导数及其应用教案

课题：变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一、情景导入为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大〔小〕值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二、知识探究探究一：气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?探究二：高台跳水：在高台跳水运动中,运发动相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t〔单位：s〕存在函数关系h(t)=-t2t+10.如何用运发动在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?hto思考计算：和的平均速度hto在这段时间里，；在这段时间里，探究：计算运发动在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运发动在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运发动的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)=-t2t+10的图像，结合图形可知，，所以，虽然运发动在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运发动仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运发动的运动状态。探究〔三〕：平均变化率1、平均变化率概念：上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2．假设设,(这里看作是对于x1的一个“增量〞可用x1+代替x2,同样)那么平均变化率为yx1Of(x1)f(xyx1Of(x1)f(x2)y=f(x)△△x=x2-x1△△y=f(x2)-f(x1)直线AB的斜率xx2xx3、函数f(x)从x0到x0＋△x的平均变化率怎么表示？三、典例分析例1．函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,那么．解：，∴例2、求在附近的平均变化率。解：，所以所以在附近的平均变化率为例3、求函数y＝5x2＋6在区间[2，2＋△x]内的平均变化率8例4、某盏路灯距离地面高8m，一个身高1.7m的人从路灯的正底下出发，以1.4m/s的速度匀速沿某直线离开路灯，求人影长度的平均变化率.8解：略四．课堂练习1．质点运动规律为，那么在时间中相应的平均速度为．s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.3.过曲线y=f(x)=x3上两点P〔1，1〕和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.五．回忆总结1．平均变化率的概念2．函数在某点处附近的平均变化率六．布置作业课后记:课题:导数的概念教学目标：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一、复习引入1、函数平均变化率：2、函数平均变化率的几何意义：表示曲线上两点连线(割线)的斜率3、在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映运发动在这段时间里运动状态.因为运发动从高台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。二、知识探究hto1、引例：hto⑴运发动在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运发动的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)=-t2t+10的图像，结合图形可知，，所以，虽然运发动在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运发动仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运发动的运动状态．2、．瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运发动的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运发动的瞬时速度呢？比方，时的瞬时速度是多少？考察附近的情况：①、思考：当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？②、结论：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值．③、从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运发动在时的瞬时速度是④、为了表述方便，我们用表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值〞⑤、小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。3、导数的概念：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:我们称它为函数在出的导数，记作或，即说明：〔1〕导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率〔2〕，当时，，所以4、一般地，求函数f(x)在x＝x0处的导数有哪几个根本步骤？第一步，求函数值增量：△y＝f(x＋△x)－f(x0)；第二步，求平均变化率：第三步，取极限，求导数：5、常见结论：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕三、典例分析例1．〔1〕求函数y=3x2在x=1处的导数.分析：先求Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2再求再求解：法一〔略〕法二：〔2〕求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：例2．〔课本例1〕将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度〔单位：〕为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和根据导数定义，所以同理可得:在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升．注：一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况．四．课堂练习1．质点运动规律为，求质点在的瞬时速度为．2．求曲线y=f(x)=x3在时的导数．3．例2中，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．五．回忆总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．导数的概念六．布置作业课题：导数的几何意义教学目标：1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义．教学过程：一．复习引入1、函数f(x)在x＝x0处的导数的含义是什么？2、求函数f(x)在x＝x0处的导数有哪几个根本步骤？3、导数f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，这是导数的代数意义，导数是否具有某种几何意义，是一个需要探究的问题.