交大有限元课件

第一讲

弹性力学基础主要内容1弹性力学问题微分提法23弹性力学问题变分提法45变分初步张量初步绪论一、绪论弹性力学的内容弹性-外力消失后，物体恢复原状的特性。弹性体-仅仅有弹性性质的一种理想物体。弹性力学-研究弹性体在外界因素影响下，其内部所生成的位移和应力分布的学科。

人类利用物体的弹性可以追溯到无穷久远的年代，但是弹性力学作为一门科学却是伴随着工业革命而诞生的，并被广泛应用于土木、航空、船舶、机械等工程领域。弹性力学的内容弹性力学是固体力学的一个重要分支，而固体力学最古老的分支学科则是材料力学。材料力学研究构件正常工作时必须满足的强度、刚度、稳定性问题。为了解决这些问题，自然要研究外力作用下物体内的应力、应变和位移。但材料力学主要只解决了几何形状为杆的构件，而对板、壳、实体等非杆件结构，一般不能解决。就是对于杆，也解决的比较粗糙和不彻底。弹性力学的内容 以上问题在材料力学中都解决不了，而在弹性力学中则可得到精确的解答。在工程中还有很多类似的问题。矩形截面杆受扭转带小孔的平板受拉伸发展概述弹性力学迄今已有三百余年的发展历史1678年Hooke提出变形与外力成正比的定律1821年Navier和1823年Cauchy建立了关于应力的平衡方程，形成了弹性力学的初步理论Saint-Venant(1855)关于扭转与弯曲的解答，Muskhelishvili(俄语为Мусхелишвили）(1933)的复变解法是弹性理论发展中的经典之作前面提到的矩形截面扭转就是通过保角变换将其映射为圆形截面进行求解二十世纪下半叶，弹性理论进一步深化和扩展，许多基本概念和基本问题被深入和细致的研究，并与其它物理因素相互耦合出现了许多交叉领域热弹性力学粘弹性力学……发展概述如前所述，弹性力学研究的是弹性体受力变形的一般规律，它对弹性的几何形状和外力作用方式原则上没有任何限制。在处理上也解除了材料力学中一些很不自然的假设，如杆弯曲时的平截面假设。这必然要求在理论上有更高的严密性和更强的逻辑性，同时数学工具必然用的更多、更复杂、更完备。随之，在应用上必然更普遍、更广泛、更精确。任何一门工程学科向高级、成熟发展，都会有这种“假设减少、数学增多”的特征。发展概述通过弹性力学的学习、或者通过数学物理方程的学习，我们知道求解偏微分方程的边值问题，一般说来是非常困难的。边界形状稍微复杂一些，就难以求得解析形式的精确解。然而，工程中又提出了越来越多的无法获得精确解析解的问题，并且对这些问题的解又提出了较高的精度要求。于是，人们转而寻求弹性力学问题的近似解法。甚至会出现这样的情况：某些问题可以获得精确解，但如果求解过程十分复杂，最后结果的形式又不简便（如以某种无穷级数的形式表达）。这时，工程师们很可能不欢迎这种所谓的“精确解”，宁愿抛弃它而转向求近似解。本讲主要目标复习、巩固弹性力学知识引入、应用张量的表述形式简化书写透视本质方便文献阅读……介绍数学中的变分概念，建立弹性力学问题的变分提法，为理解有限元分析铺垫基础二、张量初步概述设有某一物理定律，确定了各种物理量在某个坐标系K中的分量a，b，c，……之间的关系。那么在另一坐标系K’下，该定律写成包含分量a’，b’，c’，……的式子应当与原坐标系下的式子具有相同的形式。它们都反映了这些物理量之间的同一客观规律，也就是说，物理规律在坐标变换下应该是不变的。引入张量的意义就在于保持物理规律表达式的不变性。当然，简化书写也是其重要意义。正如标量是特殊的矢量，标量和矢量都是特殊的张量。下面将从坐标变换的观点对其进行统一描述。为此首先介绍指标记号和求和约定接着介绍了两个常用的记号δij和eijk然后复习线性代数中坐标旋转变换最后统一地在坐标变换下介绍向量、矢量和张量为对比，可以回忆一下弹性力学中平衡方程在不同坐标系下的表达形式。2.1指标与求和许多物理量不能用一个标量加以表述，必须用一组标量变量才能描述。每个标量称为该物理量的分量，并且这些分量与坐标系密切相关。如点的位置：用三个坐标x，y，z表示位移：用三个坐标轴方向的分量u，v，w表示速度：用三个坐标轴方向的分量vx，vy，vz表示应力状态：用九个应力分量σx，σy，σz，τxy

，τyx

，τyz，τzy，τxz，τzx表示……2.1指标与求和为书写简洁，便于采用求和约定，在张量符号中，都采用相同字母标号。即将某一物理量的所有分量用一个符号表示，并附加标号以区分各个分量。

位移：u1，u2，u3。用ui表示应力状态：σ11，σ22，σ33，σ12，σ21，σ23，σ32，σ13，σ31。用σij表示。本章中，如果未加说明，字母标号中的字母（如i，j）都可取为1、2、3。即字母的约定域为1、2、3。2.1指标与求和同一项中反复出现的字母标号称为求和标号(部分文献中称为哑指标)，表示将该标号按顺序1、2、3轮换所得各项之和，这就是求和约定。不重复出现的字母标号称为自由标号，表示一般项，可取1、2、3中任何一个值。

上面第二式中i即为自由指标，因此实际上表达了三个式子。2.1指标与求和比如对下面的线性方程组

采用指标记号，可将其简写为(i为自由指标)求和标号可以任意变换字母，因为此处已经不是将其用来区分所代表的各个分量，而仅是一种约定的求和标志。2.2常用符号按照前面约定，δij有九个分量，称为Kronecker符号。该符号也称为换标符号。现在来考察表达式根据δij定义：当j＝1时，δi1Ai＝A1当j＝2时，δi2Ai＝A2当j＝3时，δi3Ai＝A3由此可见δijAi＝AjAi的下标i换为j2.2常用符号按照前面约定，eijk

