初中数学公式定理大全（按知识点）

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1.有理数的分类

(1)按数的“整分性”分类(2)按数的“正负性”分类

......

1卜整数止整数

正有理娄妹

整数零［正分数

有理数〔负整数有理数零

［负整数

分数负有理娄f负分数

V负分数、

2绝.对值

a(a>0)

绝对值的代数定义同=0(a=0)

-a(a<0)

3.图形的认识

直线、射线、线段之间的区别

直线射线线段

//1/1

图形

ABABAB

表示

直线AB或直线1射线AB或射线1线段AB或线段/

方法

端点

0个1个2个

个数

金榜题名1前程似锦

延伸

向两边无限延伸向一边无限延伸不能延伸

方向

有关两点之间，线段最

两点确定一条直线无

性质短

4.整式乘法

（1）同底数幕的乘法：qm=["+"（m、n都是正整数）

（2）基的乘方：（/）”=武血、n都是正整数）

（3）积的乘方：（n是正整数）

（4）底数的推广：

（"为偶数）

①(一。)"=<

（"为奇数）

m-6）"（〃为偶数）

②(6-。)"=<

-m-6）"（〃为奇数）

平方差公式:(a+b)(a—b)=a2—b2

（5）乘法公式:

完全平方公式:(a±i>)=a2±2ab+b2

（6）平方差公式常见的变化形式:

①位置变化：(-Z?+a)(6+a)=(a+0)(a-b)=a2-b~

②符号变化：(-a+/?)(-[-5)=(—a)2-A?=a~-b~

③系数变化：(2x+3y)(2x—3y)=(2x>-Gy-=4——9j?

④指数变化:(川+〃2)(加2—〃2)=(朋2)2_(〃2)2=加》一〃4

⑤增项变化：(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)2-c2-...

⑥增因式变化：

(—a—b)(—a+b)(a—b)(a+b)=[(—tz)2—b~](a~—Z>2)=...

⑦连用公式变化：

(a+b)(a-6)(a2+b2)(a4+/)=(a2-b2)(a2+Z>2)(a4+64)=(a4-Z>4)(a4+64)=a8-bs

金榜题名2前程似锦

(7)完全平方公式常见的变化形式：

®<72+Z?2=(a+b)2-2ab

@a2+b~=(a-b)2+2ab

③(q+b)2=(<7-b)2+4ab

@(a-b)2=(a+b)2-4ab

⑤(a+b)2+(a-Z))2=2(/+/)

⑥(a+b)2-(a-b)2=4ab

@(a+b+c)2=a~+b2+c2+2ab+2bc+2ac

5.数据分析

平均数与方差公式

名称公式

1.、

平均数X=—(X|++…+x〃)

n

X[W]+xw+...+X”吗

加权平均数22

Wj+w2+...+%

1———

方差_[(X|+(X,+…+(为元x)一]

n

6.分式的运算

(1)分式的基本性质：①"二巴(6w0,cw0)

b-cb

"ca.八、

②------------=一(6W0,cw0)

b+cb

…一。a-aaaz,

③——=—,——=——二一一(6w0)

-bbb-bb

金榜题名3前程似锦

⑵分式的乘法：3•£=丝SwO,dwO)

bdbd

(3)分式的除法：—4--=—­—=—(/)0,C0)

bdbcbe

(4)分式的加减法：

①同分母;±£="£伯*0)

bbh

,②异分母;±£=也土生=WE3#0,d‘o)

bdbdbdbd

(5)分式的乘方：(、)"=三•(bwO,〃是正整数)

⑹同底数暴的除法：加/者B是正整数)

(7)零指数幕：a=1(a^O)

1

⑻负整指数幕：。一”=-7mw(),〃为正整数)

(9)解分式方程的一般步骤：

①去分母：在方程左右两边都乘以最简公分母，化为整式方程.

②解方程：解整式方程.

③验根：把整式方程的根代入最简公分母，若结果为零，则这个根是方程

的增根，必须舍去.

金榜题名4前程似锦

7.全等三角形

证明三角形全等的常见思路：

［找夹角fMS

⑴已知两边：.找直角fHL

找第三边->SSS

’一边为角的对边一找另一角一44S

(2)已知一边一角：,［找夹角的另一边fS4s

'--边为角的邻边<找夹边的另一角fASA

找边的对角-44S

(3)已知两角：!找夹边—"S'

找其中一角的对边-44S

8.等式与不等式的区别

等式的性质不等式的性质

对称性：若4=6,则力=Q反对称性：若a>b,则

传递性：若a=b,b=c,则。=c传递性：若a>b,b>c,则Q>C

性质1：若Q=b,则Q±6=6±C性质1：若Q>6,则。±c>6±c

性质2：若。=6,则ac=6c；

性质2：若a>b,c>0,则QC>6C,@>—

cc

若a—b,cwO,则一一一

cC

性质3：若a>b,c<0.则

cc

9.一元一次方程与一元一次不等式的区别

一元一次方程一元一次不等式

①去分母①去分母

②去括号②去括号

③移项③移项

解法步骤④合并同类项④合并同类项

⑤系数化为1⑤系数化为1

在上面的步骤①和⑤中，如果乘的因数或除数是负

数，则不等号的方向要改变

解一元一次方程只有一个解一元一次不等式一般有无数多个解

金榜题名5前程似锦

10.一元一次不等式组解集的基本类型

F等式组

在同一数轴上的表示解集口诀

（超

x<a同小

/〃//x<a

x<b——>取小

07b

x>a

<同大

]1////hx>b

x>b取大

0ab

x>a

•

x<b__|______///―>a<x<b大小、小大中间找

07I

大大、小小无处找

x<a

《（无解）

x>b_______—>空集

07I

11.二次根式

（1）二次根式的性质

Q(a>0)

