2021-02-22高中数学解三角形试卷

2021-02-22高中数学试卷

解三角形

一、单选题（共8题；共。分）

1.在△•一算中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若酸:燃点=如近蟋，则血般:*H珍:鬲镭等于（）

C.-1

D.1

【答案】D

【考点】正弦定理的应用，余弦定理的应用

【解析】【解答］蹦£豌，翱=徵赢t院二晶，纲解，然=酶!徽幽感，即:

|.故选D.

2.已知色，破算满足：金避=堂，总授=筮觥：=露，则BC的长（）

A.2

B.1

C.1或2

D.无解

【答案】C

【考点】余弦定理

【解析】【解答】由余弦无理得：蛔深•激-----------------=-----------=一，解得|

会逼瑟敏滕露营

3.三角形三边形a,b,c,且满足等式（a+b©（a+b+c）=3ab,则边c所对角为（）

A.1500

B.30°

C.60°

D.120°

【答案】C

【考点】余弦定理

【解析】【分析】首先利用平方差得出(a+b»c2=3ab,进而得出a2+bJc2=ab,然后利用余弦定理求出cosC

的值，从而根据特殊角的三角函数值的得出答案.

【解答】(a+b-c)(a+b+c)=3ab

(a+b)2-c2=3ab即a2+b2-c2=ab

1

根据余弦定理得《娥或:=J］：；：,==$

CG(0,n)

/.ZC=60°

故选c.

4.在△。破短中，您=多力=语、=多则角B等于()

A.30度

B.45度

C.60度

D.120度

【答案】C

【考点】余弦定理

【解析】【分析】直接利用余弦定理以及特殊角的三角函数值就可得出答案.

【解答】根据余弦定理得cosB=

BG(0,180°)

ZB=60°

故选C.

【点评】本题考查了余弦定理以及特殊角的三角函数值，解题过程中要注意角的范围，属于基础题.

5.△舄君算的三边之比为3：5：7,求这个三角形的最大角为()

A.我f

BW

Cl主

D.由

【答案】C

【考点】余弦定理

【解析】【解答】设出三边的长度，用余弦定理直接求解，此题中给的是三边长度的比例，可将其按比例

设为3t,5t,7t,其中t>0.

△ABC的三边之比为3：5：7,

二设三边长依次为3t,5t,7t,其中t>0,设最大角是C,由余弦定理得，

=-->所以C=120。

故应选c.

【分析】知三边长的比值一般按比例用一个参数表示三个量，这样求边长时可以少建立方程，利于减少运

舁里.

6.在破算中，＞那么△士蟠V是（）

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰或直角三角形

【答案】D

【考点】正弦定理的应用

【解析】【解答】因为所以由正弦定理得故@=匾鳍,

所以I三空期或2d卜塞二笈所以|或通"潞=0,所以曜酬是等腰或直角三角形，所以选D.

7.在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,若ccosC=bcosB,则△ABC的形状一定是（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰或直角三角形

D.等边三角形

【答案】C

【考点】余弦定理

【解析】【解答】利用余弦定理将角转化成边在利用因式分解对式子进行化简判断三角形的形状.

@喈口浮=承0小（/="）=（/二炉Xi十犷）

若c=b,等式成立三角形为等腰三角形,或者三角形为直角三角形.所以答案为C.

8.△.球算中角A,B,C的对边分别为a,b,c,且函询离斗燎负能一蠢潮血算=标加密，则4酉=（)

B尊

D节

【答案】B

【考点】正弦定理，余弦定理

【解析】【解答】针对bsinK+csinC-旦sinC=bsinB利用正弦定理边角互化可得

\az+c~-y/2ac=ir，即|a*+c2=~j2ac，所以cos8=9——=-，所以8=

.4C.47C/

二、解答题（共22题；共。分）

9.(2014•北京)如图，在△ABC中，NB=净，AB=8,点D在边BC上，且CD=2,cosNADC=$.

(1)求sinzBAD；

(2)求BD,AC的长.

I

【答案】（1）解：在△ABC中，•••coszADC=

sinZADC=Ji-

则sinNBAD=sin(ZADC-ZB)=sinZADC»cosB-cosZADC,sinB=

媪叱彘物

（2）解：在△ABD中，由正弦定理得BD=

遥懈f

1

在小ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2-2AB»BCcosB=82+52-2x8x=49,

苦

即AC=7.

【考点】余弦定理的应用

【解析】【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论.