有27个分量，称为Levi-Civita

符号。该符号也称为排列符号，即指i,j,k按1，2，3顺序轮换排列时等于+1，按逆序轮换排列时等于-1，而三个指标中有两个或两个以上相等时等于0。δij和eijk关系eijk

eist＝δjs

δkt

－δjtδks后面我们将会证明并应用这个式子。1232.2常用符号例子对于下面的方程组应用δij可将上列九式写成2.2常用符号例子 三阶行列式：利用代数余子式，展开并整理可得分析上式各项，可见列标号都是按1、2、3顺序轮换。而行号则不然，前三项（都是正项）是顺序轮换，后三项（负项）都是逆序轮换。因此，应用eijk可将上式简写为1232.2常用符号例子三阶行列式：上面展开整理是按照列进行的，如果按照行进行则有如果行列式有相邻两列对调一次位置，行列式将改变一次符号。而上式中行列式的轮换性质将改变，由顺序变为逆序。同样，对重新编号后的行列式利用指标符号按行进行展开，则有ijkijk2.2常用符号例子三阶行列式：因此，列的次序变换奇数次，将改变行列式的值，也将改变行标号的轮换次序。反之，行的次序变换偶数次，则不改变行列式的值，也不改变行标号的轮换次序。于是，当列号不是按照顺序轮换1、2、3排列，而是按照某种次序r、s、t排列，则知：当r、s、t排列为顺序轮换时，表示列变换了偶数次，行列式值不变；同时，指标rst由123经偶数次变换后得到，仍为顺序。当r、s、t排列为逆序轮换时，表示列变换了奇数次，行列式值改变正负号；同时，指标rst由123经奇数次变换后得到，为逆序。所以行列式的换列和变号信息可由eijk表示类似的，对于行的情况可以得出2.3线性代数复习矢量与坐标设{O;x1,x2,x3}是三维空间的直角坐标系,e1,e2和e3分别为沿Ox1,Ox2

,Ox3轴正向的单位向量(基向量)，则任一向量OP＝r可以唯一的表示为

r

＝x1e1+x2e2+x3e3x1，x2，x3称为向量r的坐标。e1,e2和e3分别是两两垂直的一组单位向量，通常也称为直角坐标系的一组标准正交基。显然，矢量本身与坐标系的选择无关。但是它的分量将随坐标系的不同而异，一般说来，同一个矢量在不同坐标系中，将由不同的分量来表示。2.3线性代数复习基向量变换建立三维空间的坐标系{O;x1,x2,x3}，其基向量为{e1,e2,e3}。假设空间另有一坐标系{O;x1’,x2’,x3’}，其基向量为{e1’,e2’,e3’}。如果li’j表示，即轴xi’和轴xj夹角的余弦轴轴x1x2x3x'1l1’1l1’2l1’3x'2l2’1l2’2l2’3x'3l3’1l3’2l3’32.3线性代数复习基向量变换上式给出的是基向量ei’

(i=1,2,3)和ei(i=1,2,3)之间的变换关系。表示为矩阵形式，即采用指标记号，可以简洁的记为记为矩阵形式，即2.3线性代数复习基向量变换故矩阵L正交矩阵。由正交矩阵性质，知L-1＝LT，容易反解得到基向量间的逆变换表达式如下即2.3线性代数复习坐标变换设从坐标原点O至点A的矢量为a，它在旧新坐标系中的坐标分别为{a1,a2,a3}和{a1’,a2’,a3’}。则a可以表示为利用前面得到的基向量变换公式，则有2.3线性代数复习坐标变换即采用指标记号，即上式就是矢量a的分量从新坐标系变换到原坐标系的公式。同理，可以导出从原坐标系变换到新坐标系的公式2.3线性代数复习矩阵变换由线性代数可知，空间中线性变换完全由基向量的变换规则确定。矩阵就是线性变换在选定基下的坐标化表达。对任意矢量a， 其中，Ψ为线性变换算子，A为该线性变换在基{e1,e2,e3}下的矩阵表达。同理，在基{e1’,e2’,e3’}下则有基向量的变换规则2.3线性代数复习矩阵变换由前面的基变换公式和向量变换公式，知将其代入上述旧坐标系下线性变换表达式，则有对比新坐标系下线性变换表达式由a‘的任意性，得上式即为坐标变换下矩阵变换。采用指标记号可将其简写为大家可以自己推导其逆变换。2.3线性代数复习向量内积由标准正交基向量定义，可知有

δij＝ei•ejδi′j′＝ei′•ej′故，任意两向量内积 a•b

＝(aiei)•(bjej)

＝aibjei•ej＝aibjδij

=aibi特别有向量外积利用前面有关行列式的讨论，则外积定义行列式换行换标2.3线性代数复习下面证明δij和eijk关系，并借此进一步熟悉张量运算 ekspeipj

＝δisδjk

-δikδjs双重外积公式（可查阅高数课本）

a×(b×c)＝(a•c)b-(a•b)c将式中三个向量表示为分量形式，即 a＝aiei，b＝bkek，c＝cses代入上式左右两边，得到 a×(b×c)＝aiei

