八年级数学解答题训练 (八)（含答案解析）

八年级数学解答题专题训练(8)

1.平行四边形ABC。中，对角线AC、8。相交于点0,若E、F是线段AC上的两动点，分别从A、

C两点以1cm/s的速度向C、A运动，若BD=12cm,AC=16cm.

(1)四边形OEB尸是平行四边形吗？请说明理由；

(2)当运动时间f为多少时，四边形力EB尸是矩形，直接写出答案。

2.如图，菱形4BCC,乙4=60。，AB=6,E是40的中点，尸是边A8上一个动点，以砂为直

角边作Rt^EFG,/-FEG=90°,乙EFG=60。.连接BD,设B力与尸G交于点M.

(1)①当4F=1时，求△BFM的面积；②当△BFM和△EFG相似时，求的值.

(2)连接GO,则GE+G。的最小值是；

3.如图，已知四边形A8c。是平行四边形，点C和。在x轴上，且。为坐标原点，点4(一3,3),

和点8(-12,3),连接。并延长交y轴于点D

(1)求直线4c的解析式：

(2)若点尸从C出发以2个单位/秒的速度沿x轴向右运动，同时点。从。出发，以I个单位/秒

的速度沿x轴向左运动，过点P,Q分别作x轴的垂线交射线CQ和射线0A分别于点E,F,请

猜想四边形EPQF的形状，(点P,。重合除外)，并证明你的结论.

(3)在(2)的条件下，直接写出当点尸运动多少秒时，四边形EPQF是正方形・

4.如图1,点M(-3,m)是一次函数y=x+1与反比例函数y=。0)的图像的一个交点.点P

是x轴正半轴上的一个动点，过点尸作垂直于x轴的垂线，分别交一次函数、反比例函数的图

像于点A、B,过OP的中点Q作x轴的垂线，交反比例函数的图像于点C.

图1

(1)求反比例函数解析式;

7

(2)当的面积为狎j,求点尸的坐标;

第2页，共42页

(3)在(2)的条件下，连结CO,过点B作BD〃x轴交OC于点D(如图2).若点E是直线8。上一

个动点，连结EC,EO,问是否存在点E,使得以E,C,。为顶点的三角形是直角三角形？若

存在，请直接写出E点坐标，若不存在，请说明理由.

5.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABC。的顶点C与原点0重合，点8在y轴的正半轴上，点

A在反比例函数y=£(k>0,x>0)的图像上，点D的坐标为(2,|),设AB所在直线解析式为y=

ax+b(aW0),

(1)求k的值，并根据图像直接写出不等式ax+b>5的解集；

(2)若将菱形ABC。沿x轴正方向平移机个单位，若反比例函数图像与菱形的边A。始终有交点,

则m的取值范围是_____________________;

(3)直线AB与X轴交于点P,在)，轴上有一点Q,若S44PQ=S菱礴BCO，求点。的坐标.

6.如图①，点0是菱形ABC。对角线的交点，己知菱形的边长为6,2.ABC=60°.

图①

(1)求8。的长；

(2)如图②，点E是菱形边上的动点，连结E。并延长交对边于点G,将射线OE绕点。逆时针

旋转30。交菱形于点F,延长FO交对边于点H.

图②

①求证：四边形EFG”是平行四边形.

②若动点E从点B出发，以每秒1个单位长度沿8c方向向点C运动，设点E运动时间为r,

当，为何值时，四边形EFG”为矩形.

7.如图1,在矩形ABCZ)中，E为边上一点，连接Z)E,0为线段OE上一点，连接。3,且/OBE=

Z-CDE=a.

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(1)求4B0E的大小(用含a的式子表示);

(2)如图2,。为OE的中点，延长B。交C。于点巳连接A。，作点C关于力E的对称点C',作

C'G1AO,EH1B0,求证：C'G=EH；

(3)在(2)的条件下，若EC=5,C'G=2同,求C。的长.

8.如图1,已知直线AB：y=x+8与x轴，y轴分别交于A,B两点，点C与点A关于)，轴对称,

连接BC.

(1)判断AABC的形状，并证明；

(2)已知点F(2,0)，点P是线段AB上一点，过点P作PD1x轴于点Q,作PE〃x轴交BC于点E,

交y轴于点G,当PD+PE=13时，在)，轴上找一点Q,连接尸Q,FQ,求|PQ-尸Q|的最大值

和此时点。的坐标；

(3)如图2,在(2)的结论下，将APBG绕点B逆时针旋转45。至△P'BG',将△P'BG'沿射线BC方

向平移，设平移后的△P'BG'为连接8"。，P"0,当△OB"P"是以。夕'为腰的等腰三角

形时，求△P'BG'的平移距离d.

