南京市南京外国语仙林分校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试卷

24/242023~2024学年南京外国语学校仙林分校九年级上学期10月月考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1.下列方程中，是一元二次方程的是A． B． C． D．2.用配方法解方程时，配方结果正确的是A． B． C． D．3．抛掷一枚质地均匀的硬币2次“朝上的面不同”的概率是A． B． C． D．4．下列说法中，正确的是A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．同弧所对的圆周角相等C．长度相等的弧是等弧D．三点确定一个圆 5．小明根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：平均数中位数众数方差8.58.38.10.15如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差6．如图，的内切圆（圆心为点与各边分别相切于点，，，连接，，．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法不正确的是（）．射线一定过点．点是三条中线的交点．若是等边三角形，则．点是三条边的垂直平分线的交点二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．已知的直径为，，则点在（填“上”、“内”或“外”．8．某种药品经过两次降价，由每盒80元调至64元，若设平均每次降价的百分率为，则由题意可列方程为．9.一元二次方程的两个实数根分别为，则的值为10．如果关于的方程没有实数根，那么实数的取值范围是．11．如图，在中，是直径，弦，垂足为，连接．若的半径为，，则．12．如图，、、是的切线，切点分别为、、．若，，则的长是．13．如图，是的外接圆，，是的中点，连接并延长交于点，连接，则的度数为14．如图，在平面直角坐标系中，一个圆经过，，三点，则该圆的圆心的坐标是．15．已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为．16．如图，正方形的边长为2，是边的中点，是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，它的长是．三、解答题（本大题共10小题，共88分）17.（8分）解下列一元二次方程（1）；（2）18．（8分）已知关于的方程．（1）求证：不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为，求它的另一个根和的值．19．（8分）如图，在中，弦，相交于点，．（1）求证；（2）连接，若，则的度数为．20．（10分）某商店将进价为10元的商品按每件15元售出，每天可售出460件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少20件．（1）若售价提价1元，此时单件利润为元，销售量为件；（2）应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为2720元？21．（8分）如图，是的切线，为切点，点、、在上，且．（1）求证：是的切线；（2）若，则的度数为．22．（8分）“五一”假期期间，南京旅游市场强劲复苏．甲、乙两位游客准备在5月3日各自游玩玄武湖、鸡鸣寺、台城这三处景点，他们游玩每个景点的顺序是随机的．（1）求甲游玩的第一处景点是鸡鸣寺的概率；（2）甲、乙以相同顺序游玩这三处景点的概率是．23．（10分）某超市对近四周西红柿和黄瓜的销售情况进行了统计，并将销售单价和销售量分别制成如下统计图．（1）这四周西红柿销售单价的众数为，黄瓜销售单价的中位数为；（2）分别求这四周西红柿、黄瓜周销量的方差；（3）结合上述两幅统计图写出一条正确的结论．24．（6分）如图，点在直线上，点在直线外，作经过，两点且与相切．25．（10分）如图，点在外，为的中点，以点为圆心，以为半径画弧，交于点，，连接；（1）判断与的位置关系，并说明理由；（2）连接，若，的半径为3，求的长．26．（12分）【问题提出】（1）如图1，在四边形中，，，．求的值．小明提供了他研究这个问题的思路：延长至点，使得，连接．可以构造三角形全等，结合勾股定理便可解决这个问题．【问题解决】（2）如图2，有一个直径为的圆形配件，现需在该配件上切割出一个四边形孔洞，要求，，，求四边形面积的最小值．【答案解析】2023~2024学年南京外国语学校仙林分校九年级上学期10月月考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1.下列方程中，是一元二次方程的是A． B． C． D．【分析】只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是，是常数且．【解答】解：．含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意；．是一元一次方程，故本选项符合题意；．含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意；．是一元一次方程的定义，故本选项不合题意；故选：．【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．2.用配方法解方程时，配方结果正确的是A． B． C． D．【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【解答】解：，，，即，故选：．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3．抛掷一枚质地均匀的硬币2次“朝上的面不同”的概率是A． B． C． D．【分析】画树状图，共有4个等可能的结果，“朝上的面不同”的结果有2个，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如图：共有4个等可能的结果，“朝上的面不同”的结果有2个，“朝上的面不同”的概率为，故选：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．4．下列说法中，正确的是A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．同弧所对的圆周角相等C．长度相等的弧是等弧D．