×(bkcseksp

ep) ＝aibkcs

eksp

eipjej (a•c)b-(a•b)c＝aics

δisbk

ek

-aibk

δikcs

es

＝aibkcs

(δisδjk

-δikδjs)ej

2.3线性代数复习利用双重外积公式，证明δij和eijk关系即 aibkcs

eksp

eipjej＝aibkcs

(δisδjk

-δikδjs)ej

移项，合并则有aibkcs[ekspeipj

-(δisδjk

-δikδjs)]ej=0由于ai，bk，cs的任意性，从而可得 ekspeipj

＝ekspejip

=δisδjk

-δikδjs习题1：大家可以尝试用Lagrange公式来证明 (a×b)•(c×d)=(a•c)(b•

d)-(a•d)(b•

c)习题2： 甚至可以采用枚举法，对i,j,k,s的所有81种取值情况逐个证明。2.4笛卡尔张量张量（Tensor）是表征一类物理状态或几何性质的物理量或几何量。它包括诸如表征连续介质的应变状态和应力状态的量，表征物体弹性性质的量等等。“张量”这个名称就来源于它与应力（张力）有关的历史。实际上，理论力学中刚体的转动惯量也是一个二阶张量，但在理论力学教科书中，对此通常都是避而不谈。后面我们将来证明这一点。在讨论张量之前，先对标量和向量（或矢量）作进一步的考察，这将有助于我们更清楚的理解张量的概念。2.4笛卡尔张量标量（Scalar） 由一个实数即可确定的物理量或几何量。 标量可以分为两种一种在坐标系的变换下不变，即与坐标系的选择无关，称为绝对标量。如物体的质量、温度等，也称为纯量、数量、……另一种则是与坐标系的选择有关，比如作为矢量分量的标量，称为非绝对标量。作为张量范畴的标量指的都是绝对标量。2.4笛卡尔张量例子

设A、B是空间的两点，在直角坐标系{O;x1,x2,x3}中它们的坐标分别为ai、bi（i=1,2,3）。用Δs表示两点间距离，即线段AB的长度，则Δs为标量。证明：

根据线段长度公式有： 据前所述，坐标系的旋转变换为

A、B在直角坐标系{O;x1',x2',x3'}中它们的坐标分别为ai'、bi',令

Δxi＝ai－bi，Δxi'＝ai'－bi' 利用以上变换有故有参照定义，线段长度为标量。2.4笛卡尔张量矢量（Vector）通常矢量的定义是具有大小和方向的量。为了进一步推广，下面引入新的定义。由3个与坐标系选择有关，并且服从转轴公式的标量所确定的物理量或几何量。矢量可以用一个黑体字表示，也可以用它的三个分量表示，有时也将其表示为向量。（弹性力学中的基本变量通常表示为列向量）但并非任何三元素列矩阵均为矢量。比如a1表示年龄，a2表示身高，a3表示体重，则可以组成一个向量（a1，a2，a3）T。此向量也可以参加矩阵加法、数乘等运算来求得一群人的年龄、身高、体重的平均值。但并不是矢量。此处定义的矢量是狭义的矢量，或者是严格意义上的矢量。

2.4笛卡尔张量例子

空间中任一点的位移为矢量。证明： 设点P在坐标系{O;x1,x2,x3}下的坐标为 xi＝xi(t)则P在时间间隔（t，t+Δt）中的位移为 ui＝xi(t+Δt)-xi(t) 在新坐标系{O;x1′,x2′,x3′}中，它们成为 ui′＝xi′(t+Δt)-xi′(t) 由坐标变换公式得同理，可证速度、加速度都是矢量。参照定义，位移为矢量2.4笛卡尔张量张量（Tensor）由9个与坐标选择有关，并且满足如下转轴公式的标量所定义的量。二阶张量通常也可以记成矩阵形式。自然，并非任何3×3矩阵都能称为张量，只有服从转轴公式的才可以。有时也把标量称为零阶张量，矢量称为一阶张量。一个张量的分量的个数就等于维的阶次方。二维矢量（二维一阶张量）：21＝2个分量(平面矢量)

三维矢量（三维一阶张量）：31＝3个分量(空间矢量)空间的维数与张量的阶次是两个完全不同的概念。 对比矢量定义维数是指标的取值范围，阶数是脚标的个数。相对论中维数就是四。2.4笛卡尔张量例子

1Kronecker符号证明：

由基向量间的变换公式以及标准正交基的内积，得

δi’j’＝ei’•ej’＝li’kek•lj’ses

＝li’klj’sδks故Kronecker符号实际上是二阶张量。习题：类似的，证明排列符号eijk是三阶张量

参照张量定义2.4笛卡尔张量例子

2刚体转动惯量证明： 设刚体的角速度为ω，则刚体内任一点的速度为

v＝ω

×r 式中r为质点的位置矢量。 刚体的角动量矩为其中，下式即为刚体的转动惯量

指标轮换对称性2.4笛卡尔张量例子

2刚体转动惯量 利用δij和eijk关系代入转动惯量表达式，有坐标变换公式为

换标2.4笛卡尔张量例子

2刚体转动惯量 由前一例子可知δij为二阶张量。 由有关线段长度的定义知xpxp为标量，即在坐标变换下不变。并且由求和指标性质知 对于xixj，有综上：

参照张量定义可知转动惯量为二阶张量2.4笛卡尔张量张量运算加减法，与矩阵加法规律相同。标量与张量相乘，与矩阵数乘规律相同。张量的微分记号张量分解分解为对称张量和反对称张量分解为球张量和偏张量张量不变量类比与矩阵中的特征值和特征向量理论。张量是一种数学工具，早期只是把它作为一种方便的速记符号来用，使公式变得简洁明了。但在近几十年，张量理论得到很大发展，成为研究连续介质力学的锐利工具。这里只是引出了张量最基本的概念，希望能够有助于大家对于课本的理解，乃至文献的阅读。本页列出的三个论题，将在后面结合具体问题来讨论。三、弹性力学问题的微分提法概述本节回顾了弹性力学中的一些基本概念，但由于主要目的是以张量为工具，对弹性力学进行表述，因此并不追求弹性理论上的完备性。除熟悉张量工具外，某些力学概念也做了适当的加深。内力分析部分点的应力状态，坐标轴旋转时应力分量的计算主应力及应力不变量，应力张量的分解变形分析部分应变张量的推导及其物理意义刚体变形分析本构理论从热力学出发建立应变能函数线弹性理论的推导弹性力学方程汇总张量的降阶矩阵算子表达式不同坐标系下方程的推导3.1内力分析点的应力状态

