【中学最值问题常用解题方法分析7900字（论文）】

中学最值问题常用解题方法研究摘要在中学阶段的数学教学中，最值问题占有重要的地位，而最值问题涉及范围广，这导致最值问题内容分散，解法多变，要解决最值问题要具有较强的综合能力，这给中学教学带来了很大的挑战，许多中学生对最值问题认识不够全面，导致在解决最值问题时不能灵活地运用解题方法解决最值问题造成严重失分，因此，系统地研究最值问题的解法，总结出各类最值问题对应的解法，为学生解决此类问题提供帮助，同时本文也从教师以解决-问题为例设计了相关教案，给一线老师作为教学参考。本文的主要内容大致可分为三个部分，第一，通过查阅和分析相关文献资料梳理了研究背景以及研究意义；第二，笔者根据自身的学习研究确定了最值问题的主要类型和相应解法，并通过具体例题给出详细的解题方法；第三提出教学设计策略。关键词：最值问题；中学数学；解题方法；教学设计目录TOC\o"1-3"\h\u231791绪论 1222641.1研究的背景 132191.2研究意义和价值 1154361.2.1研究意义 120401.2.2研究价值 1284482中学最值问题的常见解题方法 228382.1中学教学中的最值问题 2294642.2常见解题方法 2140332.2.1定义法 2107742.2.2配方法 3163652.2.3判别式法 5283242.2.4换元法 651752.2.5数形结合法 8181853.2.6导数法 10230063中学阶段最值相关的教学策略 1376033.1概念课 1388753.1.1以生为本，注重概念构建过程 1346193.1.2概念课教学案例 13148513.2习题课 14197123.2.1针对重点，注重思维 14275983.2.2习题课教学案例 15242603.3复习课 16214313.3.1系统整理，设疑激趣 1660293.3.2复习课教学案例 16326184结论 187011参考文献 191绪论1.1研究的背景最值问题在整个中学阶段的学习中出现的频率较高，这部分内容对中学阶段数学的学习具有重要意义，在《2017年版普通稿中数学课程标准》明确指出，要求学生理解函数图象的意义和变化情况，并且会用图像和符号语言来描绘函数的最值，准确理解最值的具体含义，并要求会求解初等函数的最值。结合实际的例子，能运用中学阶段所学的其他数学知识如基本不等式、函数、线性规划等知识来求解最值问题。且最值问题在中学阶段重要考试中出现频率较高，因此，我们可以知道最值问题对于中学阶段的数学教学来说很重要。另外最值问题有较强的时用性，除了在数学中，最值问题还经常应用于物理、化学等一些自然学科中。1.2研究意义和价值1.2.1研究意义最值问题考察到的知识范围广且分散杜较高，解一道最值问题，常常会用多方面的数学知识，而且对学生思维能力的要求很高；题型多变，最值问题出现的形式多种多样，可能出现在基础题当中，中档题和综合性的题中也很常见，甚至是以难题的形式。要求学生要熟悉各种数学思想，和数学中各部分的知识，除此之外还要培养自己的数学综合能力。很多时候学生在面对此类问题时往往不能找到正确切入口，从而导致面对最值问题时大量失分，对于老师而言因为涉及知识面较广，很难系统地给学生讲解清楚各种类型的解法，遇到此类问题时老师备课上课较为困难。对于本论文笔者对常见的最值问题做了系统地分类并总结了相应的解法，期望给教师提供教学参考，给学生解决相关问题时提供解题方法。1.2.2研究价值对教师而言，教师可以参考本论文的一些解题方法，解题思路以及一些例题，在课堂上给学生归纳总结出最值问题的解法和思考的切入点；对学生而言，学生根据本文的一些解题的技巧，思考方向等增强自己的解题能力，锻炼自己的数学思维能力,培养自己面对较难的问题时探究问题和解决问题的能力，并为以后进入大学，学习新的数学知识做好交充分的准备，从这些方面不难看出本文的研究很有必要。2中学最值问题的常见解题方法2.1中学教学中的最值问题经过本人对中学数学课程标准研究发现，在中学教学中出现的最值问题的主要类型是所谓的：1.