定一/?为()

A.Bx()e(0,+oo),sinx0>x0B.3^G(0,4-OO),sin

C.*e(一00，0],sinx0>x()D.3A;)e(-00,0],sinx()..玉)

4.(5分)已知G,石是两个不共线的非零向量，若(2d+3〃)//(3d+M)，则实数2=()

99

A.-B.-2C.2D.--

22

5.(5分)已知双曲线8父_旷=_1有一个焦点在抛物线C:V=2p)，(p>0)准线上，则〃的值为()

A.2B.1C.-D.-

24

6.(5分)已知正项递增等比数列{〃〃}的前〃项和为S”，若为+%=20,/・%=64,则区=()

Sg

3511

A.—B.—C.-D.-

132145

7.(5分)若曲线了=-7771在点(0,-1)处的切线与曲线丫=/也在点尸处的切线垂直,则点尸的坐标为()

A.(e,l)B.(1,0)C.(2,/n2)D.(L-Iril)

2

8.(5分)已知菱形ABCD的对角线相交于点O,点E为AO的中点，若他=2,Zfi4£>=6()%则福•诙=

()

A.-2B.--C.--D.1

222

9.（5分）函数f（x）=x/〃|2i|的大致图象为（）

2—x

22

10.（5分）如图，月，居分别是双曲线xr-斗V=1（。＞。，6＞。）的左、右焦点，过耳的直线/与双曲线分别

crb

交于A,B两点，若|A例=2|片8|,且|Ag|=|8E|,则双曲线的离心率为（）

11.（5分）在正四面体43CD中，E为的中点，过点E作该正四面体外接球的截面，记最大的截面面

积为S,最小的截面面积为T,则口=（）

T

43

A.-B.-C.2D.3

32

12.（5分）已知正方体A8CD-ABGR的外接球的体积为1086万，若E,F,G,〃分别为棱AR,AB,

BC,4用的中点，则三棱锥”-瓦6内切球的半径为（）

A.3G+3夜B.373-372C.376-72D.2^-76

二.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）若（》+为5的展开式中X?的系数为可，则实数a的值为___________.

x2

14.（5分）已知向量M=（l,x）,&=（-1,%）,若2。一5与B垂直，则|菊的值为.

15.（5分）已知sinx+cosy=L则sinx-sin2y的最大值为.

x

16.（5分）已知/&）=〃2§由5-855（m>0,0>0）,g（x）=e,若对V%]£R,3X2e[0,ln2],使得

/a）,,g（马）成立，若八幻在区间[o,加上的值域为“I,V2],则实数。的最大值为

三.解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考

生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）。（-）必考题：共60分

17.（12分）已知A4BC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,面积为S,且/+从-c?=逑$.

3

（1）求角C的大小；

（2）若。=近，〃+匕=4,求MBC的面积S.

18.（12分）张先生到一家公司参加面试，面试的规则是：面试官最多向他提出五个问题，只要正确回答出

三个问题即终止提问，通过面试.根据经验，张先生能够正确回答面试官提出的任何一个问题的概率为2,

3

假设回答各个问题正确与否互不干扰.

（1）求张先生通过面试的概率；

（2）记本次面试张先生回答问题的个数为X,求X的分布列及数学期望.

19.（12分）如图，几何体4JQ9EF中，正方形COE尸所在平面与梯形MCD所在平面互相垂直,

AD=DC=CB,AB//CD,ZDAB=60°,”为AB的中点.

（1）证明：平面成尸1.平面CFH；

（2）求二面角的余弦值.

2

20.（12分）已知片，居分别为椭圆C:V下+V==1（。>6>0）的左、右焦点，焦距为2,过工作斜率存在且

ab'

不为零的直线/交C于A,B两点，且△耳A8的周长为8.

（1）求椭圆C的方程;

（2）已知弦的垂直平分线加交x轴于点尸，求证:为定值.

\AB\

21.(12分)已知函数/*)=[丁一gf/+卯+2(〃€/?).

(1)若函数/*)在(0,2)上有唯一零点，求a的取值范围；

(2)当0<a<；时，求证：对任意的药,超e[0,,都有"(X1)--(x2)l<g-

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(10分)在平面直角坐标系，曲线C的参数方程为['='os?,(。为参数)，%%)是曲线C上的

[y=2sin夕

任意一点，动点。(x,y)满足[：=?，记。(x,y)轨迹为E,以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴的

[2)，=3%

极轴建立极坐标系，/的极坐标方程为6=A点的极坐标为(5,0).