若一点的9个应力分量被确定，则该点的应力状态就完全被确定了。

上面这句话只有在做到下面这件事后，才能认为是正确的：该点任何斜截面上的应力都可用这9个分量表示。

弹性力学中已经证明这一点，此处直接引用相关结论。右图为弹性力学中常见的四面体微元。对三个轴向考察合力平衡，可以得到斜截面应力公式n的三个方向余弦用l1,l2,l3表示，即l1＝cos(n,x1),

l2＝cos(n,x2),

l3＝cos(n,x3)左式通常也用来表示应力边界条件3.1内力分析点的应力状态上式就是著名的Cauchy应力公式，将其表示为矩阵形式，即可以采用指标记号，将其进一步简写为如果对三个轴向考察弯矩平衡，即可得到剪力互等定理所以3.1内力分析坐标轴旋转时应力分量的计算利用上面的结果，可以把某新坐标系{O;x1’,x2’,x3’}中的9个分量用原坐标系中{O;x1,x2,x3}的9个量表示出来。在斜截面上建立直角坐标系，其三轴为r，m，n。n轴与法线重合，r和m在平面任取，只要求互相垂直。将应力矢在r，m，n三个轴上的投影用σnr,σnm,σmr表示。m轴的方向余弦记为lm1，lm2，lm3，依次类推n、r。根据矢量投影为其分量投影之熟悉张量式最好的办法是将其写成展开式，进而写成矩阵式。多次练习之后就可以建立起它们之间的联系，也就能体会到张量式清晰简洁的优点。3.1内力分析坐标轴旋转时应力分量的计算应用Cauchy公式则有利用矩阵形式表达，即3.1内力分析坐标轴旋转时应力分量的计算仿照不难写出新坐标系下9个应力分量，以σ2′3′为例采用自由指标表达，即表达为矩阵形式，即x1x2x3x'1l11l12l13x'2l21l22l23x'3l31l32l33新旧坐标系夹角的余弦由张量定义知，应力为二阶张量3.1内力分析主应力由下式 看出，在坐标旋转的情况下，张量分量的变换和矩阵分量的变换是一样的。由剪力互等定理，应力张量是对称的。线性代数矩阵理论指出，在坐标旋转的情况下，如果矩阵满足以下两个条件矩阵元素为实数矩阵对称 则一定可以找到一组可以将矩阵对角化的坐标系这个结论对应的物理意义即：对于物体内任意一点，必定存在三个实数值的主应力及一组正交的主方向。3.1内力分析主应力主应力问题的力学提法 我们知道，经过物体内一点的任意截面上的应力矢量，不仅与该点的应力张量有关，而且依赖于截面的方向。因此，很自然会提出下面的问题：是否存在这样一个截面，其应力矢量沿着截面法向？也就是说，应力矢量就是作用在截面上的正应力，切应力等于零。以下的讨论中将具有上述特性的正应力称为主应力，它是应力张量的主值。而起作用的截面称为主平面，主平面的法向则为应力张量的主方向。假设右图中的斜截面是符合上述要求的面元，并且作用于其上的应力为σ，利用前面的Cauchy公式则有表达为矩阵形式即一点的主应力3.1内力分析主应力上面实际是一个矩阵特征值问题，非零解存在的条件就是相应的行列式系数为零，即

可以采用指标符号，更简洁的记为展开行列式为3.1内力分析主应力与应力张量不变量上式也可改写为式中I1、I2、I3为应力张量不变量，表达式为3.1内力分析应力张量不变量这是个一元三次方程，设以σ1，σ2，σ3表示它的三个根根据代数方程的系数与根的关系，I1、I2、I3可以写为由于主应力的值与坐标系的选择无关，即由上述三式可知I1、I2、I3可以也是与坐标选择无关的量。这就是不变量名称的意义。下面以第一不变量为例，利用转轴公式证明3.1内力分析应力张量的分解应力张量可以分解为两部分，一部分为均匀应力状态，其主应力相等，切等于平均应力。表示为矩阵即这叫做球应力张量，只与材料的体积应变有关。应力张量的其余部分称为偏应力张量，至于材料的形状改变（剪切变形）有关，其分量为可以类似的求出偏应力张量的三个不变量，它们在塑性力学中有着重要的应用。其中3.1内力分析平衡方程Gauss公式（该公式以后经常用到，希望大家能够复习）对于弹性力学中的应力，该公式可以写为更简洁的形式隔离体平衡 在物体内用封闭曲面S包围体积V，得到隔离体。作用在S外表面上的应力矢用Ti表示，作用在V上的体力用Fi表示。由合力为零，得 代入Cauchy公式，得3.1内力分析平衡方程Gauss公式隔离体平衡结合以上两式注意到V是任意取的，要上式成立必然有被积函数恒为零。即

由于建立了连续函数体积分与面积分之间的关系，Gauss公式是应用数学中最有用的公式之一。这里的思想方法，以后经常遇到。3.2变形分析构形与位移在小变形假设下，由于变形很小，因而忽略了物体受力后在空间位置的变化。但更一般的情况是，变形比较大，必须考虑这种改变。为了描述物体变形前后的两种不同状态，引入了构形的概念。构形(configuration)：在某一瞬时，物体在空间所占据的区域。有时也将其称为位形，顾名思义，就是描述了物体的位置和形状。是指由坐标系所描述的变形体的几何形貌。在时间t＝0，物体的初始构形为V0，并参考于一固定的坐标系{xi}。 物体内任一质点P可由矢径r或其质点坐标（x1，x2，x3）来表示。构形V0被称为初始构形。在后来某一瞬时t，物体被移动到空间另一位置，其构形为V，称为当前构形。描述这一构形，用直角坐标系{ξi}。 初始构形中的P点，变形后被移动到空间位置的Q点，可由矢径R或质点坐标（ξ1，ξ

