知错觅因寻正解

智慧引航》2013年第12期知错觅因寻正解导数是高中课程重点内容，初学这部分，同学们往往会出现这样那样的错误.现举几种常见的错误加以剖析，希望对同学们能有所帮助.误区一、对导数定义理解不透致错/例1 已知函数f(x)=x3-—x2+6，求limf(1X)_f(1).2 z 2Ax【错解】因为f'(x)二3x2-x,故lim空 x)辿二广(x)二2.心―0 2Ax【剖析】上述解法错误的原因是对导数的定义理解不透，函数y二f(x)在点x°处的Ay导数八Ay导数八x0)巴Axlimf(xo+Ax)一f(xo)AxtO Ax，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量Ax必—须保持一致，它是非零的变量，可以是-2Ax，Ax等.正解】limf°+山)-f⑴=lim—•f°+山)-f⑴正解】AxtO 2Ax AxtO2 (1+Ax)—1误区二、求复合函数的导数出错/例2 函数y=ln(x+、：x2-a2)的导数是()11(1+ ).x+、；x2—a2 2x2—a21(B)x2—a21(C)x+px2—a21(D)x2一a2(x+x2一a2)错解】

y'=n(x+\；x2—a2)二1I :x+\：xy'=n(x+\；x2—a2)二1I :x+\：x2—a2-(x+、*；x2—a2)'•(1+x+\；x2—a22、：'x2—a2.故选A.【剖析】漏掉了x2—a2对x求导这一层，导致错误.正解y'=ln(x+\x2—a2j= •(x+\x2—a2)'x+px2—a2•(1+^±)= 1 •(1+.x)x+x2—a2 2、：x2—a2x+x2—a2 yx2—a21■vx2—a2故选B.误区三、忽视“过某点的切线”与“在某点处的切线”的区别致错/例3过曲线y=x3+2x上一点(1,3)的切线方程错解】因为y'=3x2+2，故y'|.=5，所以所求切线方程为y—3二5(x—1),x=1【剖析】求切线方程时，一定要注意是求过某一点的切线方程还是求在某一点处的切线方程.前者该点未必是切点，可能会有多个结果，而后者该点必为切点，通常只有一个结果•比如，l,l,l都是过P点的切线，l则是在P点处的切线•过曲线上一点的切线和在某1 2 3 3点处的切线是两个不同的概念.【正解】 设切线在曲线上的切点为(x,x3+2x)，而y' 二3x2+2，故切线00 0 x=x0 0方程为y一x3一2x=(3x2+2)(x一x)，①0000由题意，该切线过点(1,3).从而有3—x3—2x=(3x2+2)(1—x)，整理得(x—1)2(2x+1)=0，所以x=10000000或x0=—2.代入①就不难得到切线方程为5x—y—2=0或11x—4y+1=0.2误区四、误认为：“f'(x)=0”是“x=x是极值点”的充要条件

00/例4 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,求f⑵.If'(l)=0, la=—3,【错解】 f'(x)二3x2+2ax+b，由题意得，仁小1八解得・Q或Lf⑴=10, [b=3.[a二4,< :.f(x)二x3—3x2+3x+9或f(x)二x3+4x2—llx+16.:.f(2)=11或[b=—11.f⑵二18.【剖析】上面错解在于认为导数为0的点就是极值点，事实上，f'(x)=0是可导函0数在x二x处有极值的必要不充分条件.当f(x)二x3—3x2+3x+9时，0f'(x)二3x2—6x+3二3(x—1)2在x二1的两侧不异号，故不是极值点.【正解】同错解，得f(x)二x3—3x2+3x+9或f(x)二x3+4x2—11x+16.当f(x)二x3—3x2+3x+9时，f'(x)二3x2—6x+3二3(x—1)2，显然，当x丰1时，f'(x)>0，所以x二1不是极值点，故f(x)二x3+4x2—11x+16，f(2)二18.误区五、对函数单调的充要条件理解不清而致错例5已知函数f(x)二ax3+3x2—x+2在R上是减函数，求a的取值范围.【错解】f'(x)=3ax2+6x—1，f(x)在R上是减函数，•••f'(x)<0对xgR恒成立.•a<0，且A=36+12a<0，故a<—3即为所求.【剖析】f'(x)<0是f(x)为减函数的充分不必要条件，本题忽视了f'(x)=0的特殊情况而致错•一般地，可导函数f(x)在区间(a,b)上是增(减)函数的充要条件：对任意的xg(a,b)都有f'(x)>0(f'(x)<0)，且f'(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒等于0.特别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时，要注意等号是否成立.【正解】由题设易得f'(x)=3ax2+6x—1.f(x)在R上是减函数且f'(x)在R的任意子区间上不恒为0,•••/'(x)<0对xgR恒成立，即a<0，A=36+12a<0，•a<—3即为所求.误区六、混淆极值与最值而致错例6求函数f(x)=sin2x-x例6求函数f(x)=sin2x-x在一一上的最大值和最小值.错解】兀f'(x)二2cos2x-1，令f'(x)二0得2cos2x一1=0，解得x二一或16兀x—26时，f'(x)<0，所以f(x)在xG是减函数；当时，f'(x)>0，所以f(x)是增函数；当xGf'(x)<0，所以f(x)是减函数•①兀 J3兀 兀 …所以当x二时，f(x)取最大值〒-―三；当x二—时，f(x)取最小值三-6 26 6 6【剖析】极值不一定是最值，最值也不一定是极值•对闭区间［a,b］上的连续函数，还要将极值点与端点的函数值比