八年级数学《勾股定理》章节复习讲义

授课主题勾股定理章节复习

1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；

教学目的2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；

3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.

重、难点勾股定理的应用

教学内容

上节课程知识点回顾

知识点一：勾股定理

要点一、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边匕的平方和等于斜边c的平方.（即：a2+b2=c2}

2.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；

（3）求作长度为防的线段.

要点二、勾股定理的逆定理

1.原命题与逆命题

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把

其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

2.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长久b、C,满足。2+。2=。2,那么这个三角形是直角三角形.

应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：

（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为C;

⑵验证与/+〃是否具有相等关系，若/+/=/,则AABC是以NC为直角的直角三角形，反之,

则不是直角三角形.

3.勾股数

满足不定方程f+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以％、y、z

为三边长的三角形一定是直角三角形.

常见的勾股数：①3、4,5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果（心仪C）是勾股数，当t为正整数时，以成、bt、（7为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：

1.较小的直角边为连续奇数；

2.较长的直角边与对应斜边相差1.

3.假设三个数分别为a、b、c,且a<Z?<c,那么存在/=b+c成立.（例如④中存在7?=24+25、92

=40+41等）

要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

典型例题

类型一、勾股定理及逆定理的应用

如图所示，直角梯形ABCD中，AD/7BC,ZB=90°,AD=3非,AB=1OV5,BC=8百，E是AB

上一点，且AE=4A6，求点E到CD的距离EF.

类型二、勾股定理与其他知识结合应用

▼2、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC=400米，BD=200米,

CD=800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家.试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？

匚二二二mn

C

A・

C3、如图所示，等腰直角aABC中，ZACB=90°,E、F为AB上两点（E左F右），且NECF=45°,求

证：AE2+BF2=EF2.

Cd、已知：如图，4ABC中，NCAB=120°,AB=4,AC=2,AD±BC,D是垂足，求AD的长.

AR

类型三、本章中的数学思想方法

1.转化的思想方法：我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问

题转化为直角三角形问题来解决.

C5、如图所示，4ABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的

点，且DELDF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长.

2.方程的思想方法

、如图所示，已知AABC中，ZC=90°,ZA=60°,白+小=3+^，求a、8、c的值.

B

变式训练

【变式1】如图所示，在AABC中，D是BC边上的点，已知AB=13,AD-12,AC=15,BD=5,求DC的长.

【变式2】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E,AE=3,EB=1,在AC上有一点P,使EP+BP最短.求

EP+BP的最小值.

【变式3】已知凸四边形ABCD中，/ABC=30°,/ADC=60°,AD=DC,

求证：BD2=AB2+BC2

DB

【变式4】直角三角形周长为12cm,斜边长为5c777,求直角三角形的面积.

知识小结

当堂检测

1.在△ABC中，若a=/-1,。=2〃,c=+1,则△ABC是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形

2.如图，每个小正方形的边长为1,A、B、C是小正方形的顶点，则NABC的度数为（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

3.在下列说法中是错误的（）

A.在AABC中，ZC=ZA—ZB,则AABC为直角三角形.

B.在aABC中，若NA：ZB：/C=5：2：3,则AABC为直角三角形.

34

C.在aABC中，若。=—c,b=—c,则AABC为直角三角形.

55

D.在AABC中，若a：b：c=2：2：4,则AABC为直角三角形.

4.若等腰三角形两边长分别为4和6,则底边上的高等于（）

A.V7B.V7或标C.472D.40或77

5.若三角形的三边长分别等于J5、、以2,则此三角形的面积为（）

,V2V3

A.---B.41D.若

22

6.如图，RtaABC中，NC=90°,CDLAB于点D,AB=13,CD=6,贝ijAC+BC等于()

A.5B.5V13

C.13V13D.975

7.已知三角形的三边长为。、b、，由下列条件能构成直角三角形的是（

A.a2=(m—1)',b2=4/w2,c2=(〃z+l)~B.a2=(〃2—1)~,Z?2=4m,C2=(〃2+l)-

C.a2=(nz-l)~,b2=2m,c2=(nz+l)'D.a2=—1)',b2=2nr,c2=(m+1)一

8.如图，已知直角梯形ABCD中，AD〃BC,AB±BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动，则当PA+PD

取最小值时，/XAPD中边AP上的高为（）

A.—V17B.C.D.3

171717

课堂总结

家庭作业

1.如图，平面上A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点C在A的东南方向，在

B的西南方向.甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30cm/min.结果甲蚂蚁用了2min,

乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，两只蚂蚁原来所处地点相距5

2.如图，AB=5,AC=3,BC边上的中线AD=2,则4ABC的面积为

3.如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6,BC=8,将直角边AB折叠使它落在斜边AC上,

折痕为AD,则BD=一.

4.△ABC中，AB=AC=13,若AB边上的高CD=5,则BC=_.

5.如图，长方体的底面功长分别为Ian和3c”7,高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过四个侧面

缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要cm,如果从点A开始经过四个侧面缠绕〃圈到达点B,那

么所用细线最短需要cm.

6.已知：AABC中，AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,BC=.

7.已知，如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，四边形OABC是矩形，点