9.如图1,已知直线AC：y=-当x+瓦和直线A8：y=kx+/?2交于x轴上一点A,且分别交y

(1)求上的值；

(2)如图1,点。是直线AB上一点，且在x轴上方，当SMCD=9次时，在线段AC上取一点F,

使得CF=g凡4,点"，N分别为x轴、轴上的动点，连接NF,将△CN尸沿NF翻折至△CWF,

求MO+MC'的最小值；

(3)如图2,H,P分别为射线AC,AO上的动点，连接PH,PC是否存在这样的点尸，使得△PCH

为等腰三角形，AP/M为直角三角形同时成立.请直接写出满足条件的点P坐标.

10.如图，在△ABC中，4ABe=30。，以AC为边作等边A4C0,连接8D

(2)如图2,若乙4cB<90。，点E为8。中点，连接AE、CE,且4E1CE,延长BC至点尸，连

接A凡使得NF=30°,求证：AF=CE+V3AE.

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11.四边形ABC。是边长为8的正方形，点E在边4。所在直线上，连接CE,以CE为边,作正方

形CEFG(点。，点尸在直线CE的同侧)，连接

(1)如图1,当点E与点A重合时，请直接写出BF的长;

(2)如图2,当点E在线段AD上时，AE=2；

①求点F到的距离；

②求B尸的长；

12.己知：如图，在正方形ABC。中，E是对角线4c上一点，且与A、C不重合，连BE、DE.

(1)求证：△CDESACBE-,

(2)在线段BC上取凡使EF=E8,

求证：①OEJLEF；

②CD+CF=V2CE;

(3)若在BC的延长线上取F,使EF=EB,试探究C£＞、CF、CE之间的数量关系.

13.如图，在正方形ABCD中，E,尸分别为CO,AO上的点，且DF=EC,AE与BF交于点、P.

。C0EC

AB

图1图2

(1)如图1,求证：AAPB为直角三角形.

(2)如图2,。为对角线的交点，80、AC分别与AE、8F交于点G、H,求证：△04G三△0BH.

(3)在(2)的条件下，连接0P,若4P=4,0P=VL求Q4的长.

14.在平行四边形A8C。中，点。是对角线2。的中点，点E在边2c上，E。的延长线与边AQ交

于点F,连接BF、DE,如图1.

AFDAFD

BECBEC

图1图2

(1)求证：四边形BE。/7是平行四边形;

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(2)在(1)中，若DE=DC,4CBD=45°,过点C作OE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、

H、R,如图2.

①当CD=6,CE=4时，求BE的长；

②探究8H与AF的数量关系，并给予证明.

15.如图，已知团ABC中，=90°,AB=16cm,BC=12cm,P、。是团ABC边上的两个动点,

其中点P从点A开始沿4tB方向运动，且速度为每秒1cm,点。从点B开始沿BrC->4方

向运动，且速度为每秒2cm,它们同时出发，设出发的时间为f秒.

Bp<-----ABp<------A

♦用那

(1)出发2秒后，求P。的长；

(2)当点。在边8c上运动时，出发几秒钟后，I2PQB能形成等腰三角形•

(3)当点。在边C4上运动时，直接写出能使回BCQ成为等腰三角形的运动时间.

16.某商场欲购进果汁饮料和碳酸饮料共50箱，果汁饮料每箱进价为55元，售价为63元；碳酸饮

料每箱进价为36元，售价为42元；设购进果汁饮料x箱。为正整数)，且所购进的两种饮料能

全部卖出，获得的总利润为W元(注：总利润=总售价-总进价)，

(1)设商场购进碳酸饮料y箱，直接写出y与x的函数关系式；

(2)求总利润W关于尤的函数关系式;

(3)如果购进两种饮料的总费用不超过2000元，那么该商场如何进货才能获利最多•并求出最大

利润.

17.在平面直角坐标系中，O为坐标原点,B在x轴上，四边形OACB为平行四边形，且N40B=60。,

反比例函数y=三*>0)在第一象限内过点A,且与BC交于点F.

(1)若。4=10,求反比例函数的解析式；

(2)若F为3c的中点，且SA40F=24g，求OA长及点C坐标；

(3)在(2)的条件下，过点尸作EF〃OB交OA于点E(如图2),若点P是直线E尸上一个动点，连

结，PA,PO,问是否存在点P,使得以P,A,O三点构成的三角形是直角三角形？若存在，

请指出这样的尸点有几个，并直接写出其中二个P点坐标；若不存在，请说明理由.

