导数与函数单调性和极值最值的关系

导数与函数单调性和极值最值的关系一、知识导学1.函数的单调性与导数的关系在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减。2.函数的单调性与极值的关系一般地，对于函数y＝f(x)，且在点a处有f′(a)＝0.(1)假设在x＝a附近的左侧导数小于0，右侧导数大于0，那么f(a)为函数y＝f(x)的极小值．(2)假设在x＝a附近的左侧导数大于0，右侧导数小于0，那么f(a)为函数y＝f(x)的极大值．求函数极值的步骤:①求导数。求方程的根.②求方程的根.③列表；④下结论。3.函数的最大值和最小值〔1〕设是定义在区间上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行.①求在内的极值.②将在各极值点的极值与、比拟，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.〔2〕假设函数在上单调增加，那么为函数的最小值，为函数的最大值；假设函数在上单调递减，那么为函数的最大值，为函数的最小值.注意：〔1〕在求函数的极值时，应注意：使导函数取值为0的点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数的导数，在点处有，即点是的驻点，但从在上为增函数可知，点不是的极值点.(2)在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导〔其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导〕，并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大〔小〕值，然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个点使得导函数为0，那么立即可以断定在这个点处的函数值就是最大〔小〕值。〔3〕极大〔小〕值与最大〔小〕值的区别与联系二、经典例题导讲[例1]以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是①、② B．①、③ C．③、④ D．①、④[例2]函数在上是减函数，求的取值范围；[例3]，函数(，为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)假设函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．[例4]〔1〕函数，假设是的一个极值点，那么值为〔〕A．2B.-2C.D.4〔2〕函数在处有极值为10，那么=[例5]函数在处取得极值.讨论和函数的的极大值还是极小值；过点作曲线的切线，求此切线方程.[例6]函数f〔x〕＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝与x＝1时都取得极值〔1〕求a、b的值与函数f〔x〕的单调区间〔2〕假设对x∈〔－1，2〕，不等式f〔x〕＜c2恒成立，求c的取值范围。[例7]设函数f．(1)假设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．[例8]函数．(1)假设a＝1，求函数f(x)的极值和单调区间；(2)假设a<0且在区间(0，e]上至少存在一点，使得成立，求实数a的取值范围．[例9]设，函数.(1)假设x＝2是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；(2)假设函数，在x＝0处取得最大值，求a的取值范围．[例10](此题总分值12分)(2023年高考江西卷)设.(1)假设f(x)在上存