4

(1)求E的普通方程；

(2)若/与E交于M,N两点,求AAAW的面积；

23.(10分)已知函数〃x)=|x—l|+|2x+4|.

(1)求不等式/(x)>6的解集；

(2)记/(x)的最小值为机，已知a,h,c均为正实数，且a+6+c=w,求」一+/一+—2一的最小值.

a+bb+cc+a

2023年高考数学（甲卷）模拟仿真卷（3）

选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）

1.（5分）已知集合8={0,1,2},C={-1,0,1},非空集合A满足A=A=C,则符合条件的集

合A的个数为（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】A

【详解】BpC={0,1},

•.,非空集合A满足AqB,AqC,

.•.A={0},{1},{0,1}.

符合条件的集合4的个数为3.

故选：A.

2.(5分)已知复数z满足(2+i)z=|4-3i|(，为虚数单位)，则z=()

A.2+iB.2-iC.1+2/D.1-2/

【答案】B

【详解】由(2+i)z=j4-3i|=j42+(-3)2=5,

俎55(2-05(2-z)0.

得z=----=-----------=———-=2-1,

2+i(2+i)(2-i)22+12

故选：B.

3.(5分)命题〃“Vx£(0,+oo),$inx>x”的否定一p为()

A.Bx0G(0,+OO)»sin毛>/B.即e(0,+oo),sin/,,不

C.BXQe(-oo,0],sin/>玉)D.3x0G(-00,0],sin/../

【答案】B

【详解】因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题p：Vxc(0,+8),sinx>x,W>J—>p:Bx0e(0,-HX>),sinx0.

故选：B.

4.(5分)已知5是两个不共线的非零向量，若Qa+3b)//Gd+证),则实数2=()

99

A.-B.-2C.2D.--

22

【答案】A

【详解】根据题意，若(2d+36)//(3d+46),则设(24+3b)=k(3d+Q),

则有(2d+35)=33+2心，

必有?=：，，解可得4=2,

[3=Ak2

故选：A.

5.(5分)已知双曲线8——8/=—1有一个焦点在抛物线C：f=2py(p>o)准线上，则〃的值为()

11

2BC

A.2-D.4-

【答案】B

22

【详解】双曲线8f—8y2=—1即为〒一年=1,

88

2111

/.C=-+-=—，

884

1

/.c=—,

2

,・,抛物线C:x2=2py(p>0)准线为y=--,

.P_1

..-------——,

22

即p=1,

故选：B.

6.(5分)已知正项递增等比数列口｝的前”项和为S,,,若4+%=20,4/=64,则a=()

3511

-C

A.一B.4-D.5-

1321

【答案】B

【详解】•.•正项递增等比数列｛《,｝的前〃项和为S,,q+%=20,4.%=64,

/.a4>%是一元二次方程d-20x+64=0的两个根，且出<%,

解方程f-20x+64=0,得勾=4，%=16,

\C，'^4»解得4=1,4*=4,

[qq=16

q(")

._1-q]_q616_]5_5

"『qO"L]-/—一「百一万

i-q

故选：B.

7.(5分)若曲线丫=-右门在点(0,-1)处的切线与曲线)，=/,犹在点尸处的切线垂直,则点尸的坐标为(

A.(e,l)B.(1,0)C.(2,/〃2)D.(；,-Ini)

【答案】D

【详解】产-而1的导数为？=——

2yJxV[

可得在点(0,-1)处的切线斜率为-L,

2

设P(m,lmn),由y=/nx的导数为/=—>

x

可得曲线)=/小在点P处的切线斜率为攵=’，

m

由两切线垂直可得,•(-3=-1,

m2

解得/w=—>

2

可得P(L-/〃2).

2

故选：D.