18.如图，在。A5CC中，对角线AC,8。相交于点O,AB1AC,AB=3cm,8。=551.点/>从人

点出发沿A£>方向匀速运动，速度为lcm/s,连接P。并延长交BC于点Q.设运动时间为t(s)(0<

t<5)

(1)当f为何值时，四边形A8QP是平行四边形？

(2)当t=3时四边形OQC。的面积为多少？

(3)是否存在r的值，使A4QP为等腰三角形？若存在，请直接写出f的值；若不存在，请说明

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理由.

19.如图，直线小y=-3x+3交y轴于C,与x轴交于点。，直线。经过点4(4,0),且直线5"交

于点E(2,m).

(1)求m的值和直线，2的函数表达式；

(2)直线已在第一象限内的部分上有一点E，且AADE的面积是△力DB面积的一半，求出点E的

坐标，并在x轴上找一点P,使得CP+PE的值最小，求出这个最小值；

(3)若点Q为)，轴上一点，且ABOQ为等腰三角形，请直接写出点。的坐标；

20.等腰直角三角形OAB中，40AB=90。，。4=4B,点。为0A中点，DC10B,垂足为C,连

接点M为线段BD中点，连接AM、CM,如图①.

D,DC

图①图②

(1)求证：AM=CM；

(2)将图①中的AOC。绕点。逆时针旋转90。，连接BO,点M为线段8。中点，连接AM、CM、

OM,如图②.

①求证：AM=CM,AM1CM；

②若4B=4,求AAOM的面积.

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答案与解析

1.答案：解：(1)设运动时间为r,

由题意得：AE=CF=t.

•・・四边形ABCD是平行四边形，

・•・A0—CO,BO=DO,

・•・EO=FO,

・•・四边形OE8尸是平行四边形；

(2)•••AO=CO=-AC=8cm,BO=DO=-BD=6cm,

v722

.♦•当OE=OB时，即4。-AE=B。时，8-t=6,

此时t=2,或如图2当。F=OB时，即t-8=6,此时t=14.

.•.当t=2s或14s时，四边形OE8F是矩形.

解析：本题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定.矩形是对角线相等的平行四边形.

(1)由平行四边形ABCQ的对角线互相平分得到AO=C。，BO=Z)0：由点E、F的运动速度、时间

都相等可以得到4E=CF,则E。=F0,属于对角线互相平分的四边形EBFD是平行四边形；

(2)矩形的对角线相等，由此可以得到EF=BD,所以易求，的值.

2.答案：解：(1)①•••四边形4BCD是菱形，44=60。，AB=6,

是等边三角形，

・•・Z-A—Z,ABD=60°,

-AB=6,AF=1,E是4。的中点，

・•・BF=5,AE=DE=-AD=3

2

v(EFB=Z.EFG+乙BFM=ZJ1+ZJ1EF,

・•・Z.AEF=乙BFM,

・••△AEF^LBFM,

,A.E~~一3

••BF-5’

...必空="Y=2,

S^BFM\BF)25

过点产作FG1AD于G,

vZ.A=60°,AF=1,

FG-AF-sinA=―,

2

•••ShAEF=\AE.FG=¥，

c_37325_250

'^ABFM=_XV=~YT'

②当△EFG相似，

又MAEFfBFM,

△AEF^i^FGE相似，

当△力EF—FGE时，Z.AEF=Z.FGB=30°,

13

AF=-AE=-,

22

39

・・・BF=6—々=二

22

19

・•・BM=-BF=

当△4EF〜△FEG时，Z-AEF=Z-FEG=90°,此时产和8重合，4BF"不存在.

故此情况不成立.

综上所述当△BFAOSEFG相似时，BM的值为

4

(2)377.

解析：【分析】

本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，含30。的直角三角形的

性质，圆周角定理，分类讨论的数学思想，轴对称-最短路线问题，勾股定理.掌握相似三角形的判

定和性质以及已知定边定对角的角的顶点一定以定边为弦的圆上时关键.

(1)①先根据菱形的性质和NA=60。得^ABD是等边三角形，再根据三角形外角的性质证明乙4EF=

4BFM,得△AEFSABFM,再求SZBFM，最后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可解答；

②分两种情况讨论：根据含30。的直角三角形的性质即可解答；

(2)连接CE,以FG为直径作圆O,,先根据等边三角形的性质得乙1BE=NOBE=30。，

再由NEGF=30。得点B在圆。上，根据圆周角定理得NFBG=90。得点G在CO在垂直平分线上,

点C和点。关于直线8G对称，当E、G、C在一条直线上时，GE+GC最小，最小值是是线段CE

的长，过E作EH1DC交CD的延长线于H,根据含30。的直角三角形的性质和勾股定理求得DH、

EH和CE的长即可解答.