二．知识探究探究一：导数的几何意义1、曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：⑴割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？⑵切线PT的斜率为多少？容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即说明：⑴、设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在处的导数.⑵、曲线在某点处的切线：①、与该点的位置有关；②、要根据割线是否有极限位置来判断与求解。如有极限,那么在此点有切线,且切线是唯一的；如不存在,那么在此点处无切线；③、曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.2、导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，即：说明：求曲线在某点处的切线方程的根本步骤:①、求出P点的坐标;②、求出函数在点处的变化率，得到曲线在点的切线的斜率；③、利用点斜式求切线方程.探究二；导函数概念：1、导函数定义：由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时,是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，即:注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．2、函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。1〕函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2〕函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数3〕函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一。三．典例分析例1:〔1〕求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.〔2〕求函数y=3x2在点处的导数.解：〔1〕,所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为即〔2〕因为所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为即练习：求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：例2．〔课本例2〕如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数，根据图像，请描述、比拟曲线在、、附近的变化情况．解：我们用曲线在、、处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．当时，曲线在处的切线平行于轴，所以，在附近曲线比拟平坦，几乎没有升降．当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．从图3.1-3可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢．例3．〔课本例3〕如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度(单位：)随时间〔单位：〕变化的图象．根据图像，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率〔精确到〕．解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率．如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．作处的切线，并在切线上去两点，如，，那么它的斜率为：所以下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：药物浓度瞬时变化率0--四．课堂练习1．求曲线y=f(x)=x3在点处的切线；2．求曲线在点处的切线．五．回忆总结1．曲线的切线及切线的斜率；2．导数的几何意义六．布置作业课后记课题：几个常用函数的导数教学目标：1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．教学重点：四种常见函数、、、的导数公式及应用教学难点：四种常见函数、、、的导数公式教学过程：一．复习引入1、导数的几何意义是什么？2、如何求函数f(x)的导函数？3、我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最根本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比拟简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．二．知识探究函数导数1．函数的导数⑴根据导数定义，因为，所以⑵表示函数图像〔图3.2-1〕上每一点处的切线的斜率都为0．假设表示路程关于时间的函数，那么可以解释为某物体的瞬时速度为0，即物体一直处于静止状态．函数导数2．函数的导数⑴因为。所以⑵表示函数图像〔图3.2-2〕上每一点处的切线的斜率都为1．假设表示路程关于时间的函数，那么可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数的导数函数导数⑴因为所以⑵表示函数图像〔图3.2-3〕上点处的切线的斜率都为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，说明：当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快．假设表示路程关于时间的函数，那么可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为．4．函数的导数因为所以函数导数〔2〕推广：假设，那么三．课堂练习1．课本P13探究1；2．课本P13探究2；3．求函数的导数四．回忆总结五．布置作业课题：根本初等函数的导数公式及导数的运算法那么教学目标：1．熟练掌握根本初等函数的导数公式；掌握导数的四那么运算法那么；3．能利用给出的根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数．教学重点：根本初等函数的导数公式、导数的四那么运算法那么教学难点：根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么的应用教学过程：一．复习引入1、四种常见函数、、、的导数公式及应用二．知识探究探究一：根本初等函数的导数公式表函数导数探究二：导数的运算法那么导数运算法那么1．2．特别：3．三．典例分析例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价〔单位：元〕与时间〔单位：年〕有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少〔精确到0.01〕？解：根据根本初等函数导数公式表，有所以〔元/年〕因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．例2．根据根本初等函数的导数公式和导数运算法那么，求以下函数的导数．〔1〕〔2〕y＝；〔3〕y＝x·sinx·lnx；〔4〕y＝；〔5〕y＝．〔6〕y＝〔2x2－5x＋1〕ex〔7〕y＝说明：①求导数是在定义域内实行的．