8.(5分)已知菱形ABCD的对角线相交于点。，点E为A0的中点，若"=2,Zfi4D=60°,则福•波

()

171

A.-2B.——C,--D.-

222

【答案】B

【详解】根据题意，作出如下所示的图形，

1八

由题可知，ZBAE=30°,AE=-AO=—,

22

AB^=^(DA+AE)=-ABAi5+ABAE

=-2x2xcos60°+2x—xcos30°

2

D

A\^£5c

B

9.（5分）函数f（x）=x加|言|的大致图象为（）

A.X：B.!1!

c.能.举

【答案】B

【详解】函数的定义域为{x|x*±2},排除选项。，

?丫？V*7|丫

乂.…=（一）如寸（一）（/'i|2_J）=刎2T2M

故函数/（X）为偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项A,C,

故选：B.

22

10.（5分）如图，F1,F,分别是双曲线1-4=l（a>0/>0）的左、右焦点,过E的直线/与双曲线分别

a~b~

交于A,8两点，若|AB|=2|f；B|,且|AQ|=|B£|,则双曲线的离心率为（）

M

A.gB.4C.毡D.6

3

【答案】A

【详解】设|mJf,|蜴|=5,

由|AB|=2|耳例,且,

可得|AB|=2/,|BF21=s>

由双曲线的定义，可得|4耳|—鸟|=2f+r-s=2a,

又|8/"-|8/"=sT=2a,

解得s=4a,t=2a>

所以AWg是边长为4“的等边三角形,

在48耳名中，|BFt|=2a,\BF2\=4a,\FtF21=2c,Nf；8g=I20。，

则cosN耳=-g=4a2+16/一4c2204—4/

2•2。•4。\6a2

化为c2=Her,BPc=y/la,

即有e=—=y/1.

a

故选：A.

II.(5分)在正四面体中，E为BC的中点，过点石作该正四面体外接球的截面，记最大的截面面

积为S,最小的截面面积为T,则上=()

T

43

A.-B.-C.2D.3

32

【答案】B

【详解】将四面体放置在正方体中，可得正方体的外接球就是四面体的外接球，

不妨设正四面体的棱长为血，则正方体的棱长为1,可得外接球的直径为正方体的对角线长为G，过点E

作其外接球的截面，

当截面与球心的与点E连线垂直，截面到球心的距离最大，截面圆的面积最小,

此时球心到截面的距离等丁•正方体的棱长的工，

2

34

所以

2

故选：B.

12.（5分）已知正方体AB8-A4GR的外接球的体积为108x/5万，若E,F,G,"分别为棱AQ,AB,

BC,A5的中点，则三棱锥"-EFG内切球的半径为（）

A.3百+3夜B.373-3>/2C.3屈-叵D.2耳-瓜

【答案】B

【详解】设正方体外接球的半径为R,

由正方体的外接球的体积为=1086万，

3

得R=3g,

设正方体的棱长为a,则3/=RR）?=4x（38门，

解得61=6,

根据题意得EH=FG=3应,EF=HG=3®HF=6,EG=6及,

所以EF2+FG2=EG2,EH2+HG2=EG2,

所以AG_L£F,HG工EH,

又因为斯_LFG,HF^\EF=F,

所以FGJ•平面£7%,

所以三棱锥"-EFG的表面积

sS

it=t£FH+S皿c+s4m；+S&Q=gX6X3企+gX34X3衣+；x3*x3"+；x6x3衣=18"+18小，

设三棱锥EFG内切球的半径为广，

由等体积法知，VH.EK=VG_EFH=gSM：FH，FG=；S表.r,

故选：B.

二.填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

13.(5分)若(》+色)5的展开式中V的系数为21,则实数〃的值为___________.

x2

【答案】—

10

【详解】・・・5+与5的展开式的通项公式为令5—2r=3,求得〃=1,

x

可得展开式中/的系数为乙々=包，则实数。=包，

210

71

故答案为：—.

10

14.(5分)已知向量1=(1/),fe=(-l,x),若2。一。.与5垂直，则|团的值为

【答案】2

【详解】根据题意，向量扉=(1保),5=(-1必

则2a-b=(3,x),

若2G-B与B垂直，则(24-6)・/?=-3+丁=0,

解可得：x=±\/3,

则|a|=J1+3=2,

故答案为：2.

15.(5分)已知sinx+cosy=2，则sinx-sin2y的最大值为.