【解答】

解：(1)见答案；

(2)连接CE,以FG为直径作圆O,

ABD^\LCBD是等边三角形，

E是A。的中点，

/.ABE=乙DBE=30°,

•••乙FEG=90°,乙EFG=60°,

•••Z.EGF=30°=4EBF,

.♦•点8在圆。上，

•••4FBG=90°,

.•.点G在C。在垂直平分线上，

•••点C和点。关于BP对称，

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.•・当E、G、C在一条直线上时，GE+GD最小，最小值是是线段CE的长,

过E作£771DC交CD的延长线于H,

•：DE=3,AA=4ADH=60°,

・・•哈,EH书回

在RtACEH中，由勾股定理得：CE='EH?+CH?=J(6++(甯=3/

即GE+G。的最/］、值是3位.

故答案为3位.

3.答案：解：(1)设直线AC的解析式为y=/cx+b(k70),

•••四边形ABCO是平行四边形，且点4(一3,3),和点B(—12,3),

•••C(-9,0)

.(-3k+b=3

"l-9k+b=0'

・•・直线AC的解析式为y=|x+|；

•••点A的坐标为(一3,3)

二直线OA的解析式为y=-x,

••・点Q从点O出发以1个单位/秒沿x轴向左运动,

・•・OQ=-3

•0•F(—£,t),

・•・FQ=t,

・••点P从点C出发以2个单位/秒沿x轴向右运动,

・•・CP=2tf

・・・op=_9+23

由(1)知，直线AC的解析式为y=：x+£

:.E(—9+2t,t),

・•・PE=t,

:.PE=FQ,

vFQ1%轴，PE1X轴，

/./LPQF=90°,FQ//PE,

・.・PE=FQ,

・・.四边形PMQ是平行四边形，

v乙PQF=90°,

・••平行四边形PEF。是矩形；

(3)由(2)知，PC=23OQ=t,PE=t,

PQ=OC-OQ-CP=9-t-2t=9-3t,或PQ=OQ+CP-OC=3t-9,

••♦四边形PEF。是正方形，

•••PQ=PE,

•••9—3t=(■或3t—9=3

二t=;或t=£即：点P运动：秒或g秒时，四边形EPQF是正方形.

解析：(1)利用待定系数法即可求出直线AC的解析式；

(2)先利用待定系数法求出直线OA的解析式，进而求出点E,尸坐标，即可得出PE=FQ,即可得

出结论；

(3)先分两种情况(点。在点P左侧或右侧)求出PQ,利用PE=PQ建立方程即可求出时间.

此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质和矩形，正方形的性质，解(2)

的关键是求出点E,尸的坐标，解(3)的关键是用方程的思想解决问题，是一道中等难度的题目.

4.答案：解：(1)；点时(一3,6)是一次函数、=%+1上的点

.•.点”(-3,—2)

代入反比例函数y=：(kH0),得：k=6

.••所求反比例函数解析式y=:

图1

第16页，共42页

(2)设点尸的坐标为(弭0),则点8的坐标(九，2，点A的坐标为(几九+1),点C的坐标为(去年)

16n7

•••54XBC=-(n+l--)x(n--)=-

解得叼舍去)

=4,n2=-5(

•••点P的坐标为(4,0)

(3)

^(1+^713，1),

E2(l-iVT3,|),

邑(/|)，

173

解析：本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，分类讨论思想.

(1)把点M(-3,m)代入一次函数y=x+l,求得相的值，再代入反比例函数y=:得反比例函数解析

式；

(2)设点尸的坐标为(珥0),则点8的坐标(n,9,点A的坐标为(n,n+l),点C的坐标为(会勺，

利用三角形面积公式列方程，求得〃的值即可；

(3)先确定直线。。解析式，由BD〃x轴交。。于点。知E,D,B纵坐标相同，由(2)知点B(4,|),

设。代入直线解析式求得。点坐标，设当。=。时，有〃22

(x,|),0CE(a,|),NCE900=CE+0E,

列出关于x的方程，求解即可得到点E的坐标；当NCOE=90。时，WfC2=OC2+OE2,列出关于

x的方程，求解即可得到点E的坐标；当NEC。=90。时，^OE2=OC2+CE2,列出关于x的方程，

求解即可得到点E的坐标即可.

【解答】

解：(1)见答案；

(2)见答案;

(3)•••P(4,0),。点为OP的中点，CQ1x轴，

••.C点横坐标为2,

••・C点在反比例函数y=:的图象上，

・•・C点纵坐标为y=3,

即C(2,3),

直线OC的解析式为y=gx,

•••BD11x轴交。C于点。，

-.E,D,8纵坐标相同，

・・•点B(4,|),

••・设D(W),贝岭=尹，

解得％=1,

3

设E(a,|),当乙CEO=90。时，有OC?=CE2+OE2,

则“22+32『=J

(2-a)2+(3一|

4a2-8a-9=0.