（单元）函数的最值计算问题，如：二次函数、指数函数、对数函数及三角函数等的最值计算问题；2.多元函数的最值计算问题；3.数列中的最值问题；4.立体几何中的最值问题；5.解析几何中的最值问题；6最值问题与不等式；7.其他各种类型的最值问题,，这些最值问题都是和各个不同的数学知识接合起来考察的，并且有些题甚至把本来不相关地两部分知识点结合起来。2.2常见解题方法2.2.1定义法在函数的基本性质中根据函数的图像和函数的单调性得出最值得定义为“设函数的定义域为,若满足:（1）对于都有；（2）使得，则称实数是函数的最大值(maximumvalue)同样地，设函数的定义域为,若满足:（1）对于都有；（2）使得，则称实数是函数的最小值(minimumvalue)”。虽然最值得定义看起来很不起眼，但是内涵丰富，可千万不容小瞧，很多看起来很复杂的的题，从基本定义出发往往有意想不到的效果。此类方法一般用于解决函数问题中出现的最值问题。例1求函数的最小值。分析：为上的分段函数，故可以写出此函数对应的解析式，然后可以得到函数的解析式，再根据函数的单调性求出此函数最小值；但是根据对这道题的观察，充分利用其独有的特点，这道题可以直接利用最小值的定义来求解，解题过程更为简洁。解：由绝对值不等式得：，又因为，结合最小值的定义知.例2设为定义在，和求证：.分析：对于奇函数，我们一直把其图像关于原点对称的这个特点挂在嘴边，所以这道题要我们论证的问题时显然成立的，但是现在真的要求我们写出具体的论证过程，好像有点无从下手，这时候我们应该学会“返璞归真”，利用最原始的定义来解决这道题。证明：因在上的最大值为，故有：都有且使得,则可得必为在上的最小值，因为有这两条成立则有：，有,则,所以;由知使得,于是.例3已知,关于的方程有一个实根求的最小值。分析：分析：这道例题是2012年湖南高中数学联赛第12题，当时这道题给的参考答案过程很复杂，在程汉波的《“变换主元，柳暗花明”一一简解一道竞赛题引发的思考》中用变换主元和数形结合的方法给出了一个更为简洁直观的解答。解：设为方程的实根，则有,变形得：则，经检验可取得等号，故的最小值为8.评注：用定义法求最值时首先要掌握最值的定义和含义，在遇到复杂的问题时要学会灵活运用。2.2.2配方法配方法来源于二次函数，是用来解决二次函数问题的常见方法，配方法的意思就是把非完全平方二次函数配成完全平方的形式所以解题时先观察题型，如果遇到二次函数或能够转化为二次函数的题型，解题时可以优先考虑利用配方法来求解。在解题的过程当中还需特别注意函数的定义域。例4设为实数，求函数得最小值。分析：根据给出的函数解析式一发现，可以将方程的解析式化为完全平方相加的形式。解：由二次函数的性质可得，当，取得最小值-6.例5设且求为何值时，取得最大值和最小值，并求出其最大值和最小值。分析：由已知得，代入可得到一个关于的二次函数，然后可以用配方法，求出其的最大值和最小值，此题得解。解：由已知得代入得：因为且,则,当时，取得最大值为;当时，取得最小值为1,综上，.例6求函数的最值。分析：观察函数如果不做变形直接接不能得出最大最小值，再观察其中有一个可以考虑将其降角升幂，将函数表达式中含有的两种类型的三角函数化为同一种，再将其通过配方的方法得出最值。解：可知，取即当时，；取时.评注：解最值问题时若是想用配方法来解题，必须把最值问题中出现的函数解析式化为二次函数，之后再观察此二次函数的解析式对应的图像的特点，再结合题中所给的数据来运用配方的方法求解，求解时要确定函数的定义域。2.2.3判别式法在解决最值问题时常要求我们求解分式最值问题，还有一类比较不常见的无理函数最值问题，这两种往往采用判别式法，如遇到通过已知条件可以将函数变为一个关于某个变量的二次方程的话，要想最后解决问题我们还需再结合一元二次方程的判别式。例7已知函数，求其最值。分析：从整体看，其是自变量为的函数，通过整理得即，由于可以用“”求的取值，从而此题可得解。