2，ξ

3）来表示。如右图所示，可以令坐标系{xi}和{ξi}重合。3.2变形分析构形与位移可以把物体由初始构形到当前构形的变化，看作是一种数学上的变换。因而同一质点变形前后的关系有ξi＝ξi（x1，x2，x3，t

）（i＝1，2，3） 显然，ξi应当是xj的单值连续函数。并且由定义可得ξi＝ξi（x1，x2，x3，0

）＝xi（i＝1，2，3）位移(displacement) 如果令ui表示质点沿xi轴方向的位移，则 ui＝ξi

-xi（i＝1，2，3） 或改写为向量形式有

u=R-r3.2变形分析构形与位移物体内的位移可分为两种：刚体位移：位移发生后物体内各点依然保持初始状态的相对位置不变，位移由物体在空间作刚体运动而引起。变形位移：位移发生时改变了物体内各点的相对位移。这也是弹性力学感兴趣的位移，因为这种位移与物体内的应力有关系。如右图，在变形前物体上取三个邻点P、P′、P″，变形后这三个点分别移动到Q、Q′、Q″，。显然，如果能知道三角形的三边长度的变化，那么变形后三角形的形状和夹角就可以完全确定。如果把物体内所有这种微小三角形拼合在一起，那么除了物体在空间的位置之外，变形后的新形态可以完全确定。所以，描述物体内任意两点间距离的变化，将是分析物体变形的关键。3.2变形分析应变张量考察物体内两相邻点P(x1,x2,x3)、P′(x1+dx1,x2+dx2,x3+dx3)。变形前，线元PP′的原始长度ds0的平方为P、P′变形后移动到Q(ξ1,ξ

2,ξ

3),Q′(ξ1+dξ1,ξ

2+dξ

2,ξ

3+dξ

3) 线元QQ′的长度ds的平方为由于构形的变化看作从xi（i＝1，2，3）到ξi（i＝1，2，3）上的一种数学变换，即

ξi＝ξi（x1，x2，x3）（i＝1，2，3）故有3.2变形分析应变张量于是，线元长度平方之差可写成引进应变项上式可以写为应变Eij称为Green应变，为大变形分析条件下常用的应变度量。为了得到应变和位移的关系，考虑前面的位移场3.2变形分析应变张量于是，代入Green应变表达式，并注意δij的换标作用由于小变形的假设，上式中位移导数的二次项相对于它的一次项可以忽略，因此Green应变可以退化为小位移情况下的无限小应变张量εij，即大家可以尝试证明，应变也是二阶张量。因此，同样可对其进行应变状态分析、确定主应变及主应变方向、求解应变不变量……3.2变形分析应变张量的物理意义 现在我们考察如何通过应变张量确定线元的相对伸长。设已知任意线元ds0变形前与x1轴平行，其分量为dx1=ds0，dx2=dx3=0；变形之后为ds，于是线元的相对伸长为根据前面讨论，在小变形假设下有将其代入上式，并注意到dx1=ds0，得注意相对伸长比就是通常意义下的正应变！因此ε11数值上等于工程正应变εx。同理可讨论ε22和ε33。3.2变形分析应变张量的物理意义 考察如何通过应变张量确定两垂直线元间角度的变化。设变形前线元ds0与x1轴平行，其分量为dx1=ds0，dx2=dx3=0；变形前线元ds′0与x2轴平行，其分量为dx2=ds0，dx1=dx3=0。变形后为ds(dξi)和ds′(dξ′i)，列出变形后线元ds与ds′的内积根据Green应变定义，并注意到其中δij＝δ12＝0，得将其代入上式，得由前面分析知3.2变形分析应变张量的物理意义整理以上各式得则变形前相互垂直的ds0与ds′0两线元间夹角的变化于是有在小变形情况下上式即工程剪切应变γxy：变形体内一点沿x1和x2方向两线元间直角的变化。同理可讨论其他分量。3.2变形分析刚体变形前面我们以物体内任意两点间的距离变化为出发点，详细讨论了物体的应变。然而，物体在外力作用下产生的位移是由刚体运动和变形共同引起的。 例如右图中任意线元AB变形后移动到新位置A’B”。它的运动可以看作：线元AB先做刚体平动到A’B’，然后经过伸长变形和刚体转动到A’B”。下面来考察刚体转动部分，并限于讨论小变形情况。 显然，在考虑刚体转动时，只与线元AB端点的相对位移有关。 设A点和B点的位移分别为uA和uB。 如将邻点B的位移展开为A点的Taylor级数， 并略去二次以上微量，得到

线元AB两端点的相对位移为3.2变形分析刚体变形采用指标记号，上式可以写为可以证明位移的一阶偏导数是二阶张量。写成矩阵形式，即

通常将其称为位移梯度张量。3.2变形分析刚体变形在一般情况下 所以位移梯度张量一般是不对称的。为了将刚体转动和伸长变形分开，可以将位移梯度张量分解为一个对称张量和一个反对称张量之和： 上式右端的对称张量就是小变形的应变张量εij，而反对称张量与线元的转动有关，称为小变形的转动张量，记作ωij。故上式可写为其中由该式可知，仅当εij<<1，并且ωij<<1时才有ui,j<<1。也就是说，小变形的情况要求变形和转动都是微小的。3.2变形分析转动张量的物理意义现在我们考察变形体内过某点在x1x2平面上的线元绕过该点且垂直于x1x2平面的轴作刚性转动引起的角位移。 取x1x2平面上过P点且分别平行于x1轴和x2轴的两线元PA和PB。如图 小变形时，设它们在平面内相对x1