解得a=l±£g,

•••邑(：；

1+g,|),F2(l-iV13,|)

当/COE=90。时,WCE2=OC2+OE2,

则J(2-a)2+(3-1)2_________2

—(V22+32)+

解得Q=_：,

4

••/J沸；

第18页，共42页

当4EC0=90°时，WOF2=OC2+CE2,

I----------------212

J(2_a)2+(3-|)+(日工可丁，

-4a+17=0,

解得a=g

173

•/(")，

综上,E点坐标为Ei(l+gg,|),F2(l-iV13,|),%(一„)'EW，》

5.答案：解：(1)延长4。交x轴于尸，由题意得轴，

•・•点。的坐标为(2,|),

3

.・・OF=2,DF=

2

OD=OB=

2

5

.•*AD=-

2

.••点A坐标为(2,4),点B坐标为(0,|),

二k=xy=2x4=8,

由图象得解集：%>2

(2)0<m<~

(3)如图：

•••点A坐标为(2,4),点B坐标为(0,|),

•••AB所在直线解析式为：y=|x+|,

•.・直线AB与x轴交于点P,

•・•点尸的坐标为(一三,0),

设点Q的坐标为：(0,q),

VS

^APQ~S菱形ABCD，

施Tx谭+2)=2x£

•••点Q的坐标为(0,金)或(0,》.

OO

解析：【分析】

本题考查了反比例函数的综合应用，菱形的性质，坐标与图形的变化-平移，三角形面积等知识，

掌握相关知识并能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键.

(1)根据菱形的性质和。的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可；

(2)根据反比例函数图像与菱形的边AO始终有交点，可知A和。可能落在反比例函数的图象上，根

据平移求出即可；

(3)根据菱形的顶点A、8的坐标可求出直线AB的解析式，进而确定P点的坐标，再根据SZ4PQ=

S菱形ABCD，即可求出。点的坐标•

【解答】

解：(1)见答案；

(2)将菱形A8CQ沿x轴正方向平移m个单位，使得点。落在函数y=^(x>0)的图象D'点处，

第20页，共42页

.••点。'的坐标为(2+zn,|),

•••点。'在y=:的图象上，

38

・•・-=--,

22+X

解得：m=^,

•••0<m<y;

(3)见答案.

6.答案：解：(1)•.•菱形ABCO中，AABC=60°；

图①

AC}.BD,N4B0=30°,

在RtzMB。中，^ABO=30°,

AO--AB=3,BO=y/3AO=3>/3»

BD=2BO=6V3;

(2)①•••。是菱形A8CD对角线的交点，菱形是中心对称图形,

OE=OG,OF=OH,

四边形EFG”是平行四边形；

②的当点尸在边8c上时，如图所示，易得。E=OF,

过点。作OM1CB于点M,过点E作EN1BD于点、N,

v乙EOF=30°,

•••Z.EOM=Z.FOM=15°,

vZ.ONB=90°,

4MOB=90°,乙NOE=45°,

EN1BD

ONE是等腰Rr三角形，△BNE是有一个角为30。的直角三角形

设ON=NE=x,则BN=V3x，

BO=BN+NO=y[3x+x=(V3+l)x=3痘,

解得：x=

:.BE=2x=9—3-/3»t=9—3>/3;

回)当点尸在边CD上时，如图所示，止匕时NEOC=NFOC=15。，

乙EOB=75°,

v乙OBE=30°,

乙OEB=75°,

.•.△OBE是等腰三角形，

•••BE=BO=3我，t=3>/3.

综上所述，t=9-3v5或1=3聒.

解析：本题考查四边形综合题、菱形的性质、矩形的性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定

和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

(1)首先根据菱形的性质证得4C1BD,4480=30。，然后根据含30。得直角三角形的性质求出AO

的长，再根据勾股定理求出OB的长，最后通过BC=28。即可求出8。的长；

(2)①根据菱形是中心对称图形，证得OE=OG,OH=OF,即可证明四边形EFGH是平行四边形；

②分两种情形画出图形，当点尸在边BC上时，四边形EFGH是矩形，过点。作0MJ.C8于点

M,过点E作EN1BD于点N,构造等腰直角三角形ONE和含30。得直角三角形8NE,并设ON=NE=

x,锐角三角函数的定义求出BN=百无，然后列出关于x的方程，解方程求出NE的长，最后根据30。

角所对的边等于斜边的一半即可求出BE的长，即f的值；团〉当点F在边8上时，四边形EFGH

是矩形，首先根据旋转地性质求出4EOB=75。，然后根据三角形的内角和定理求出40E8=75。，

即可证得△OBE是等腰三角形，进而证得BE=B。=38，即可求出f的值.