10.（2014•浙江）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知aHb,c=招,cos2A-cos2B=

性sinAcosA-曲,sinBcosB.

（1）求角C的大小;

(2)若sinA=:w，求△ABC的面积.

【答案】(1)解：.「△ABC中，awb,c=行，cos2A-cos2B=#sinAcosA-#sinBcosB,

国卫丝-"更sin2A-@sin2B,

即cos2A-cos2B=^sin2A-/sin2B,即-2sin(A+B)sin(A-B)=26・cos(A+B)sin(A-B).

•「awb,.二AHB,sin(A-B)工0,

tan(A+B)=-A+B=——,C=

<<、厘.

(2)解：sinA二c—,・•・A<或A>—(舍去)，‘cosAn色一岫/度|=

由正弦定理可得,--研---=---箝--,即R,1

媪帆原飙贮

4“七4#见写

/.sinB=sin[(A+B)-A]=sin(A+B)cosA-cos(A+B)sinA=/x——______,

・•.△ABC的面积为工幅豳1摩=4%有x二针砧=鲍*>

22看：B第

【考点】二倍角的正弦，二倍角的余弦，正弦定理

【解析】【分析】(1)△ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得-2sin(A+B)sin(A-B)=2geos

(A+B)sin(A-B).求得tan(A+B)的值，可得A+B的值，从而求得C的值.(2)由sinA=*求得cosA

的值.再由正弦定理求得a,再求得sinB=sin[(A+B)-A]的值，从而求得△ABC的面积为界期“啦i蝎的

值.

11.(2018•天津)在山螭后中，内角45c所对的边分别为a,b,c.已知加而离=缴糕侬-歙

(I)求角B的大小；

(口)设a=2,c=3,求b和城或之g-图的值.

【答案】解：.解：(I)△.破算中，由正弦定理

=比会曰翔血域=会麻感=1赠•费-•普｛濯曲谡=:豳嬲邸一景

|=»或幡=姿:醯3_裒！

二心雌滔=曲

又解蟒处.•闻=堂

（口）△&破《,中，，.，a=2,c=3,医=守则%"=.心H■根—4瞰"哪宓=?Q玄=

由

资翩品比4=贵.糕&4-I=偿

一.;?..•«一，

-菰或工®—就!.=离曲汶闻"烂部/一；的成1盛1如•龙=■-^

【考点】正弦定理

【解析】【分析】（I）由正弦定理，得到A.B关系，代入等式，解出重豆（口）由余弦定理，得至Ub,

再由正弦定理得到dtttd,从而c礴&感ii）a•，西雕m出由二倍角公式算出.

12.（2017♦北京卷）在△ABC中，ZA=60°,C=：^a.（13分）

（1）求sinC的值;

（2）若a=7,求△ABC的面积.

【答案】⑴解：NA=60。，c=套,

由正弦定理可得sinC=：i|sinA=含x；*：

(2)解：a=7,则c=3,

C<A,

由（1）可得cosC=孑1,

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=噂/"：^!X

SAABC=令acsinB二令x7x3x

【考点】正弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数，三角形中的几何计算

【解析】【分析】（1.）根据正弦定理即可求出答案，

（2.）根据同角的三角函数的关系求出cosC,再根据两角和正弦公式求出sinB,根据面积公式计算即可.

13.（2013•新课标H）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.

（1）求B；

（2）若b=2,求△ABC面积的最大值.

【答案】(1)解：由己知及正弦定理得：sinA二sinBcosC+sinBsinC①,

/sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC(2),

e.sinB=cosB,即tanB=l,

「B为三角形的内角，

(2)解:SAABC=—acsinB=ac,

笠4

由已知及余弦定理得：4=a2+c2-2accos->2ac-2acx。色,

43

4

整理得：ac<--=,当且仅当a=c时，等号成立，

为一毒

则△ABC面积的最大值为Nx也x-x石x(2+石)=虑+L

【考点】正弦定理，余弦定理

【解析】【分析】(1)已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，

求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；(2)利用三角形的

面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinB的值代入，得到三角形面积最大即为ac最大，利用余弦定理

列出关系式，再利用基本不等式求出ac的最大值，即可得到面积的最大值.

14.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且后(a-ccosB)=bsinC.

(1)求角C的大小；

(2)若c=2,则当a,b分别取何值时，AABC的面积取得最大值，并求出其最大值.