®[y[a）2=a（a>0）②y[a^=|<?|=<0(t?=0)

-a(a<0)

在与（布）2的区别与联系

公式意义字母a的取值范围运算结果联系

a可为任意实薪

《a•a问当。20时，

=（Vn）2

4a•4aa>0a

(2)二次根式的乘法：4a-4b=y[ab(a>0,Z?>0)

金榜题名6前程似锦

⑶二次根式的除法：*RaNU,b>Q))

(4)商的算术平方根:>0,6>0)

12.解直角三角形

(1)常用的性质

①直角三角形中有一个是直角.

②直角三角形中两个锐角互余.

③直角三角形中，30r角所对的边等于斜边的一半.

④直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

222

⑤直角三角形勾股定理：a+b=c(。、〃为直角边，c为斜边)

⑥角平分线性质：角平分线上的点到角两边的的距离相等

⑦角平分线的性质的逆定理：角内部到这个角的两边距离相等的点在角平

分线上

(2)判定直角三角形的方法：

①证明三角形中有一个角为直角.

②证明三角形中两个锐角互余.

③证明三角形三边满足勾股定理(a2+b2=c2y

13.四边形

〃边形内角和公式：(〃-2)」80°

(1)多边形常用公式:

求正〃边形各内角度数：(〃一2)“80°

(2)正方形、矩形、菱形和平行四边形的关系:

(3)四边形的性质和判定

金榜题名7前程似锦

图形定义颜判定

以边：对边平行且相等两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

两组对边分别平行的四

角：对角相等，邻角互补两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

边形叫做平行四边形

对角线：对角线互相平分一组对边平行且相等的四边形平行四边形.

对林性：中心对称图形对角线互相平分的四边形是平行四边形.

平行四边形

边：对边平行且相等

有一个角是直角的平行四边形是矩形.

有一个角是直角的平行角：四个角都是直角

有三个角是直角的四边形是矩形.

四边形叫做矩形.对角城：对角线互相平分且相等

对角线相等的平行四边形是矩形.

对称性：既是中心对称图形，

X也是柏对称图形

矩形s

边：对边平行，四条边都相等s

角：对角相等，邻角互补有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

有一组翎边相等的平行

对角线：对角线互相垂直平分，四条边相等的四边形是菱形.

四边形叫做菱形

每一条对角线平分一组对角.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.8

对称性：既是中心对称图形，

Z

菱形也是轴对称图形

照

边：对边平行,四条边都相等您

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边第

有一组•边相等且有一角：四个角都是直角

形是正方形.

个角是亶角的平行四边对角线；对角线互相垂直平分且相等，

有一个角是直角的菱形是正方形.

形叫做正方形.每一条对角线平分一组对角.

有一组邻边相等的矩形是正方形.

冈对称性1既是中心对称图形，

也是轴对称图形

防形

边：两腰相等

两腰相等的梯形叫做等

角：间一底上的两底角相等两展相等的梯形是等腰梯形.

腰梯形

三对角线：对角线相等在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形.

对称性：轴对林图形

等腰梯形

14.一次函数

(1)一次函数的性质

k、力的符号函数图象图象的位置性质

图象过

b>0L第一、二、三

象限

y随x增大而

k>0

增大

图象过

b<0y4.第一、三、四

象限

图象过

b>0第一、二、四

象限

y随x增大而

k<0

减小

V图象过

b<0第二、三、四

\象限

(2)待定系数法求函数解析式的一般步骤

①设出含有待定系数的函数解析式

②把已知条件(自变量与函数的对应值)带入解析式，得到关于待定系数

的方程或方程组；

③解方程或方程组，求出待定系数；

④将求得的待定系数得知带入解析式.

金榜题名9前程似锦

15.反比例函数

公式y=—(k0)

X

k的符号k>0k<0

1

lL

图像

①X的取值范围是XW0,y①X的取值范围是xw°,y

的取值范围是的取值范围是歹0°.

②函数图像的两个分支分别

②函数两个分支分别在第在第二、第四象限内，在每

性质一、第三象限内，在每个象限个象限内，y随x的增大而

内，y随矛的增大而减小增大

反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心的对称图形.

它有两条对称轴，分别是直线歹二x和y二一X,对称中

心是坐标原点（0，0）

过双曲线上任意一点引X轴

或y轴的垂线，垂线与坐标

原点所围成的图形面积为：

k的几何CV

s出

意义/T.