7.答案：解；(1)在矩形ABCZ)中，ZC=/.ADC=/.BCD=90°,AD=BC,

4CDE+/.DEC=90°,

•・•乙DEC=Z-OBE+(BOE,乙OBE=Z.CDE=a,

・•・a+a+乙BOE=90°,

:.乙BOE=90°—2a；

(2)连接OC,CC,CC'交DE于点M,

第22页，共42页

VC,C'关于。E对称，

NOMC=NOMC'=90°,

。是。E的中点，

•••OC=-DE=OD=OE,

2

・•・Z-ODC=(OCD,

・・•Z.ADC=(BCD=90°,

:.Z-ADO=Z-BCO,

•:AD=BC,/-ADO=Z.BCO,OD=OC,

:.AO=BO,Z-DAO=(OBE,

v乙OBE=Z-CDE,

:.Z-DAO=乙CDE,

・•・£.DAO+2-ADO=Z.CDE+Z.ADO=Z.ADC=90°,

・・•Z.BOC=Z.AOD=90°,

・・・Z,AOE=90°,

・・・四边形C'MOG是矩形，

:・C'G=OM,

-EHA.BO,

•.EH//OC,

・・・Z.OEH=乙COM,

•・•乙OHE=ZCMO=90°,OE=OC,

・•.△OEH=^C0M(44S),

・•・EH=OM,

・・・C'G=EH；

(3)设EM=x,则0C=0E=%+2VIU,

可得：(%+2仙)2—(271^)2=0"2=52一%2,

则尤=叵，负值舍去，

2

OD=OC=OE=x+2V10=蜉，

•••DE=2OE=5V10，

CD=>JDE2-EC2=15.

解析：本题主要考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾

股定理等知识.

(1)由矩形性质可得NCDE+/DEC=90。，再由三角形外角的知识，即可得出结论；

(2)连接OC,CC',CC'交DE于点M,先证△ADO^LBCO,可得4。=BO,/.DAO=KOBE=乙CDE,

再证四边形C'MOG是矩形，得出C'G=OM,再证△OEHm^COM,即可解答；

(3)设EM=x,则OC=OE=x+2VIU，根据勾股定理求出x值，即可求出。E,CD.

8.答案：解：(1)△力BC是等腰直角三角形，

・•,直线4B：丫=刀+8与*轴，y轴分别交于4,3两点，

.•.点4(-8,0),点8(0,8),

・•・点C与点A关于y轴对称，

•••点C(8,0)且点4(-8,0),点B(0,8),

•••OA=OB=OC=8,且B。1AC,

：.Z.OAB=/.OBA=45°=4OBC=/.OCB,

：.AB=BC,/.ABC=90°,

••.△ABC是等腰直角三角形

(2)设点P(a,a+8),

:*PD=a+8,PG=­a,

・•・△ABC是等腰直角三角形，BOLAC,

•••△ABO^ACBO关于BO对称，

:.PG=GE=-a,

•・・PD+PE=13,

・•・a+8+(—a-a)=13

a=-5,

.•.点P(-5,3),点E(5,3)

如图，连接EF,并延长E尸交y轴于点Q,

图1

•••点P与点E关于8。对称，

\PQ-FQ\=\EQ-FQ\<EF

.•・当点。在EF的延长线时，|PQ—FQ|有最大值，

•••点E(5,3),点F(2,0),

•••直线£尸的解析式为：y=x-2,

当x—0时，y=-2,

•・•点Q(0,-2)

•••点E(5,3),点F(2,0),

EF=J(5-2尸+32=3V2

(3)•••点(7(8,0),点8(0,8),

.••直线BC的解析式为：y=-x+8,

•••点P(-5,3),点8(0,8)

•••PG=5,BG=5,PB=5V2.