三点确定一个圆 【分析】根据等弧的概念、确定圆的条件、切线的判断定理、圆周角定理判断即可．【解答】解：A、经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线，故本选项说法不正确，不符合题意；B、同弧所对的圆周角相等，本选项说法正确，符合题意；C、能够互相重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故本选项说法不正确，不符合题意；D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法不正确，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是等弧的概念、确定圆的条件、切线的判断定理、圆周角定理，正确理解相关的概念和定理是解题的关键．5．小明根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：平均数中位数众数方差8.58.38.10.15如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数不发生变化；故选：．【点评】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．6．如图，的内切圆（圆心为点与各边分别相切于点，，，连接，，．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法不正确的是（）．射线一定过点．点是三条中线的交点．若是等边三角形，则．点是三条边的垂直平分线的交点【分析】根据基本尺规作图、三角形的内心的定义、外心的定义、等边三角形的性质判断即可．【解答】解：圆是的内切圆，点是三个内角平分线的交点，由尺规作图可知，射线是的平分线，射线一定过点，故选项说法正确；点是三边垂直平分线的交点，故选项说法错误；选项说法正确；是等边三角形，点、分别为、的中点，是的中位线，，故选项说法正确；故答案为：B．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、内切圆与内心，掌握三角形的外心和内心的定义、基本尺规作图是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．已知的直径为，，则点在（填“上”、“内”或“外”．【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．【解答】解：的直径为，的半径为，，大于的半径，点在外．故答案为：外．【点评】本题考查了点与圆的位置关系．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．8．某种药品经过两次降价，由每盒80元调至64元，若设平均每次降价的百分率为，则由题意可列方程为．【分析】设这种药品平均每次降价的百分率为，根据该药品的原价及两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程．【解答】解：设平均每次降价的百分率是，则第二次降价后的价格为元，根据题意得：，故答案为：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9.一元二次方程的两个实数根分别为，则的值为【解答】由根与系数的关系可知：，，所以故答案为-210．如果关于的方程没有实数根，那么实数的取值范围是．【分析】根据负数没有平方根，即可解答．【解答】解：如果关于的方程没有实数根，那么实数的取值范围是：，故答案为：．【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握负数没有平方根是解题的关键．11．如图，在中，是直径，弦，垂足为，连接．若的半径为，，则．【分析】如图，连接．利用垂径定理证明，解直角三角形求出，可得结论．【解答】解：如图，连接．是直径，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形；能根据垂径定理求出和解直角三角形求出长是解此题的关键，难度适中．12．如图，、、是的切线，切点分别为、、．若，，则的长是．【分析】由、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长．【解答】解：、为的切线，，、为的切线，，．故答案为：3．【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．13．如图，是的外接圆，，是的中点，连接并延长交于点，连接，则的度数为【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得到，根据垂径定理得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，即可求出的度数．【解答】解：连接，四边形是圆内接四边形，，，，是边的中点，，，，故【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，根据圆周角定理求出的度数、垂径定理证得是解决问题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，一个圆经过，，三点，则该圆的圆心的坐标是．【分析】由题意圆心在线段的垂直平分线上，设圆心，根据半径相等构建方程求解即可．【解答】解：由题意圆心在线段的垂直平分线上，设圆心，则有，解得，圆心，故答案为：．【点评】本题考查圆周角定理，坐标与图形的性质，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15．已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为．【分析】先求出边长为2的正三角形的外接圆的半径，再求出其面积即可．【解答】解：连接、，过作于，是边长为4的等边三角形，，，，，，能够完全覆盖这个正三角形的最小圆的面积为：，故答案为：．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，掌握正三角形的性质、利用数形结合求解是解答此题的关键．16．如图，正方形的边长为2，是边的中点，是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，它的长是．【分析】根据正方形的性质和勾股定理可得的长，再由翻折知，得点在以为圆心，2为半径的圆上运动，可知当点、、三点共线时，最小．