4

【答案】-

16

【详解】因为sinx+cosy=；,

所以sinx=L-cosyw|-l,1],

4

35

所以一W都2sy[，

3

所以cosye1]»

।31

注意至Usinx_sii?y=——cosy-(1-cos2y)=cos2y-cosy——=(cosy—)2-1,

442

因为cosyw[—1]»且|一]—21>|1-/1,

所以当cosy=--时，

z•.2\/31、219

(sinx-siny)=(----)-1=—•

zmt4216

故答案为：

16

x

16.(5分)已知/(%)=msin5-cos5(m>0,G>0),g(x)=e,若对V%wR,3x2G[0,In2],使得

/(X),,g(X2)成立，若/(x)在区间[0，乃]上的值域为[-1,V2],则实数0的最大值为.

【答案】-

3

【详解】已知/(%)=znsin0x-cosGx=J，?？+isin(69x+1)，m>。,M44tan^=-■-<0;

m

可得f(x)的最大值为y/m2+l,

由g(x)=，在xe[0,/〃2]的最大值2,

yJm2+1„2,

可得：0<,%,G.

要使。最大，周期7最小，那么xe[0,7]上必然单调.

一T..31•

2

则69„1.

根据区间[0,句上的值域为[-1,V2],可得匕、+2出。=-1(0<八,1)

[\lm2+1sin(M+6)=0

那么。=_乙或卫，

66

当。=—工时，

6

则3一色=工+2%)，4EZ；

62

2〜

/.G=—+2%.

3

7

0最大值为

3

当。=时，tan0=—■—<0；不满足题意.

6m

故答案为：-

3

三,解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考

生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）。（一）必考题：共60分

17.（12分）已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,&a2+b2-c2=^-S.

3

（1）求角。的大小；

（2）若c=a+b=4,求A48C的面积S.

【答案】（1）C=-；（2）正

34

【详解】（1）va2+b2-c2=^^-S,a2+b2-c2=^^-absinC,

33

a+"———=-^sinC,B|JcosC=—sinC,

2ab33

/.tanC=^3,且C£(0,乃)，

(2)c=近,a+b=4,C=—

3

­c2(a+b)〜一2ctb—c?16—2.cib—71日；

/.cosC=----------=----------------=----------二一，解得"=3o,

lab2ahlab2

乂3-=更

S=—abs\r\C=

2224

18.（12分）张先生到一家公司参加面试，面试的规则是：面试官最多向他提出五个问题，只要正确回答出

三个问题即终止提问，通过面试.根据经验，张先生能够正确回答面试官提出的任何一个问题的概率为2,

3

假设回答各个问题正确与否互不干扰.

（1）求张先生通过面试的概率；

（2）记本次面试张先生回答问题的个数为X,求X的分布列及数学期望.

【答案】见解析

【详解】（1）记张先生第i次答对面试官提出的问题为事件A（i=l，2,3,4,5）,则P（4）=；,张先生前

三个问题均回答正确为事件B,前三个问题回答正确两个且第四个又回答正确为事件C.前四个问题回答

正确两个且第五个又回答正确为事件。，张先生通过面试为事件M，则M=8+C+Z）.

根据题意，得尸（8）=（少=£,20=慧（羊.皆=三，P（D）=C：（|）2.（1）2.|=^.

3273332733381

因为事件8,c,D互斥，所以p（M）=p（8）+p（c）+p（r））=a+@~+3=*，

27278181

即张先生能够通过面试的概率为日.

81

(2)根据题意，X=3,4,5.X=3表明前面三个问题均回答错误(淘汰)或均回答正确(通过)，所以

P(X=3)=(1/+(|)3=1；X=4表明前面三个问题中有两个回答错误且第四个问题又回答错误(淘汰)或

者前面三个问题中有两个回答正确且第四个问题回答正确(通过)，

所以P(X=4)=C；---(-)2,+C；(Z)21.2=12.X=5表明前面四个问题中有两个回答错误，两个回答正

33333327

确，所以P(X=5)=喏)2.(；尸吟.

所以X的分布列为:

X345

p108

32727

107

S（£，（X）=3x-+4x—+5x—=

32727~T1

19.(12分)如图，几何体45CDE尸中，正方形CDE尸所在平面与梯形43CZ)所在平面互相垂直,

AD=DC=CB,AB!1CD,ZDAB=60°,”为他的中点.