•.,将△P8G绕点8逆时针旋转45。至4P'BG',

第24页，共42页

BP'=BP=5企，BG=BG'=5,PG=P'G'=5,

过点G'作G'H1B。于H,

图2

设点B”(4一b+8)

•.•平移后的△PBG'为4P"B"G",

：.B"P"=BP'=5&,

若OB"=B"P"时,

坟+(-b+8)2=50,

.1.b=1(不合题意)，b=7,

d=7V2-5

若OB"=OP"时,

2(-b+8)=5V2

5V2

•,•/?=8-----

L5&L

Ad=V2(8--)-5=8V2-10

解析：⑴由题意可求点A,点B坐标，由对称性可求点C坐标，可求。4=OB=OC,即可判断A4BC

的形状；

(2)设点P(a,a+8),可得PD=a+8,PG=-a,由等腰直角三角形的对称性可求GE=PG=—a,

由PC+PE=13,可求。的值，当点。在E尸的延长线时，|PQ-FQ|有最大值，即可求解；

(3)分两种情况，由等腰三角形的性质，可求点B”的坐标，即可求AP'BG’的平移距离让

本题是一次函数的综合题，考查了等腰直角三角形的判定，旋转的性质，平移的性质，待定系数法

求解析式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.

9.答案：解：(l)OB=20C=4V5，则点8、C的坐标分别为：(0,-4b)、(0,2百)，

将点C的坐标代入AC：y=-4》+瓦并解得：

AC的表达式为：y=—^-x+2V3>

令y=o,则x=6,故点4(6,0),

(Q—6k+b，k—d

将点2、A的坐标代入y=kx+b2得：L,广，解得：3，

⑸=-4遮心=-4V3

故直线的的表达式为：y=^_4后即卜=零

(2)由点8、C的坐标得，BC=6同

S^ACD-S«BCD-S&BCA=IXFCx(xD-xA)=ix6百(x。-6)=9V3,

解得：xD=9,

当x=9时，y=gx-4痘=2显,故点。(9,26);

CF=^FA,即CF=：］(2百)2+36=6，

过点F作FH_Ly轴于点H,

由直线AC的表达式知，AOCA=60°,

则HF=CFsin60°=V3Xy=|,CH=故点尸(|,当)，

作点。关于x轴的对称点。(9,一2遮)，连接C'。'，当。'、C'、F三点共线时，MO+MC'最小,

MD+MC，最小值为。F-F'C=D'F-CF=(9--)2+(―+2A/3)2一遮=V93-V3；

(3)由直线AC的表达式知，Z.CAO=30。，4C=^J62+(2>/3)2=4>/3!

@^PHA=90%当点”在线段AC上时，

则△2//(:为等腰直角三角形，

设HP=CH=a,

则4P=2HP,HA=y/PA2-PH2=国a，

AC—CH+HA=a+V3a_45/3,解得：a—6-2-\/3>

AP=2a=12-4V3-则4P=6-(12-473)=473-6，

故点P(4迎一6,0).

当点〃在AC的延长线时时，可得4CPZ=15。，此时OP=-6-46，可得「(一6-46,0).

(2)ACPH=90°,当点H在线段AC上时，

则CPH为等腰三角形，则HP=CP,

设HP=CP=a,贝IJ在Rt△PH4中，HA=2HP=2a,

•••乙CPH=90°,

HPHOC,

PA=y/AH2-PH2=V3a=4，

故点P(2,0).

当点，在AC的延长线上时，同理可得P(—6,0).

第26页，共42页

综上，点P的坐标为：（2,0）或（46一6,0）或（一6-46,0）或（一6,0）.

解析：（1）。8=2OC=46，则点8、C的坐标分别为：（0,-4M）、（0,273）,将点C的坐标代入

AC：y=—gx+瓦并解得：AC的表达式为：y=—4刀+2B；令y=0,则x=6,故点4（6,0）,

将点8、A的坐标代入y=kx+即可求解；

（2）作点。关于x轴的对称点。（9,一2遮），连接C'D',当D'、C'、尸三点共线时，MD+MC'最小，即

可求解；

（3）①当NP/M=90。时，则APHC为等腰直角三角形，则从4=ga，AC=CH+HA=a+^3a=

4V3,解得：a=6-28，即可求解；②当"PH=90。时，则CP”为等腰三角形，则HP=CP,

则会=今即亲=+解得：a=逋，即可求解.

OCAC2V33a3

本题考查的是一次函数综合运用，涉及到点的对称性、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例、

三角形面积的计算等，其中（3）,要注意分类求解，避免遗漏.

