可分离变量齐次方程

一阶微分方程的初等解法第二章可分离变量微分方程第2.1.1节可分离变量方程

设y＝

(x)

是方程①的解,

两边积分,得

则有恒等式

则有分离变量方程的解法:分离变量，两端积分分离变量法例1.

求微分方程的通解.解:

分离变量得两边积分得即(C

为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)例2.

解初值问题解:

分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C

为任意常数)故所求特解为例3.

子的含量

M

成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)

随时间t

的变化规律.

解:

根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:已知

t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原

求下列方程的通解和要求的特解:提示:(2)

分离变量练习:(1)

分离变量例4.

设曲线过点.在曲线上任取和曲线围成的面积是另一条平行线与y

轴和曲线围成的面积的2倍，求曲线的方程.xyo一点，作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与x轴解:xyo两边同时对求导分离变量，积分得可分离变量的方程可化为分离变量的类型

第2.1.2节齐次方程第十二章的微分方程称为齐次方程.一、齐次方程的解法作变量代换代入原式可分离变量的方程分离变量，积分后再用代替u,便得原方程的通解.例1.

解微分方程解:代入原方程得分离变量，积分得得故原方程的通解为(当C=0

时,

y=0

也是方程的解)(C

为任意常数)则例2.

解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即(C

为任意常数)方程变形为例2.

解微分方程解:则有分离变量方程变形为

∴

原方程还有解：注意到也是方程（1）的解.由得它是原方程的解.由得它也是原方程的解;或令C=0.

1求微分方程满足微分方程的通解为解：练习:方程变形为则的特解.2

求解微分方程解则例3设有连接点O(0,0)和点A(1,1)的一段向上凸的曲线弧,对于上任意一点P(x,y)

，曲线弧与直线段所围图形的面积为,求弧的方程.解：设弧的方程为则所围图形的面积为：积分方程解：设弧的方程为，则两边求导齐次方程依题意得弧的方程为：方程的通解为求微分方程满足微分方程的通解为解：练习:求导，得的特解.例6探照灯反设镜面的形状.

在制造探照灯的反射镜面时,总要求将点光源射出的光线平行地反射出去，以保证探照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状.光的反射定律:入射角=反射角可得OMA=OAM=

解:

设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线

绕

x

轴旋转而成.过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,取x

轴平行于光线反射方向,从而AO=OM而AO

于是得微分方程:

(齐次方程)

利用曲线的对称性,不妨设

y>0,积分得得

(抛物线)故反射镜面为旋转抛物面:于是方程化为(齐次方程)

可化为分离变量的类型

第2.1.2节一种特殊的齐次方程第十二章

二.特殊齐次微分方程的解法均为常数.

（常数）

变形为（c为任意常数）

（k为常数）

变形为

则可分离变量方程

设为直线的交点.则方程便可如下转化成齐次方程：

即

例4.

求解解:令得再令Y＝X

u,得令积分得得C=1,故所求特解为思考:

若方程改为

如何求解?

提示:代回原变量,得原方程的通解:例5.解: