幂函数（教学课件）2023-2024学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

3.3幂函数第3章函数的概念与性质人教A版2019必修第一册01幂函数的概念02幂函数的图像和性质目录03幂函数的单调性04.利用幂函数的单调性比较指数幂的大小3学习目标1、理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的图象；2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质；3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．4重点难点重点：常见幂函数的概念、图象和性质难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小第一次给幂这个概念下定义的是我国明代著名的科学家、政治家徐光启,同时他还是一位沟通中西文化的先行者。徐光启在和意大利人利玛窦合译欧几里德《几何原本》时，给幂字下注解：“自乘之数曰幂”。徐光启（1562—1633）情景引入前面学习了函数的概念，利用函数概念和对函数的观察，研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.先看几个实例.

活动1：请观察（1）—（5）中的函数解析式，讨论它们有何共同特征.

练一练

思考1：我们已经学习过函数的哪些性质？思考2：根据以往学习函数的经验，结合着函数图象，来找一找这5个函数的“异同”点.活动2：结合函数图象并结合解析式，将你发现的结论填写在下表.定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在上单调递增在上单调递减，在上单调递增在上单调递增在上单调递增在上单调递减，在上单调递减定点（1,1）思考3：观察5个函数图象，哪个象限一定有幂函数的图象，哪个象限一定没有幂函数的图象.

答案：×，×，√，×.练一练1.幂函数的概念已知函数

，m为何值时，f(x)是幂函数?解：若f(x)为幂函数，则m2＋2m－2＝1，∴m＝－3或1.3.函数

是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求实数m的值。解：由m2－m＋1＝1，得m＝0或m＝1，再把m＝0和m＝1分别代入m2＋2m－3＜0检验，得m＝0典例1练一练4.已知幂函数的图像经过点，求这个函数的表达式.

【解】由题意设函数的表达式为

把点代入，得：

即，所以

所以这个函数的表达式为

和初中解决一次函数一样，利用待定系数法.因为幂函数只有一个系数，所以只需要一个点的坐标就可以求写出幂函数的表达式.练一练2.幂函数的图像与性质n<q<m<p典例2[解析]

过原点的指数α>0，不过原点的α<0，∴n<0，当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，∴p>1,0<m<1,0<q<1；x>1时，指数越大，图象越高，∴m>q，综上所述n<q<m<p.[答案]

n<q<m<p求幂函数的定义域并讨论其奇偶性和单调性.【解】因为，，又为

两个连续的正整数相乘，其结果必为正偶数，所以

为正奇数，所以函数的定义域为R.

由为正奇数，得

，所以为增函数.

因为，所以是正的奇次方根，所以

在定义域内为增函数.

典例33.幂函数的单调性【例题】证明幂函数是增函数.

【证明】函数的定义域是[0，+∞).

因为，，所以

即幂函数是增函数.

典例4练一练4.利用幂函数的单调性比较指数幂的大小利用幂函数的性质，比较下列两个数的大小.【解】设，则在R上为增函数.比较大小用作差法.由增减性，根据自变量的大小，比较函数值的大小；或者根据函数值的大小，比较自变量的大小.

∵-1.5＜-1.4，∴(-1.5)3＜(-1.4)3

(-1.5)3和(-1.4)3

典例5课堂练习2.若f(x)=(m2-4m+5)x-m+|n+1|是幂函数，则f(2)＝_____.不是1.辨析1：判断下列函数是不是幂函数？是不是不是是不是由f(x)=(m2-4m+5)x-m+|n+1|是幂函数得∴f(x)=x-2，简析：

××√×

随堂检测1.已知幂函