、x2轴转角为α1和α2。 对此两线段位置改变可看作PAB作为整体（即PA和PB保持垂直）逆时针转过角度（α1–α2)/2到虚线位置，然后线段PA再逆时针转动角度（α1+α2)/2，而线段PB则顺时针转动角度（α1+α2)/2。3.2变形分析转动张量的物理意义这样，PA与PB的剪切变形为或应变张量分量为若按右手螺旋规则用矢量Ω表示点P的刚性转角，那么矢量在x3方向的分量，即点P处微元体绕x3轴的刚性转角，可记为Ω3。由上面分析显然有利用排列符号，可将转动张量和转动矢量之间的关系用指标记为3.3本构关系在前面两节，我们分别从力学和几何的观点出发，导出了平衡方程和几何方程。 这些方程只反映物体变形过程中所应遵循的运动规律和连续性条件，而不涉及具体材料的物理特性，因此对一切连续体均适用。弹性力学的目的是研究弹性体在外因（包括荷载、温度……）作用下的力学响应（包括应力、变形……）。 显然，仅从上述方程出发，不足以解决问题。必须建立一组把应力、变形和温度等联系起来的方程。

3.3本构关系一般将描述物质特性的方程称为该物质的本构方程。应力与应变关系描述了物质的力学特性，因此也可以称为本构关系（方程）。 研究描述变形体力学特性的本构关系，从根本上讲，应从热力学定律出发。因为物体在外力作用下的变化过程，实际上是一个热力学过程。由于具体材料物质结构的复杂性和变形机理的多样性，要通过理论分析得出一个对任何连续介质和工作条件下都适用的本构关系是不可能的。3.3本构关系通常的做法是，先根据热力学定律确定本构方程的基本框架，在配合适当的材料试验测定必要的材料特性常数，从而得到某类材料在特定工作条件下便于应用的本构关系。本节将按照这种思路介绍线弹性材料的本构关系，并且限于等温过程和绝热过程。利用这两类条件可以近似考虑绝大多数工程问题。 如前所述，在从一种状态变化到另一种状态的过程中，外力对物体作了功，同时该物体还同外界交换（吸收或放出）了热量，因而物体的总能量发生了变化。这一过程应遵循热力学的两个基本定律。3.3本构关系理想弹性体的应变能函数 热力学第一定律在无限小的时间间隔内，物体所具有的总能量的改变等于作用在该物体上的全部外力所作的功加上该物体向外界吸收（或放出）的热量。物体的总能量应包括物体各部分的动能K和内能U。前者与物体的质量和速度分布有关，而后者可以认为是取决于变形（应变）状态及温度的函数（更确切的说是泛函）。如果用A表示外力功，用Q表示热量，则按照热力学第一定律有 dA+dQ＝dK+dU 或

dU-dQ＝dA-dK为使分析简单，下面只讨论静力问题，于是dK＝0，从而有 dU-dQ＝dA3.3本构关系理想弹性体的应变能函数 热力学第一定律若某瞬时作用在物体上的外力，即体力Fi和面力pi给定。在无限小时间间隔内，物体内各点的位移变化为dui，则这一过程中的外力功为将应力边界条件代入上式并利用Gauss公式，化面积分为体积分，得3.3本构关系理想弹性体的应变能函数 热力学第一定律继续展开上式利用前面讨论的平衡方程和几何方程，得因此有3.3本构关系理想弹性体的应变能函数 热力学第二定律由于我们研究的问题是理想弹性体，其变形过程是可逆的。在从一状态到邻近另一状态的热平衡过程中，每一瞬间有一确定的温度T（取绝对温度）。对于可逆过程，按照热力学第二定律，有 TdS＝dQ 其中，S称为熵，是一个与状态有关的量。将其代入前式，则有上式是在可逆的变形过程中，利用热力学第一定律和热力学第二定律得到的结果。下面我们要说明，在某些特定情况下，对于变形可逆的理想弹性体，存在应变能函数，并可通过它确定应力应变关系。3.3本构关系理想弹性体的应变能函数 热力学自由能前面已经指出，变形过程为热力学过程。描述固体变形过程的热力学参数，通常除了前面提到的应变εij、应力σij、温度T、熵S、内能U外，有时还引入用内能U、温度T及熵S表示的自由能F，即 F＝U-ST以上各量都是状态参量，可以证明，所有这些参数中只有两个是独立的，其余参数均可表示为这两个参数的函数。也就是说，任何一个参数都可以而且只须用两个独立参数表示。例如，一般可将内能U或自由能F表示为应变和温度的状态函数。只有在下述两种特定情况下，U或F才可仅表示为应变的单值函数，这两种情况便是绝热过程和等温过程。下面分别进行说明。3.3本构关系理想弹性体的应变能函数 绝热过程快速加载（如冲击）可视为绝热过程。由于过程变化很快，物体与外界热量来不及交换，故有dQ＝0。因此有

物体在绝热过程中，温度将略有变化，因而应力也随着变化。但在小变形时，热量dQ与外力功dA相比很小，温度T的变化可以略去不计，于是应力仅是应变的函数。3.3本构关系理想弹性体的应变能函数 等温过程若加载十分缓慢，物体在变形时，可充分与外界进行热交换，因而温度保持不变，这就是所谓的等温过程。由自由能定义可得 dF＝dU-TdS–SdT代入下式

并注意等温过程中，dT＝0，于是有3.3本构关系理想弹性体的应变能函数 以上分析表明，上述两种过程中，从某一状态到邻近的另一状态，理想弹性的内能变化dU或dF都可以视为仅由应变状态的变化引起的。从而U、F可仅表示为与应变有关的函数。以上两个状态函数统称为应变能函数。若以W表示单位体积的应变能，并称为应变能密度（简称应变能），则有