②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例3、日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯洁度的提高，所需净化费用不断增加．将1吨水净化到纯洁度为时所需费用为：求净化到以下纯洁度时，所需净化费用的瞬时变化率：〔1〕〔2〕解：略四．课堂练习1．课本P92练习2．曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；〔y＝－12x＋8〕五．回忆总结〔1〕根本初等函数的导数公式表〔2〕导数的运算法那么六．布置作业课后记课题：复合函数的求导法那么教学目标：理解并掌握复合函数的求导法那么．教学重点：复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．教学过程：一．复习引入1、根本初等函数的导数公式表函数导数2、导数的运算法那么导数运算法那么1．2．特别：3．二、知识探究1、复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。2、以下函数可以看成那两个函数复合而成？⑴y＝ln(x2＋3)⑵y＝(2x＋3)3⑶y＝sin(ax＋1)3、复合函数的导数：复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．假设，那么三．典例分析例1求以下函数的导数：〔1〕y＝(2x＋3)3；〔2〕〔3〕〔4〕y＝ln(3x＋2).例2求y＝的导数．例3求y＝sin4x＋cos4x的导数．【解法一】y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22x＝1－〔1－cos4x〕＝＋cos4x．y′＝－sin4x．【解法二】y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4sin3x(sinx)′＋4cos3x(cosx)′＝4sin3xcosx＋4cos3x(－sinx)＝4sinxcosx(sin2x－cos2x)＝－2sin2xcos2x＝－sin4x例4曲线y＝x〔x＋1〕〔2－x〕有两条平行于直线y＝x的切线，求此二切线之间的距离．【解】y＝－x3＋x2＋2xy′＝－3x2＋2x＋2令y′＝1即3x2－2x－1＝0，解得x＝－或x＝1．于是切点为P〔1，2〕，Q〔－，－〕，过点P的切线方程为，y－2＝x－1即x－y＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q到此切线的距离，故所求距离为＝．四．课堂练习1．求以下函数的导数(1)y=sinx3+sin33x；〔2〕;(3)的导数五．回忆总结六．布置作业课题：函数的单调性与导数教学目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：一．情景导入函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个根本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．知识探究1．问题：图3.3-1〔1〕，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图3.3-1〔2〕表示高台跳水运发动的速度随时间变化的函数的图像．运发动从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：⑴、运发动从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，．⑵、从最高点到入水，运发动离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率．在处，，切线是“左下右上〞式的，这时，函数在附近单调递增；在处，，切线是“左上右下〞式的，这时，函数在附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．说明：〔1〕特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．3．求解函数单调区间的步骤：〔1〕确定函数的定义域；〔2〕求导数；〔3〕解不等式，解集在定义域内的局部为增区间；〔4〕解不等式，解集在定义域内的局部为减区间．三．典例分析例1．导函数的以下信息：当时，；当，或时，；当，或时，，试画出函数图像的大致形状．解：当时，，可知在此区间内单调递增；当，或时，；可知在此区间内单调递减；当，或时，，这两点比拟特殊，我们把它称为“临界点〞．综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．判断以下函数的单调性，并求出单调区间．〔1〕；〔2〕〔3〕；〔4〕解：〔1〕因为，所以，因此，在R上单调递增，如图3.3-5〔1〕所示．〔2〕因为，所以，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；函数的图像如图3.3-5〔2〕所示．〔3〕因为，所以，因此，函数在单调递减，如图3.3-5〔3〕所示．〔4〕因为，所以．当，即时，函数；当，即时，函数；函数的图像如图3.3-5〔4〕所示．注：〔3〕、〔4〕生练如图3.3-6，水以常速〔即单位时间内注入水的体积相同〕注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．解：思考：例3说明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比拟“陡峭〞；反之，函数的图像就“平缓〞一些．如图3.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭〞，在或内的图像“平缓〞．求证：函数在区间内是减函数．证明：因为当即时，，所以函数在区间内是减函数．说明：证明可导函数在内的单调性步骤：〔1〕求导函数；〔2〕判断在内的符号；〔3〕做出结论：为增函数，为减函数．例5、函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：所以实数的取值范围为．说明：函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“假设函数单调递增，那么；假设函数单调递减，那么〞来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否那么漏解．四．课堂练习1．求以下函数的单调区间〔1〕.f(x)=2x3－6x2+72.f(x)=+2x3.f(x)=sinx,x4.y=xlnx2．课本练习五．回忆总结〔1〕函数的单调性与导数的关系〔2〕求解函数单调区间〔3〕证明可导函数在内的单调性六．布置作业课后记课题：函数的极值〔一〕教学目标：1、理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.2、掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.教学重点：求函数的极值.教学难点：严格套用求极值的步骤.教学过程：一、复习引入1.函数f(x)在区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有什么关系？2.利用导数求函数单调区间的根本步骤如何？二、知识探究探究一；函数的极值的概念1、观察以下图中的曲线a点的函数值f(a)比它临近点的函数值都大．b点的函数值f(b)比它临近点的函数值都小．2、观察函数f(x)＝2x3－6x2＋7的图象，思考：函数y＝f(x)在点x＝0，x＝2处的函数值，与它们附近所有各点处的函数值，比拟有什么特点?