°AOEF-2Ex

^OEFC一八

金榜题名io前程似锦

16.一元二次方程

(1)解一元二次方程的方法

'理论依据：若。•》=(),则a=0或6=0

①因式分解法解法：化为(Qx+Z))(cx+d)=0的形式

解得：ax+6=0或cx+d=0

②直接开平方法|若"2=扉。之0)，则*=土而

-a)2=b(b>0),则x-a=±4b,即x-a+4b

③配方法［理论依据：完全平方公式a?±2。6+从=(a±bf

［解法：化为(x+”?)2=〃(〃N0好)形式

化为ax?+bx+c=0(aW0)的形式

④公式法一17r

求根公式：x="'b——02_4qc>0)

(2)一元二次方程跟与系数的关系

X]+X2=—

韦达定理

C

再飞二一

重要变形:

22

①X；+X2=(X]+X2)-2项为2；

金榜题名11前程似锦

②_L+_L=5+)2,；

X]x2xxx2

(§)X2।X1_占+.2_(/+-2)-2再々.

X]x2XxX2XxX2

④(为一)2=(X1+x2)2-43马

2

⑤(再+k\x2+%)=x,x2+k{xx+x2)+k；

⑥|再一/1=J(再-/J=J(再+%2)2-4再了2

17.图形的相似

(1)线段的比

若@=£,则ac/=bc

bd

若q=£,则q=2或3=£

①比例线段的性质

bdcdba

井Q_ciJW-=-

bdac

若巴^a±b=c±d

bdb

②黄金分割比：避二1七0.618

2

18.相似三角形

(1)相似三角形的几种图形

金榜题名12前程似锦

(2)证明三角形相似的常见思路

①已知一角对应相等，可再找：

J另一角对应相等

［夹已知角的两边对应成比例

②已有两边对应成比例，可再找：

'这两边的夹角对应相等

［第三边的比值与前面两对边的比值相等

③若两个三角形式等腰三角形，可再找：

'顶角对应相等

＜一底角对应相等

一腰与底边对应成比例

④若两个三角形是直角三角形，可再找：

［一锐角对应相等

j夹直角的两直角边对应成比例

(3)相似三角形的性质

金榜题名13前程似锦

'对应线段：对应高的比、对应中线的比上

相似三角形的性质周长：周长的比等于相似比

面积：面积的比等于相似比的平方

［对应线段：对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比等于相似比

相似多变形的性质周长：周长的比等于相似比

［面积：面积的比等于相似比的平方

19.锐角三角函数

(1)特殊角的三角函数值

三角函数a30°45°60°

j_V2V3

正弦sina

2~TV

V3V2j_

余弦cosOf

~T~T2

73

正切

tana~Ti

.h

⑵坡度：i=-(力为坡面的铅垂高度，，为水平宽度)

(3)三角函数的关系

①同角三角函数之间的关系为锐角)

金榜题名14前程似锦

平方关系:sin?a+cos?a=1

必『工sinOL

商数关系:tana=-----

cosa

②互为余角的三角函数关系

fsina=cos(90°-«)

[cosa=sin(900-a)

20.二次函数

(1)二次函数y+6x+c(aw0)的图像与性质

关系式一般式顶点式

解析式y=ax2+bx+c(QW0)y=a(x-炉+k{aw0)

图像形状抛物线

开口方向当。>0时，开口向上；当4<0时，开口向下

'b4ac-b2

顶点坐标(6,左)

、2a4a,

b

对称轴x=-----x-h

ul2a

[人.

图像0|/

a>0a<0

增a>

对称轴左侧，即或XV。，y随x增大而减小；

减02a

金榜题名is前程似锦

性

对称轴右侧，即或X>。，y随X的增大而增大

2a

对称轴左侧，即x<_2或xv〃，y随才增大而增大；

a<2。

0对称轴右侧，即x>-2或7随X的增大而减小

2a

当x=—2时，

a>2a

当％=力时，y最小值=左

04ac-b2

力小值一而

最

值当％=—2时，

a<2a

当工二力时，y最大值=左

0_4ac-b2

%大值-4a

(2)二次函数图像特征与a、b、c、"Yac之间的关系

字母字母的符号图像的特征

a>0开口向上

a

a<0开口向下

b=0对称轴为y轴

ba、力同号对称轴再y轴左侧

a、，异号对称轴再y轴右侧

c=0图象过原点

cc>0与y轴正半轴相交

c<0与y轴负半轴相交

t^~4ac=0与X轴有唯一交点(即顶点)

6-4acIf-4ac>0与X轴有两个不同的交点

tf-4ac<0与x轴无交点

(3)二次函数的图像平移规律

金榜题名16前程似锦

移动方向平移前解析式平移后解析式简记

向左平移

y=47（x-/2）?+ky=a{x-h+m^+k左加

R个单位

向右平移

（（右减

加个单位y=ax-h^+ky=ax-h-m^+k

向上平移

y=a（x-h^+ky=+k+m上加

m个单位

向下平移

y=a[x-h^+ky=Q（X-/7）2+左一〃7下减

0个单位

21.圆

L与圆有关的常用定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所