【答案】(1)解：&(a-ccosB)=bsinC,由正弦定理可得：有(sinA-sinCcosB)=sinBsinC,

化为：修[sin(B+C)-sinCcosB]=垂sinBcosC=sinBsinC,

sinB^O,

tanC=6,

•・,CE(0,n),

c旗

C=—.

作

(2)解：c=2,C=:，由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcos

4>2ab-ab=ab>0,当且仅当a=b=2时取等号.

皱.用L

又SAABC=sin—=±Labs币,当且仅当a=b=2时取等号

工著4"

【考点】正弦定理，余弦定理

【解析】【分析】⑴袤"(a-ccosB)=bsinC,由正弦定理可得：(sinA-sinCcosB)=sinBsinC,由

sinBHO,展开可得tanC二志：即可得出.⑵由余弦定理可得：c?=a2+b2-2abcos套，再利用基本不等

式的性质可得：4>ab>0,SAABC=*sin率也.ab即可得出.

H’.鱼H

15.已知函数f(x)=cos2x+2^sinxcosx-sin2x.

(1)求f(x)的最小正周期和值域;

(2)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若於孝匕之且a2=bc,试判断△ABC的形状.

>.2.J

【答案】(1)解：fg;礴带密打赢幽索留崎-域泡治

•6或蒯窗略海裹阖

=既或血;舐朴―,f

T=R,f(x)G[-2,2]

(2)解：由科二j=&,有豺艺T.J虫静"尸鼠

'飞加\号

血血;.④外1；=口.

k瓶.

0<A<n,

=即Js=-.

解怎当

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA及a2=bc,

(b-c)2=0

b=c,

wr

.3=贮=巴.

3;

.,.AABC为等边三角形.

【考点】函数y=Asin(3X+。)的图象变换，余弦定理的应用

【解析】【分析】(1)通过倍角公式和两角和公式，对函数f(x)进行化简.进而求出最小正周期和值

域；(2)通过代密%日求出A的值.在根据余弦定理及a2=bc,进而通过b=c求出B,C的值.

16.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足a2+b?=2c2,sinAcosB=2cosAsinB.

（1）求cosC的值；

（2）若谭=需，求△ABC的面积.

【答案】（1）解：sinAcosB=2cosAsinB,

（2）解：由

署=：4£=梦6篝考

【考点】正弦定理，余弦定理

【解析】【分析】（1）利用余弦定理即可得出；（2）利用（1）、三角形面积计算公式即可得出.

17.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，且c2=a?+b2-ab.

（1）求角C的值;

（2）若b=2,AABC的面积S=：号此,求a的值.

【答案】解：（1）c2=a2+b2-ab,cosC=；的+妙叱鼻

’2戒r2

,■10°<C<180°,/.C=60°；

(2)b=2,△ABC的面积5=;理汇,

整,=*a孕血血，

解得a=3.

【考点】余弦定理

【解析】【分析】（1）利用余弦定理，可求角c的值;

（2）利用三角形的面积公式，可求a的值.

18.在△ABC中，内角A、B、C对应的三边长分别为a,b,c,且满足c（acosB-*b）=a?-b?.求角A；

【答案】解：「cosB=；"弁热，c（acosB-：ib）=a2-b2

a2+c2-b2-bc=2a2-2b2,即a2=b2+c2-be,

「a2=b2+c2-2bccosA,

cosA=看，

则A嗓

【考点】余弦定理

【解析】【分析】利用余弦定理表示出cosB,代入已知等式整理后再利用余弦定理表示求出cosA的值,

即可确定出A的度数；

19AABC中的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若施=4c,B=2C

（I）求cosB；

（口）若c=5,点D为边BC上一点，且BD=6,求△ADC的面积.

【答案】解：（I）由题意得B=2C,则sinB二sin2c=2sinCcosC,

又出所以cosC=

所以cosB=cos2C=2cos2C-1=-；

■氨q

（H）因为c=5,、底b=4c,所以b=4器

由余弦定理得，b2=a2+c2-2accosB

当

则80=a2+25-2x菅然二海:a,

鼻

化简得,a2-6a-55=0,

解得a=ll或a=-5（舍去），

由BD=6得，CD=5,

由cosC=季得sinC=五7西=4,

告S

3......................

所以4ADC的面积S=菽,躁施龈或i级盗

笈

=，闻§或可病落在=10.