〔1〕函数在x＝0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；〔2〕函数在x＝2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，那么f(2)是函数的一个极小值．函数y＝2x3－6x2＋7的一个极大值:f(0)；一个极小值:f(2)．函数y＝2x3－6x2＋7的一个极大值点:(0，f(0))；一个极小值点:(2，f(2))．3、极值的概念：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作：y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作：y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．探究二：函数极值的求解1、观察以下图中的曲线考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况．上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0，极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正．2、、利用导数判别函数的极大〔小〕值：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，判别f(x0)是极大〔小〕值的方法是：⑴如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么，f(x0)是极大值；⑵如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么，f(x0)是极小值；思考：导数为0的点是否一定是极值点？〔导数为0的点不一定是极值点．〕如函数f(x)＝x3，x＝0点处的导数是0，但它不是极值点．说明：⑴、函数的极值点xi是区间[a,b]内部的点，区间的端点不能成为极值点．⑵、函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值．⑶、函数在[a,b]上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点．x1x1x2x3x4x5x6x7x8三、典例分析例1求函数解：y＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令y＝0，解得x1＝－2，x2＝2．当x变化时，y，y的变化情况如下表．因此，当x＝－2时，y极大值＝，当x＝2时，y极小值＝－．总结：求可导函数f(x)的极值的步骤：⑴求导函数f(x)；⑵求方程f(x)＝0的根；⑶检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．例2．求函数的极值例3求函数y＝(x2－1)3＋1的极值．解：定义域为R，y＝6x(x2－1)2.由y＝0可得x1＝－1，x2＝0，x3＝1

当x变化时，y，y的变化情况如下表：当x＝0时，y有极小值，并且y极小值＝0．例4．的极值例5．的极值练习：求函数的极值四、课堂小结1．函数的极值的定义。2、求函数极值的根本步骤：确定函数定义域，求导数f′(x)→解方程f′(x)＝0→判断在根附近左右两侧f′(x)的符号→作出结论.五、课后作业课后记课题：函数的极值(二)教学目标：1、理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.2、掌握函数极值的判别方法进一步体验导数的作用.教学重点：求函数的极值教学难点：严格套用求极值的步骤.教学过程：一、复习引入1．函数的极值的定义。略〔1〕函数的极值点xi是区间[a,b]内部的点，区间的端点不能成为极值点．〔2〕函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值．〔3〕函数在[a,b]上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点．2、求函数极值的根本步骤：确定函数定义域，求导数f′(x)→解方程f′(x)＝0→判断在根附近左右两侧f′(x)的符号→作出结论.二、讲授新课练习：〔1〕函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且知当x＝－1时取得极大值7，当x＝3时取得极小值，试求函数f(x)的极小值，并求a、b、c的值例5、设a为实数，函数f(x)=x3–x2–x+a.，〔1〕求f(x)的极值；〔2〕当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.例2．函数．〔1〕求曲线在点处的切线方程；〔2〕设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．例3．在区间[0,1]上是增函数,在区间上是减函数,又(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)假设在区间(m＞0)上恒有≤x成立,求m的取值范围.例4．设函数，其中． 证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．例5．设函数，其中．〔Ⅰ〕当时，判断函数在定义域上的单调性；〔Ⅱ〕求函数的极值点；〔Ⅲ〕证明对任意的正整数，不等式都成立．解：略四、小结五、作业：见资料课题：函数的最大〔小〕值与导数教学目标：1、使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f(x)在闭区间[a,b]上所有点〔包括端点a,b〕处的函数中的最大〔或最小〕值必有的充分条件；2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．教学过程：一．创设情景我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果是函数的极大〔小〕值点，那么在点附近找不到比更大〔小〕的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小．如果是函数的最大〔小〕值，那么不小〔大〕于函数在相应区间上的所有函数值．二．知识探究吧1、观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是．2、结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．说明：⑴、如果在某一区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么称函数在这个区间上连续．〔可以不给学生讲〕⑵、给定函数的区间必须是闭区间，在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；⑶、在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，⑷、函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．〔可以不给学生讲〕3、“最值〞与“极值〞的区别和联系⑴、最值〞是整体概念，是比拟整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值〞是个局部概念，是比拟极值点附近函数值得出的，具有相对性．⑵、从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；⑶、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⑷、极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3．