应当说明，同一材料在两种过程中的W可能有差别，但差别仅仅是由于该材料在两种过程中的弹性系数不同而引起的。

小变形时，应力应变关系的形式是相同的（都可表示为线性关系）。试验表明，两种过程中的弹性常数差别十分微小，可不必区分。因而在一定温度下，同一材料在两种过程中的本构关系可以认为是完全相同的。3.3本构关系理想弹性体的应变能函数由于对于任何一个理想弹性体（绝热或等温过程中），下式都是成立的，即式中的积分区域可以是任意的，

所以对于任意域V内任一点均有由于应变能W为应变状态的单值函数，与变形过程无关，因此有上式给出了建立应力－应变关系的一般准则，即应力分量等于应变能对相应应变分量的偏导数。这一结果首先由Green得到，因此也称为Green公式。3.3本构关系线弹性体的本构关系将应变能W在εij＝0附近展开为幂级数（Taylor级数），在小应变时一般应变分量很小（εij<<1），可以略去εij的三阶小量，于是有进而有3.3本构关系线弹性体的本构关系当εij＝0时，σij＝0，即得aij＝0。若令则得式中cijkl为材料的特性常数，一般可随坐标、温度改变。它是一个四阶张量，一般的四阶张量有81个分量。由于σij和εkl各自的对称性，可以证明分别cijkl关于i、j和关于k、l对称，即最多只有36个不同的值。另外，由定义式可知，cijkl关于ij和kl也是对称的，即 cijkl＝cklij 所以，实际上在线弹性的本构关系中，在最极端的各向异性的情况下，一点最多也只有21个独立常数。对于具有各种对称面的材料，其弹性常数还会减少！3.3本构关系各向同性线弹性体的本构关系在一定的应变状态下，应变能仅是点的位置的函数，与坐标的取向无关，即应变能是一个标量函数，或者说是一个不变量。对于各向同性线弹性体，弹性系数也是不变量。于是应变能的表达式可知W为应变分量的二次齐次式。同应力张量相同，应变张量也有且只有三个独立的不变量I1，I2，I3。它们依次为应变分量的一次、二次、三次齐次式。根据多项式代数的结论，高次齐次式可以表达为低次齐次式的组合。所以各向同性线弹性材料的应变能可表示为下面的形式 其中A、B是与材料弹性性质有关的常数。3.3本构关系各向同性线弹性体的本构关系为了明确力学意义，下面用另外两个常数代替上式中的A、B。并且应变不变量用工程应变分量表达，故W可用工程应变分量表示为 其中λ、μ称为Lame弹性常数。以上分析表明，各向同性弹性体只有两个独立的弹性常数。上式可进一步化简为根据下式分别把应变能W对各工程应变分量进行求导3.3本构关系各向同性线弹性体的本构关系由上面的应变能函数可以求得以应变表示的应力为

式中 为体积应变。采用指标记号，上式可简写为3.3本构关系Hooke定律各向同性材料的两个弹性常数可由试验测定，但通常在材料力学中介绍的拉伸试验测定的并不是前面的两个Lame常数λ和μ，而是另外两个工程弹性常数E和ν。我们已经证明，各向同性材料独立的弹性常数只有两个。因此可以肯定，这些弹性常数间必有确定的关系。下面将作简单的推导。3.3本构关系Hooke定律 简单拉伸试验在简单拉伸试验中 式中E称为杨氏模量（Young’smodulus），ν称为泊松比（Poisson’sratio）。将上述结果代入用Lame常数表示的本构方程，得3.3本构关系Hooke定律 简单拉伸试验因此有求解得上式表明了Lame常数λ、μ和工程弹性常数E和ν之间的关系。3.3本构关系Hooke定律 纯剪试验工程中通常还会引入另一弹性常数：剪切模量G。有前面讨论可知，它不是独立的，与E、ν有确定的关系。通过薄壁圆筒扭转实现的纯剪试验表明