既§

【考点】余弦定理

【解析】【分析】（I）由二倍角的正弦公式、正弦定理求出cosC,由二倍角的余弦公式变形求出cosB

的值：（II）由题意求出b的值，由余弦定理列出方程，化简后求出a的值，由条件求出CD的值，由cosC

和平方关系求出sinC,代入三角形的面积公式求出小ADC的面积.

20.在锐角△ABC中，a、b、c分别为NA、NB、NC所对的边，且，'a=2csinA.

（1）确定NC的大小；

（2）若c=哲,求△ABC周长的取值范围.

【答案】⑴解：由护=2csinA变形得：；=

又正弦定理得：-=吧2

&阚蜀

际

sinA*0,sinC=,

3.

•••AABC是锐角三角形，

ZC=—

整

（2）解：；c=&sinC=盘,

既

即a=2sinA,b=2sinB,又A+B=R-C=——■,即B=—-A,

曾驾

a+b+c=2(sinA+sinB)+#

=2[sinA+sin(-A)]+6

曾

。.八•笈究人*究-A\总

=2(sinA+sm——cosA-cos——smA)+工专

兽兽N

=3sinA+有cosA+布

f—,熊.斑、[―

=26(zsmAcos—+cosAsm-)+0

=26sin(A+*)+生，

•・.△ABC是锐角三角形,

飘,A）旗

—<ZA<—,

畀n3*d

则AABC周长的取值范围是(3+6，3召］

【考点】正弦函数的定义域和值域，正弦定理

【解析】【分析】(1)把已知的等式变形为：*=二系，并利用正弦定理化简，根据sinA不为0,可

得出sinC的值，由三角形为锐角三角形，得出C为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；

(2)由c及sinC的值，利用正弦定理列出关系式，得到a=2sinA,b=2sinB,表示出三角形的周长，将表示

出a,b及c的值代入，由C的度数，求出A+B的度数，用A表示出B,把B也代入表示出的周长，利用

两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值整理后，提取2技再利用两角和与差的正弦函数公式

及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据A为锐角，得到A的范围，进而确定出这个角的范

围，根据正弦函数的图象与性质求出此时正弦函数的值域，即可确定出周长的范围.

21.在4ABC中，bsinA二匹acosB.

(I)求角B的大小；

(II)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.

【答案】

解：(I)在4ABC中，:bsinA二:赤'acosB,

由正弦定理可得sinBsinA二击sinAcosB,

故有tanB=：宓’,

(II),/sinC=2sinA,/.c=2a,

由余弦定理b2=a2+c2-2ac*cosB,即9=a2+4a2-2a・2a・cos令,

解得a=恋，c=2a=2标.

【考点】正弦定理

【解析】【分析】(I)在△ABC中，由条件利用正弦定理求得tanB=A，由此求得B的值.

(H)由条件利用正弦定理得c=2a,再由余弦定理b?=a?+c2-2ac・cosB,求得a的值，可得c=2a的值，求

解即可.

22.在△ABC中，角A、B、C对边分别为a,b,c,已知b2=ac,且a?-c?二ac-be.

求NA的大小.

【答案】解：:b?二ac,且a?-c2=ac-be,a?-c2=b2-be,

•琴+左工流1

一^^二号’

,/AG(0,n),「.A喙

【考点】余弦定理

【解析】【分析】由b2=ac,且a?-c2=ac-be,a2-c2=b2-be,利用余弦定理可得;

23.如图，在四边形ACBD中，瓯工算初•=一善，且AABC为正三角形.

(I)求COSZBAD的值；

(II)若CD=4,专粉=塞，求AB和AD的长.

【答案】解：(I)因为频•溜仁埼=一击，NCADW(0,n)

必

所以，斗墀

所以COSZBAD=燧M：混短皤一堂1.勰S闺算源冽邮电T.S秘;连募就涉崂=[MISSINGIMAGE:,]=

(II)设AB=AC=BC=x,AD=y,在△ACD和△ABD中由余弦定理得

脑婷+厘炉一'K；".越磁$谭低毓?=算疗

!.@或4.就/一飞翩”及,溪就点泪=.密''

[口4]道4■点**,=J起

代入得

I必T.磔一,冬凳色=孽

即胸=护的=/>

【考点】余弦定理的应用，两角和与差的余弦函数

【解析】【分析】（I）根据siM第cos2窗1可得出sin机又因为重点烝"居於部"翁，根据两角差的

余弦公式cos做-或）=cos孤cos^+sinMin搀展开；（II）根据余弦定理a2=b2+c2-2bccosA列出关于AB与AD

的方程，联立组成方程组即可求解.