利用导数求函数的最值步骤:由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比拟，就可以得出函数的最值了．一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：⑴、求在内的极值；⑵、将的各极值与端点处的函数值、比拟，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值三．典例分析例1．〔课本例5〕求在的最大值与最小值解：由例4可知，在上，当时，有极小值，并且极小值为，又由于，因此，函数在的最大值是4，最小值是．例2求函数y＝x4－2x2＋5在区间[0，2]上的最大值与最小值.答案：f(x)max=f(2)＝13，f(x)min=f(1)＝4.例3求函数f(x)＝sin2x－x在区间上的最大值与最小值.答案：例4求函数在上的最大值.例5m≤1为常数，求证：x≥ln(x＋m).例6、假设对任意x∈[－1，2]，不等式恒成立，求实数a的取值范围.答案：例7、集合，，其中a≥1为常数，假设当x∈[0，1]时，，求a的取值范围.答案：例8、假设存在正实数x，使不等式成立，求a的取值范围.答案：a∈(0，2).例9函数，其中a＜0为常数，求函数f(x)在区间[0，1]上的最大值.答案：略四．课堂练习1．以下说法正确的选项是()A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,假设M=m,那么f′(x)()A.等于0 B.大于0C.小于0 D.以上都有可能3．函数y=，在［－1，1］上的最小值为()A.0 B.－2C.－4．求函数在区间上的最大值与最小值．五．回忆总结1．函数在闭区间上的最值点必在以下各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；2．函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；3．闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，假设有唯一的极值，那么此极值必是函数的最值4．利用导数求函数的最值方法．六．布置作业课题：生活中的优化问题举例〔一〕教学目标：使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学过程一、创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大〔小〕值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其本钱有关的最值问题；4、效率最值问题。解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的根本思路：建立数学模型解决数学模型建立数学模型解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案三．典例分析例1．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm，那么版心的宽为dm,此时四周空白面积为。求导数，得。令，解得舍去〕。于是宽为。当时，<0；当时，>0.因此，是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。例2．在边长为60cm解法一：设箱底边长为xcm，那么箱高cm，得箱子容积．令＝0解得x=0〔舍去〕，x=40，并求得V(40)=16000由题意可知，当x过小〔接近0〕或过大〔接近60〕时，箱子容积很小，因此，16000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3解法二：设箱高为xcm，那么箱底长为(60-2x)cm，那么得箱子容积．〔后面同解法一，略〕由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例3．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，那么外表积S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，那么S(R)=2πR+2πR2=+2πR2令 +4πR=0解得，R=，从而h====2即h=2R，因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的外表积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？例4．矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为〔x，y〕，且x＞0，y＞0，那么另一个在抛物线上的顶点为〔－x，y〕，在x轴上的两个顶点为〔－x，0〕、〔x，0〕，其中0＜x＜2．设矩形的面积为S，那么S＝2x〔4－x2〕，0＜x＜2．由S′〔x〕＝8－6x2＝0，得x＝，易知x＝是S在〔0，2〕上的极值点，即是最大值点，所以这种矩形中面积最大者的边长为和．【点评】应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如确定有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值．四．课堂练习1．把长为60cm的铁丝围成矩形，长、宽、高各为多少时，面积最大？2．把长为100用总长为14.8m的钢条制作一个长方形容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．答案：〔高为1.2m，最大容积〕五．回忆总结建立数学模型1．利用导数解决优化问题的根本思路：建立数学模型解决数学模型解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。六．布置作业1.4生活中的优化问题举例〔二〕教学目标1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2、提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学过程一、创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大〔小〕值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其本钱有关的最值问题；4、效率最值问题。解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的根本思路：建立数学模型解决数学模型建立数学模型解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案三．典例分析例1.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响〔1〕你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？〔2〕是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造本钱是分，其中是瓶子的半径，单位是厘米。每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm问题：〔１〕瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？〔２〕瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是令解得〔舍去〕当时，；当时，．