10.答案：解：（1）如图1,过点。作DH_LBC,交3c延长线于点H,

v/.ABC=30°,Z.ACB=90°,AB=4,

•••AC=^AB=2,BC=V3AC=2百，

•.•△4CD是等边三角形，

AC=CD=AD=2,乙4CO=60°,

乙DCH=180°-4ACB-Z.ACD=30°,

­••DC=2,DH1CH,Z.DCH=30°,

DH=1,

•••△BCD的面积=；XBCXDH=|x2V3x1=V3；

(2)如图2,延长BA至"，^AH=AB,连接QH,过点C作CNLA尸于N,

图2

V^.ABC=30°,Z-F=30°,

/.Z.ABC=Z.F,Z,BAF=120°,

：-AB=AF,/,HAF=60°,

・•・△ac。是等边三角形，

:.AD=AC,Z-CAD=60°=乙HAF,

・•・乙HAD=乙CAF,

又•・•AF=AB=AH,AD=AC,

・•・△DAH三七CAF(SAS)

/.DH=CF,zH=zF=30°,

•・•AB=AH.BE=DE,

：・AE=”H,AE//DH,

・・•CF=2AE,Z.BAE=Z,H=30°,

・・・LEAF=90°,

・・・Z-AEC=90°=Z-EAFf

：.AF//EC,

/.LACE=Z.CAN,且AC=AC,^ANC=Z.AEC=90°,

AEC^^CNA^AAS)

・•・AN=EC,

•・・CNlAFf乙F=30°,

:.NF=WCN，CF=2CN,

・•・AE=CN,

・・・NF=WAE,

・・・AF=AN+NF=EC-[■取AE.

解析：（1）过点。作。”工BC,交8c延长线于点H,由直角三角形的性质可求4c=^48=2,BC

754c=275，DH=1,由三角形面积公式可求解；

（2）延长BA至H,使4H=AB,连接DH,过点。作QV14F于N,由“SAS”可证△DAH"CAFf

可得DH=CF,Z,H=Z.F=30°,由三角形中位线定理可证4E=抄H,AE//DH.CF=2AE,Z.BAE

乙”=30。，由“A4S”可证△力EC三△CM4,由直角三角形的性质可得NF=南七，即可得结论.

本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质,

添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

11.答案：解：（1）解：（1）作尸H_L8力交BA的延长线于H,如图1所示：

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则"HE=90°,

•・・四边形A8CD和四边形CEFG是正方形，

:.AD=CD=8,EF=CE,乙ADC=Z-DAH=乙BAD=Z-CEF=90°,

・•・乙FEH=Z.CED,

Z.FHE=Z-EDC=90°

在△EFH和△ECO中，Z.FEH=MED,

EF=CE

•••△EFHzZkECD(44S),

FH=CD=8,AH=AD=8,

・・・BH=AB+AH=16,

ABF=7BH2+FH?="62+82=875;

(2)过F作尸HJ.AD交A。的延长线于点”，作FMJ.BA交84的延长线于M,如图2所示:

则FM=ZH,AM=FHf

①vAD=8,AE=2,

:.DE=6,

同(1)得：AEFH三ACEDHS),

・・・FH=DE=6,EH=CD=8,

即点尸到AD的距离为6；

@BM=AB+AM=8+6=14,

FMAE+EH=10,

BF=y/BM2+FM2=V142+102=2g.

解析：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，

本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键.

(1)作FH_LB4交BA的延长线于“，由证明△EFH三△ECO,得出FH=CO=8,AH=AD=8,求

出BH=4B+4H=16,由勾股定理即可得出答案；

(2)作图得FM=AH,AM=FH,①同(1)得：△EFH三△CED,得出FH=DE=6,EH=CD=8即

可；

②求出BM=4B+4M=14,FM=AE+EH=10,由勾股定理即可得出答案.

12.答案：(1)证明：•••四边形ABC。是正方形，

•••BC=CD,AACB=Z.ACD=45°,

vCE=CE,

CDE三二CBE；

(2)①证明：CDEmACBE,

・•・乙EBC=乙EDC,

又•・•EF=EB,

，乙EBC=乙EFB,

・•・Z,EFB=乙EDC,

•・・乙EFB+乙EFC=180°,

:•乙EDC+乙EFC=180°,

又•・,四边形EFCD内角和为360。，

:.Z.DCF+Z.DEF=180°,

又•・•正方形A8CD中，Z.DCB=90°,

・•・(DEF=90°,

即OE1EF；

②如图，延长CQ到M,使得DM=CF,连接EM,

则“DE+4EDM=180°,

CBE=^CDE,

・•・BE=DE9

vEF=BE,

.•・DE=EF,

由①可得：ZCDE4-ZCF£，=18O°,

・・・Z.CFE=ZEDM,

在△EFC和△EDM中，

EF=ED

乙EFC=乙EDM,

CF=DM

・•・△EC尸三△EMD,

・・・EC=EM,

在正方形ABC。中，4ECD=45。,

・•・乙M=乙ECD=45°,

:.匕CEM=90°,

.•.△ECM是等腰直角三角形，

•••CD+DM=\f2CE,

所以CD+CF=MC=V2CE;

(3)如图，在线段C。上截取M,使得。M=