逆向建模与产品创新设计课件：产品建模数学理论基础

逆向工程建模与产品创新设计２.1曲线、曲面的数学描述２.2插值、逼近、拟合２.3光顺性与连续性２.4B样条曲线、曲面２.5B样条曲线曲面的拟合产品建模数学理论基础２.１、曲线、曲面的数学描述1、显示描述曲线：y=f(x)曲面：z=f(x,y)2、隐式描述曲线：f(x，y)=0曲面：F(x,y,z)=0不足：xy每个先x值只能对应一个y值，所以用显式方程不能表示封闭或多值曲线出现斜率为无穷大的情况不足：yxyx与坐标轴相关的，函数描述不具有唯一性不便于计算机处理(0,0)(1,1/2)(2,0)(0,0)3、参数描述曲线：x=x(t)，y=y(t)曲面：x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)1）可以与坐标无关的2）便于处理斜率为无穷大的情况3）规格化的参数变量[0,1]4）便于计算机处理（矩阵表示）２.２、插值、逼近、拟合1、插值

给定一组有序的数据点Pi(i=0,1,…,n)，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值（Interpolation），所构造的曲线成为插值曲线。曲面依然。1）优点与测量点的误差为零2）测量点过多时，控制困难3）测量有误差时，光顺性差2、逼近1）可以用低阶函数2）测量点过多时，较少的控制点3）测量有误差时，保证光顺性

给定一组有序的数据点Pi(i=0,1,…,n)，在允许误差范围内,构造一条曲线，接近这些数据点，称为对这些数据点进行逼近（Approximation），所构造的曲线成为逼近曲线。曲面依然。3、拟合

插值和逼近统称拟和（Fitting）２.３、连续性与光顺性1、连续性参数连续，Ck，方向一致，大小相等几何连续，Gk，方向一致。几何连续并不一定参数连续C0和G0连续：位置连续。PQ1Q2Q3Q41、连续性（续）C1和G1连续：一阶参数连续，切向连续。C2和G2连续：二阶参数连续，曲率连续。G2连续G1连续几何连续比较2、光顺性（Smoothness或Fairness）二阶几何连续（位置、切线方向、曲率矢量连续）不存在奇异点和多余拐点曲率变化较小应变能较小２.４、B样条曲线与曲面1、样条的来历2、样条的多项式插值表示形式简单，求解方便系数几何意义不明显，不便于控制操作当n很大时，解线性方程组费时，不可取3、三次B样条曲线3、三次B样条曲线（续）保持了形式简单，求解方便系数几何意义不明显，便于控制操作保证光顺性4、非均匀有理B样条NURBS曲线（续）3、三次B样条曲面（续）基于B样条曲线的数学描述，可以得到B样条曲面的数学描述以及性质。给定个空间点列，则次B样条曲面方程为：

其中，，是k次和l次的B样条基函数，由组成的空间网格称为B样条曲面的特征网格。２.5、B样条曲线与曲面的拟合一般过程型值点与控制点完全不同由型值点反算出控制点由控制点计算B样条曲线、曲面连续性光顺性评价２.6、曲面的应用曲面在模具中的应用

曲面在汽车工业中的应用

小结本章主要对逆向建模过程中所涉及的曲线、曲面数学理论知识进行论述，在此基础上着重介绍非均匀有理B样条曲线、曲面的连续性与光顺性的相关概念及检查评定方法。并对