当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；当半径时，它表示单调递减，即半径越大，利润越低．〔1〕半径为cm时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的本钱，此时利润是负值．〔2〕半径为cm时，利润最大．换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？有图像知：当时，，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的本钱恰好相等；当时，利润才为正值．当时，，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为cm时，利润最小．例2．在经济学中，生产x单位产品的本钱称为本钱函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。〔1〕、如果C(x)＝，那么生产多少单位产品时，边际最低？(边际本钱：生产规模增加一个单位时本钱的增加量)〔2〕、如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？变式：某商品生产本钱C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去本钱C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入，利润，令，即，求得唯一的极值点答：产量为84时，利润L最大1、书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？【解】假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，由于该书均匀投放市场，那么平均库存量为批量之半，即，故有y＝×30＋×40，y′＝－＋20，令y′＝0，得x＝15，且y″＝，f″(15)＞0，所以当x＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，故当x＝15时，y取得最小值，此时进货次数为＝10〔次〕．即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．2、甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？【解】设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米，总费用为y元，那么CD＝．y＝500〔50－x〕＋700＝25000－500x＋700，y′＝－500＋700·(x2＋1600)·2x＝－500＋，令y′＝0，解得x＝．答：水厂距甲距离为50－千米时，总费用最省．3.某公司经销某种品牌产品，每件产品的本钱为3元，并且每件产品需向总公司交a元〔3≤a≤5〕的管理费，预计当每件产品的售价为x元〔9≤a≤11〕时，一年的销售量为(12-x)2万件.〔1〕求分公司一年的利润L〔万元〕与每件产品的售价x的函数关系式；〔2〕当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a).五．回忆总结建立数学模型1．利用导数解决优化问题的根本思路：建立数学模型解决数学模型解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。六．布置作业课题：生活中的优化问题举例〔三〕教学目标1使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2、提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学过程一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大〔小〕值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其本钱有关的最值问题；4、效率最值问题。解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的根本思路：建立数学模型解决数学模型建立数学模型解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案三．典例分析例1．磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为根本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个根本单元通常被称为比特〔bit〕。为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域．是不是越小，磁盘的存储量越大？为多少时，磁盘具有最大存储量〔最外面的磁道不存储任何信息〕？解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量×〔1〕它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存储量越大．〔2〕为求的最大值，计算，令，解得，当时，；当时，．因此时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为例2．汽油的使用效率何时最高我们知道，汽油的消耗量〔单位：L〕与汽车的速度〔单位：km/h〕之间有一定的关系，汽油的消耗量是汽车速度的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：〔1〕是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？〔2〕“汽油的使用率最高〞的含义是什么？分析：研究汽油的使用效率〔单位：L/m〕就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量〔单位：L〕，表示汽油行驶的路程〔单位：km〕．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少〞，就是求的最小值的问题．通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率〔即每小时的汽油消耗量，单位：L/h〕与汽车行驶的平均速度〔单位：km/h〕之间有如下图的函数关系．从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率〔即每小时的汽油消耗量，单位：L/h〕与汽车行驶的平均速度〔单位：km/h〕之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题．解：因为，这样，问题就转化为求的最小值．从图象上看，表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90．因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即，约为L．例3．一条水渠，断面为等腰梯形，如下图，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.解：由梯形面积公式，得S=(AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b∴AD=h+b,∴S=①∵CD=,AB=CD.∴l=×2+b ②由①得b=h,代入②,∴l=l′==0,∴h=,当h<时，l′<0,h>时，l′>0.∴h=时，l取最小值，此时b=四．课堂练习OO1请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥〔如右图所示〕。