(1)证明：平面瓦里_L平面CR"；

(2)求二面角5-“/一。的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）--

7

【详解】（1）证明：由已知得/ADC=/BCD=120。，

:.ZCBD^ZCDB=30°,ZADB=90°,ZABD=30°.

/.AB=2CD,AH=DC,..ADC”为平行四边形,

：.CH//AD,：.BDLCH,

CDEF为正方形，且平面CDEF_L平面ABCD,

，CFJ_平面ABC。，则CFJ.3D,■.■CH^CF=C,

BD_L平面S7,8。u平面BDF,

平面或＞F_L平面C"7；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系,

设的=2,则8(0,26,0),"(1,6,0),尸(-1,6⑵，

丽=(-1,62),丽=(1,石,0),

迎、工4日、fE-X+V3y4-2z=0

设平面。加的法问量为沆=(x,y,z),贝叫二)

x+6y=0

令x=6,则沅=（6,-1,6）,

同理可求得平面BFH的法向量为n=（61,扬,

由图可知二面角3-加-。为钝角,

所求二面角的余弦值为

22

20.（12分）已知耳，K分别为椭圆C：鼻+与=1（”6>0）的左、右焦点，焦距为2,过鸟作斜率存在且

不为零的直线/交C于A,3两点，且的周长为8.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知弦A3的垂直平分线加交x轴于点P,求证：也1为定值.

|AB|

,2

【答案】（1）工+工=1；（2）见解析

43

【详解】（1）因为椭圆的焦距为2,

所以20=2,解得c、=l,

由椭圆的定义可得△々AB的周长为4〃,

又因为△6A3的周长为8,

所以4。=8,解得。=2,

所以从=々2-C2=3,

所以椭圆的方程为工+f=1.

43

(2)证明：设直线/的方程为y=%(x-l),

联立，43，得(3+4公*一伙，+4(公-3)=0,

y-)

设A(x,,y),B(x2，%)，

4/23)

所以％+々，

设AB的中点为。(x0,%)，

-为+为4k2,.-3k

所Gf以N/=丁=诉’%=%®-i)=w

一3丘14炉

当左/0时，线段AB的垂直平分线的方程为y--%=-[(x-万)，

3+4kk3+4k

k2

令y=0,得x=--------,

3+4公

所以^-1|=3("£),

23+4jt23+4公

2I：

\AB\=VlTF7U,+x,)-4X,X2=。：：；)

JI^rK

3(1+F)

所以以3+4k：=]_

|AB|12(l+&2)4

不4&厂

当欠=0时，直线/的方程为y=0,

止匕时|A8|=2a=4,|Pf；|=c=1,

综上，1^1=1.

|A8|4

21.(12分)已知函数,f(x)='|x:l-巴+2or+2(aeR).

(1)若函数/(x)在(0,2)上有唯一零点，求。的取值范围；

(2)当0<a<g时，求证：对任意的不,x,e[0,,都有If(x,)-)|<g.

【答案】(1)(-co,-);(2)见解析

3

【详解】⑴解：r(x)=2xj+4)x+2a=2(x-效-2)’

①当口.4时，r(x)>0在(0,2)上恒成立，

函数/(x)在(0,2)上单调递增,

又y(o)=2>o,

函数，(x)在(0,2)上无零点,

②当0<。<4时，易知函数/(X)在(0,9上单调递增，在e，2)上单调递减，

要使函数/(X)在(0,2)上有唯一零点，则/(2)=2«-1<0,即

0<〃v—>

3

③当4,0时，f'(x)<0在(0,2)上恒成立，

函数/(x)在(0,2)上单调递减，

2

X/(0)=2>0,f(2)=2a-1<0,

函数/(x)在(0,2)上有唯一零点,

综上所述，实数a的取值范围为(-oof).

(2)证明：山(1)得函数/(X)在(0,当上单调递增，在《，2)上单调递减，在(2,9)上单调递增，

又/(0)=2>0,极小值/(2)=2a-|，极大值吗)=-豪、#+2,/(1)=ya-^,

当司,&€[0,|]时，"(%)-加)、=屿)，⑵，

令g(a)=/(-)-f(2)=--a3+-a2-2«+-(0<«<-),

224233

贝ijg，(a)=--a2+a-2=--(a-4)2<0,

88

函数g(a)在(0,$上单调递减，

Q

-'-g(a)<g(0)=]，

令〃