24.已知△ABC的内角AB,C所对的边分别为a,b,c且a+2c=2bcosA.

（1）求角B的大小；

（2）若b=2缶,,a+c=4,求△ABC的面积.

【答案】（1）解：因为a+2c=2bcosA,

由正弦定理，得sinA+2sinC=2sinBcosA,

因为C=n-（A+B）,

所以sinA+2sin（A+B）=2sinBcosA.

即以sinA+2sinAcosB+2cosAsinB=2sinBcosA,

所以sinA（l+2cosB）=0,

因为sinA#0,

所以cosB=-:3,

又因为0<BVn,

所以B=:事

（2）解：由余弦定理a2+c2-2accosB=b2及b=2赤得，a2+c2+ac=12,

即（a+c）2-ac=12,

又因为a+c=4,

所以ac=4,

所以SAABC=gacsinB=gx4x£=区

【考点】三角形中的几何计算

【解析】【分析】（1）在△ABC中利用正弦定理整理已知式子可得cosB的值，根据内角的取值范围得到

B。（2）利用已知根据余弦定理可推导出ac=4,进而得到三角形的面积。

25.在馥:中，角W,琼，售:所对的边分别为理，及窗'，若施凰=匹域超，窗'=蓝，

3=案”.

（1）求♦的值;

（2）求山i贸区的面积.

【答案】（1）解.：由正弦定理得：：鬻=%=恭户屈，

由余弦定理得：苛=原+承—？然&蟋B，即/■=嘀｝+*.&一^^卜［»金“£，

*,*必一豳4】糕=：◎，解得爸=礴食=3

(2)解：当金=蓝时，件=顿齐，所以*=§跄滥讪债=到袤'，

当我=岁时，此=嘘，所以£=号露

【考点】正弦定理，正弦定理的应用，余弦定理，余弦定理的应用

【解析】【分析】(1)由正弦定理可以得到a、b之间的关系，由余弦定理可以得到b2=a2+c2-2accos

B,由此可以解出b的值。

(2)由第一小问可得b=6或b=3,分两种情况进行计算，求出三角形面积。

26.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c二acosB+bsinA.

(1)求A；

(2)若a=2,b=c,求△ABC的面积.

【答案】(1)解：由c二acosB+bsinA及正弦定理可得：sinC=sinAcosB+sinBsinA.

在^ABC中，C=R-A-B,

所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB.

由以上两式得sinA=cosA,即tanA=l,...

又A£(0,n),

所以A=—.

4

(2)解：由于SAABC=—bcsinA=be,

由a=2,及余弦定理得：4=b2+c2-2bccosB=b2+c2-离谑■:

因为b=c,

即日止&4银瓜

所以4=2b2-6b2

故aABC的面积S=

【考点】正弦定理

【解析】【分析】(1)由已知及正弦定理，三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式，同角三角函数

基本关系式可得：tanA=l,结合范围AW(0,n),可求A的值.(2)由三角形面积公式及余弦定理可求

b2的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解.

27.已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c,H.cosBcosC-sinBsinC-sr!.

(1)求A；

(2)若a=2宓'，b+c=4求be的值，并求AABC的面积.

【答案】解：(1).:A、B、C为△ABC的三个内角，且cosBcosC-sinBsinC=cos(B+C)=i

.B+C=宜:，

.盍

则人=等；

(2);a=2标\b+c=4,cosA=-,

由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc=(b+c)2-be,即12=16-be,

解得：bc=4,

贝」:

ISAABc=^bcsinA=^x4x.^£i=^.

【考点】两角和与差的余弦函数，余弦定理

【解析】【分析】(1)已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出B+C的度数，即可确定

出A的度数；

(2)利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a,b+c以及cosA的值代入求出be

的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积.

28.已知顶点在单位圆上的山皤篦中,角通通£的对边分别为和4勒且切隆卫=域统密4松海蟾;.

(1)求疑!扁4的值；

(2)若濯=4,求乩■算的面积.

【答案】(1)解：因为3f附:觥卫=域:es嘘T：bF：Q球;，

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所以•轰而岛,•篁愈=dtt&Mu

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故答案为：/涕离=

(2)解：据⑴求解知=又金㈤，,艮2―近，

又据题设知=得僚=%处岛=标・

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