试问当帐篷的顶点O到底面中心OO1解：设OO1为，那么由题设可得正六棱锥底面边长为：，〔单位：〕故底面正六边形的面积为：=，〔单位：〕帐篷的体积为：求导得。令，解得〔不合题意，舍去〕，，当时，，为增函数；当时，，为减函数。∴当时，最大。答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。【点评】当要求的最大〔小〕值的变量y与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x，然后再根据条件x来表示其他变量，并写出y的函数表达式f〔x〕．五．回忆总结1．利用导数解决优化问题的根本思路：2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。六．布置作业课题：曲边梯形的面积教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法教学重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近〔取极限〕教学难点：对过程中所包含的根本的微积分“以直代曲〞的思想的理解教学过程：1．创设情景问题1：我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的根本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。一个概念：如果函数在某一区间上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数称为区间上的连续函数．〔不加说明，下面研究的都是连续函数〕2．新课讲授问题2：如图，阴影局部类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？例1：求图中阴影局部是由抛物线，直线以及轴所围成的平面图形的面积S。问题3：〔1〕曲边梯形与“直边图形〞的区别？〔2〕能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形〞面积的问题？分析：曲边梯形与“直边图形〞的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形〞的所有边都xxx1x1xxx1x1xy1xyy把区间分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取〞，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．解：〔1〕．分割：在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：，，…，，记第个区间为，其长度为分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：，，…，，显然，〔2〕近似代替记，如下图，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从图形上看，就是用平行于轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边〔如图〕．这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取〞，那么有①〔3〕求和由①，上图中阴影局部的面积为====从而得到的近似值〔4〕取极限分别将区间等分8，16，20，…等份〔如图〕，可以看到，当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有从数值上的变化趋势：见教材3．求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割．在区间中任意插入各分点，将它们等分成个小区间，区间的长度，第二步：近似代替，“以直代取〞。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．第四步：取极限。说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：分割以直代曲求和逼近2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值例2．求围成图形面积解：1．分割：在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：，，…，，记第个区间为，其长度为，分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：，，…，，显然，〔2〕近似代替：∵，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取〞，那么有①〔3〕求和：由①，上图中阴影局部的面积为====从而得到的近似值〔4〕取极限：练习：设S表示由曲线，x=1，以及x轴所围成平面图形的面积。四：课堂小结求曲边梯形的思想和步骤：分割以直代曲求和逼近〔“以直代曲〞的思想〕五：课后作业课后记：课题：汽车行驶的路程教学目标：1、了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限〔逼近〕2、通过与求曲边梯形的面积进行类比，求汽车行驶的路程有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近〔取极限〕教学难点：过程的理解教学过程：一．复习引入1、连续函数的概念；2、求曲边梯形面积的根本思想和步骤；3、利用导数我们解决了“物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度〞的问题．反之，如果物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？二．知识探究1、引例：汽车以速度作匀速直线运动时，经过时间所行驶的路程为．如果汽车作变速直线运动，在时刻的速度为〔单位：km/h〕，那么它在0≤≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程〔单位：km〕是多少？分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变〞的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间分成个小区间，在每个小区间上，由于的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得〔单位：km〕的近似值，最后让趋紧于无穷大就得到〔单位：km〕的精确值．〔思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程〕．解：1．分割:在时间区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：，，…，,记第个区间为，其长度为;把汽车在时间段，，…，上行驶的路程分别记作：，，…，;显然，〔2〕近似代替:当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从物理意义上看，即使汽车在时间段上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速〞，于是的用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取〞，那么有①〔3〕求和:由①，====从而得到的近似值〔4〕取极限：当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程与由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积有什么关系？