【解答】解：连接，正方形的边长为2，，，点是边的中点，，，将沿翻折得到，，点在以为圆心，2为半径的圆上运动，当点、、三点共线时，最小，．故答案为：．【点评】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，确定当点、、三点共线时，最小是解题的关键．三、解答题17.（8分）解下列一元二次方程（1）；（2）【解答】（1），；解得，（2）即解得，18．（8分）已知关于的方程．（1）求证：不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为，求它的另一个根和的值．【分析】（1）根据△，即可得证；（2）将代入方程，可得的值，再根据根与系数的关系，可得，即可求出另一个根．【解答】（1）证明：△，不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：该方程的一个根为，，解得，设另一个根为，则有，解得，它的另一个根为，．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解等，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．19．（8分）如图，在中，弦，相交于点，．（1）求证；（2）连接，若，则的度数为．【分析】（1）根据求出，再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可；（2）根据圆周角定理得出，根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可．【解答】（1）证明：，，，；（2）连接，，，，，，，故答案为：140．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键．20．（10分）某商店将进价为10元的商品按每件15元售出，每天可售出460件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少20件．（1）若售价提价1元，此时单件利润为元，销售量为件；（2）应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为2720元？【分析】（1）根据单件利润提升价格，可求出售价提价1元时的单件利润，再利用日销售量提升价格，即可求出售价提升1元的销售量；（2）设每件商品应提高元，则每天可售出件，根据每天的利润单件利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）（元，（件．故答案为：6；420．（2）设每件商品应提高元，则每天可售出件，根据题意得：，整理得：，，或18.5．答：应将每件售价定为18元或18.5元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．（8分）如图，是的切线，为切点，点、、在上，且．（1）求证：是的切线；（2）若，则的度数为．【分析】（1）连接，，，由切线的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；（2）连接，由圆内接四边形的性质可得出答案．【解答】（1）证明：连接，，，是的切线，为切点，，在和中，，，，，，，且过半径的外端，是的切线．（2）解：连接，由（1）可知，，在圆内接四边形中，，．故答案为：220．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，切线的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．22．（8分）“五一”假期期间，南京旅游市场强劲复苏．甲、乙两位游客准备在5月3日各自游玩玄武湖、鸡鸣寺、台城这三处景点，他们游玩每个景点的顺序是随机的．（1）求甲游玩的第一处景点是鸡鸣寺的概率；（2）甲、乙以相同顺序游玩这三处景点的概率是．【分析】（1）将玄武湖、鸡鸣寺、台城这三处景点分别记为，，．罗列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；（2）将，，、，，、，，、，，、，，、，，分别记作①、②、③、④、⑤、⑥，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）将玄武湖、鸡鸣寺、台城这三处景点分别记为，，．甲所有可能的游玩顺序有：，，、，，、，，、，，、，，、，，，共有6种结果，它们出现的可能性相同．满足甲游客最先去鸡鸣寺（记为事件的结果有2种，即，，、，，，所以；（2）将，，、，，、，，、，，、，，、，，分别记作①、②、③、④、⑤、⑥，列表如下：①②③④⑤⑥①①，①②，①③，①④，①⑤，①⑥，①②①，②②，②③，②④，②⑤，②⑥，②③①，③②，③③，③④，③⑤，③⑥，③④①，④②，④③，④④，④⑤，④⑥，④⑤①，⑤②，⑤③，⑤④，⑤⑤，⑤⑥，⑤⑥①，⑥②，⑥③，⑥④，⑥⑤，⑥⑥，⑥由表知，共有36种等可能结果，其中甲、乙以相同顺序游玩这三处景点的有6种结果，所以甲、乙以相同顺序游玩这三处景点的概率为，故答案为：．【点评】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．23．（10分）某超市对近四周西红柿和黄瓜的销售情况进行了统计，并将销售单价和销售量分别制成如下统计图．（1）这四周西红柿销售单价的众数为，黄瓜销售单价的中位数为；（2）分别求这四周西红柿、黄瓜周销量的方差；（3）结合上述两幅统计图写出一条正确的结论．【分析】（1）分别根据众数和中位数的定义解答即可；（2）根据方差的公式计算即可；（3）根据统计图数据解答即可．【解答】解：（1）由题意得，这四周西红柿销售单价的众数为6，黄瓜销售单价的中位数为：；故答案为：6，5.5；（2）西红柿销量的平均数，黄瓜销量的平均数，西红柿销量的方差，黄瓜销量的方差；（3）答案不唯一，如：西红柿和黄瓜的销量随着价格的减少而增加．【点评】此题考查了条形统计图，折线统计图，中位数，众数以及方差，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．24．（6分）如图，点在直线上，点在直线外，作经过，两点且与相切．【分析】过点作直线，作线段的垂直平分线，直线交于点，以为圆心，为半径作即可．【解答】解：如图，即为所求．【点评】本题考查作图复杂作图，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考