将上述结果代入用Lame常数表示的本构方程3.3本构关系Hooke定律 纯剪试验可知

5个蓝色的式子自然满足，余下一个黑色的式子。比较其中的工程剪应变γxy，得上式表明了工程弹性常数E、ν、G三者的关系，也表明了Lame常数中μ的即剪切模量G。3.4弹性力学微分方程综合前面三节，我们获得了弹性力学的全部方程。这是一组泛定方程，必须给出相应的定解条件，才能构成一个完整的弹性力学定解问题。本节主要内容汇总基本方程，并通过回顾其建立过程来讨论其适用范围和精度。讨论定解条件，即边界条件的正确提法。在理论分析时，采用张量形式是很简洁的。但在有限元编程中，常常需要将对称的高阶张量写成矩阵形式，为此介绍Voigt规则。为便于有限元中方程离散的推导，结合Voigt规则给出了各基本方程的矩阵算子表达。介绍以矩阵算子作为工具，采用坐标变换的方法，以直角坐标系下的基本方程为基础直接推导其他坐标系中基本方程的方法。3.4弹性力学微分方程基本方程 把前面得到的平衡方程、几何方程和本构方程合并在一起，即构成了弹性力学问题的基本方程组。可用张量形式归纳如下平衡方程几何方程本构方程 式中三个平衡方程联系着六个应力分量六个几何方程联系着三个位移分量和六个应变分量六个本构方程联系着六个应力分量和六个应变分量以上各式合在一起是包含15个未知函数的15个方程。这就是弹性力学基本方程组3.4弹性力学微分方程基本方程 应注意到，上述15个方程均为线性方程。这里有必要回顾一下上述方程与基本假设的关系，即分析连续性、均匀性、各向同性、线弹性、小变形等5个假设在各方程中所起的作用。上述所有方程的建立都是基于所有未知函数及偏导数均是坐标的连续函数，因而，连续性假设对平衡方程、几何方程和本构方程均是必不可少的。容易得知，均匀性、各向同性及线弹性对平衡方程和几何方程均无影响。即，上述两组方程也适用于非均匀、各向异性以及不服从Hooke定律的材料。注意，小变形假设是线性的平衡方程和几何方程成立的前提！在平衡方程的推导中，采用了变形前位置代替变形后位置，这只有在小变形系才允许。在几何方程中，仅含位移偏导数的线性项，这也只有满足小变形假设时才是正确的。3.4弹性力学微分方程基本方程如前所述，本构关系需由试验确定，但要直接由试验建立6个应力分量和6个应变分量之间的关系，几乎是不可能的，必须进行适当的理论分析。在分析中，基于小变形假设可以略去有关的高次小量，于是得到应力－应变的线性关系。这就是所谓的线弹性假设。一般说来，线弹性与小变形并没有必然的联系。某些时候，在大变形情况下，材料的应力应变关系也可能是线性的。但对于多数情况，只有小变形条件下，材料的应力－应变才服从线弹性规律，所以可以认为线弹性本构方程是基于小变形假设的。综上：连续性均匀性各向同性线弹性小变形平衡方程√√几何方程√√本构方程√√√√√3.4弹性力学微分方程基本方程现在来讨论的方程的精度平衡方程是牛顿基本定律在变形体中的应用。只要我们研究的对象不接近光速，即不进入相对论力学的范畴，该方程的精度是足够高的。对于绝大多数工程问题，这一点显然满足。对于几何方程，只要构件的实际应变足够小，例如在千分之几的量级，则精度也是很高的。本构方程的精度在很大程度上取决于材料的弹性常数，而弹性常数的标定又和试验有着密切的关系。可见，在三组方程中，本构方程的精度最低。总的说来，只要材料足够精确的符合Hooke定律，变形又很微小，则上述15个方程就非常精确的反映了弹性体内部的应力和变形规律。只要给定适当的边界条件，所得的应力、应变和位移就能十分接近问题的真实值。3.4弹性力学微分方程边界条件 如前所述，弹性力学基本方程组只是反映了任何一个弹性体内部的应力、应变和位移变化所必须遵循的普遍规律。 对于每一个具体的问题，还必须根据其边界状况提出适当的边界条件，与基本方程构成一个完整的微分方程边值问题，这样才能获得特定问题的解答。可见边界条件的重要性并不亚于基本方程组。 常见的边界条件可以分为三类：应力边界条件位移边界条件混合边界条件3.4弹性力学微分方程边界条件

1.应力边界条件

它给出了物体全部边界上的面力分布，即给出了物体表面上每一点处的三个面力分量。结合前面的Cauchy应力公式，可用张量形式将其表达为 式中，为给定的面力分量，它是已知边界面上坐标的函数。

2.位移边界条件

它给出了物体全部边界上的位移，反映了边界上的几何约束。即不允许在边界上发生位移不连续的情形。采用张量形式表达为式中，表示已知边界面处的位移分布规律。3.4弹性力学微分方程边界条件

3.混合边界条件

它包括两种情况：一种是在一部分边界上（用Sσ表示）给出应力边界条件，另一部分边界（用Su表示）给出位移边界条件。通常表示如下另一种情况是，在弹性体的某部分或全部边界上，同一点的一些方向给定面力分量，其余方向则给定位移分量。特别要注意的是，边界条件必须提的合适，既不能多，也不能少。对于空间问题，边界上每一点必须且只需给定三个正交方向的边界条件。同一方向如果给定面力就不能再给定位移，反之亦然。当然，在实际工程中还有其它边界条件。不一一列举……3.4弹性力学微分方程弹性力学微分提法 现在我们可以得到完整的弹性力学微分方程边值问题的数学表达式，即其中本构关系适用于最一般的线性弹性体。3.4弹性力学微分方程弹性力学微分提法 上式是弹性力学问题完整而严格的数学提法。由于它是从对微元体进行分析研究后，归结为偏微分方程的边值问题，通常也称为弹性力学问题的微分提法。 应该指出，作为对一种物理规律的研究，对微元体进行分析固然是一种常用的方法。我们还可以用另一种方法。 即不是从微元体而是从整体的角度，通过建立适当的泛函，并从泛函取极值的条件来研究。这种方法就是弹性力学问题的变分提法。 可以证明，作为这种泛函极值条件的Euler方程，对应于弹性力学问题的基本方程和边界条件。即以上两种提法本质上是等价的。3.4弹性力学微分方程弹性力学微分提法 在微分提法的定解问题中，基本方程具有普遍性，对于任何问题都可以直接应用。 边界条件则要结合具体问题才能写出，只有正确的给出某问题的边界条件，才能获得该问题的正确解答。 因而，能够根据具体问题正确地写出边界条件，对于工程人员是非常重要的。3.5附注“张量”一词最初由Hamilton在1846年引入，但他把这个词用于指代现在称为模量(modulus)的对象。张量的现代意义是Voigt在1899年开始使用的。

1900年Levi-Civita经典文章《绝对微分》的出版使张量为许多数学家所知。随着1915年左右Einstein的广义相对论的引入，张量微积分获得了更广泛的承认。（广义相对论完全由张量语言表述)

张量在理论推导上有着巨大的优势，但在工程应用中有时未必方便。我们可以通过Voigt规则将张量与传统的弹性力学矢量建立起对应关系。将高阶自由指标的张量写成低阶张量形式的过程叫做Voigt标记，其规则叫做Voigt规则。例如，在有限元编程中，常常将对称的二阶张量写成列矩阵。相应的，对应于传统弹性力学矢量，我们引入相应的矩阵算子。并对涉及到的符号作如下约定：黑体表示张量。[]表示矩阵。{}表示列向量。最后，简要介绍了利用坐标变换下算子的符号运算推导其他坐标系中基本方程的方法。3.5附注Voigt规则

Voigt规则的具体约定，取决于一个张量是一个动力学量（诸如应力）还是一个运动学量（诸如应变）。动力学Voigt规则二维σijσaija111222123规则3.5附注Voigt规