结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程在数据上等于由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积．一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变〞的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤≤b内所作的位移．三、典例分析：例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力〔为常数，是伸长量〕，求弹簧从平衡位置拉长所作的功．分析：利用“以不变代变〞的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．解：将物体用常力沿力的方向移动距离，那么所作的功为．1．分割：在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：，，…，；记第个区间为，其长度为，把在分段，，…，上所作的功分别记作：，，…，〔2〕近似代替：有条件知：〔3〕求和：=从而得到的近似值〔4〕取极限：所以得到弹簧从平衡位置拉长所作的功为：四：课堂小结求汽车行驶的路程有关问题的过程．五：课后作业课后记课题：定积分的概念教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的根本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义．教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．教学过程：一．复习引入：1．回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限〔逼近〕2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．二．知识探究探究一、定积分的概念1、定积分的概念：一般地，设函数在区间上连续，用分点，将区间等分成个小区间，每个小区间长度为〔〕，在每个小区间上任取一点，作和式：如果无限接近于〔亦即〕时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：，其中积分号，－积分上限，－积分下限，－被积函数，－积分变量，－积分区间，－被积式。说明：〔1〕定积分是一个常数，即无限趋近的常数〔时〕记为，而不是．〔2〕用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：〔3〕曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功探究二：定积分的几何意义1、定积分的几何意义从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影局部)的面积，这就是定积分的几何意义。说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各局部面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号。分析：一般的，设被积函数，假设在上可取负值。考察和式不妨设；于是和式即为阴影的面积—阴影的面积〔即轴上方面积减轴下方的面积〕思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影局部的面积S吗？探究三：定积分的性质1、定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1；性质2〔定积分的线性性质〕；性质3〔定积分的线性性质〕；性质4〔定积分对积分区间的可加性〕(1)；(2)；说明：①推广：②推广:③性质解释：性质4性质1性质4性质1三．典例分析例1．利用定积分的定义，计算的值。分析：令；〔１〕分割：把区间n等分，那么第i个区间为：，每个小区间长度为：；〔２〕近似代替、求和：取，那么〔３〕取极限：.例2．计算定积分分析：所求定积分是所围成的梯形面积，即为如图阴12yxO12yxO思考：假设改为计算定积分呢？改变了积分上、下限，被积函数在上出现了负值如何解决呢？〔后面解决的问题〕例３．计算定积分分析：利用定积分性质有，利用定积分的定义分别求出，，就能得到的值。四．课堂练习计算以下定积分1．2．3．课本练习：计算的值，并从几何上解释这个值表示什么？五．回忆总结1．定积分的概念、用定义法求简单的定积分、定积分的几何意义．六．布置作业P503、5课题：微积分根本定理教学目标：1、通过实例，直观了解微积分根本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分2、通过实例体会用微积分根本定理求定积分的方法教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分根本定理的含义，并能正确运用根本定理计算简单的定积分。教学难点：了解微积分根本定理的含义。教学过程：一．复习旧知问题1；定积分的概念问题2：用定义计算定积分的步骤二．引入新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比拟复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比拟一般的方法。变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)〔〕，那么物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。〔板书〕另一方面，这段路程还可以通过位置函数S〔t〕在上的增量来表达，即=而。对于一般函数，设，也有假设上式成立，我们就找到了用的原函数〔即满足〕的数值差来计算在上的定积分的方法。注：1：定理如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，那么为了方便起见，还常用表示，即该式称之为微积分根本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了根底。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的开展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。例1．计算以下定积分：〔1〕；〔2〕。解：〔1〕因为，所以。〔2〕〕因为，所以。练习：计算解：由于是的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有===例2．计算以下定积分：。由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。解：因为，所以，，.可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:(l〕当对应的曲边梯形位于x轴上方时〔图1.6一3)，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；图1.6一3(2〕〔2〕当对应的曲边梯形位于x轴下方时〔图1.6一4)，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；(3〕当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0〔图1.6一5)，且等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度=32公里/小时=米/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,