解：由整理可得,因为，当时无解，所以，必须使得,由此可得：;又因为,所以的最小值等于.例8设，且满足，求的最小值。解：令，则，转化为的最小值问题，将代入题设条件，化简整理得到关于的一元二次方程,该方程有解，则,解得当且仅当时取得，故的最小值为.例9如果实数满足等式，求的最大值。解：设，则，代入，整理得：,该方程有解，则,得，当且仅当时等号成立，故的最大值为.评注：一般对于能够将已知条件得到的解析式化为一元二次函数的题型，比较适合用判别式法，当将其他变量代换时要注意变量的变化及其取值范围。2.2.4换元法换元法就是把遇到的数学问题中的一个式子不看式子里的拆分结构只当做是一个整体，应用换元法就引入了新的变量，应注意由原来的式子变为含有新变量的式子这个过程当中新变量取值范围的变化，引入新的变量后可以揭示整个式子的所隐含的数量关系，或者将本来看起来没有联系的变量之间联系起来，可以达到化繁为简的效果。例10设的最大值和最小值。解：设，,,则,则，当时，取得最小值：;当时，，取得最大值：,当时，，取得最大值：,因此，,.在这里我们需要注意，设后，需注意注意参数的范围。例11设是非负实数，且，求证.证明：待证不等式关于是对称的，故不妨设，结合即得，下面做增量代换,,则,,当且仅当时等号成立，证毕。例12设，且求的最大值。解：因，故可设，其中，由得即，,故,当且仅当时，p取得最大值.评注：在最值问题中关于换元法的题型是多种多样的，当然换元的形式也就是多变的，还有可能出现在解决一些问题时我们不仅仅只用到一次换元法，可能一道题就要对它采取多次不同方式的换元，但是无论变换的形式怎么多样或是要进行多少次变换，都要记住每一次变换都要注意引入的新的取值范围。2.2.5数形结合法对于很多最值问题，如果按照一般的方法来解决，解题过程往往会比较繁琐，而且对于一些最值问题常规方法根本没办法求解，但如果我们能够利用几何的方法来求解这些问题，把原题中的数量关系对应到几何图形中，用满足这些数量关系的几何图形的特性来求解问题，对于这类最值问题利用此方法求解往往能够事半功倍地解决问题，这种方法就是我们所说的“数形结合法”，数形结合法就是把一些用一般代数方法求解比较困难代数问题转化为几何问题求解，对于解决部分最值问题这种方法很简洁直观。例13用表示三个数中的最小值，设，求的最大值。解：如图1，建立坐标系，在同一个直角坐标系画出的图象．由已知可得，所求的函数图像是这三个函数的图像比较处于最下面的部分，由所画图像可得图象的最大值点是函数的交点，故的.例14已知数列的通项公式为，若对任意的都有成立，求实数的取值范围。解：根据数列的性质数列和函数性质的比较，数列是一个一个孤立的点集而函数是连续的点集，求数列问题，我们可以先化为函数问题．，表明点在函数的图象上，由题意知为数列中的最小项，作出函数的图象（如图2），观察可知，即实数的取值范围为.例15求函数的最大值与最小值。解：可以把这道题理解为在直角坐标系上一个特殊的单位圆上的点，其中一个在单位圆上点的直角坐标是，其中一个在圆上点与一个固定点之间的连接有一个斜率这个斜率就是，设过定点的直线与相切，切点为和．显然，当直线与单位圆相切时，斜率的最值就是的最值。由相切的条件列方程得，即,解得；或故，函数的最大值为最小值为评注：观察一道题能不能用数形结合的方法来解决问题，关键是看需要解决的问题中的数量关系是不是符合一些几何的特性，因此找到问题中所含的几何意义是解决此类问题的关键所在，从上面的例子很容易看出，相对简单的公式往往具有类似于众所周知的公式、几何量、曲线方程等的结构。在这一点上，我们不仅要灵活运用我们的几何知识，而且还要灵活运用我们的空间想象力，将问题中利用到的一部分几何意义，与其整体或其余部分联系起来。虽然在最值问题中只有很小部分可以利用此方法求解，但是这种方法的特点是不但过程中的每一步都易于理解，而且有助于培养几何中直观思考问题的习惯。3.2.6导数法利用导数法求最值，首先要把问题变为有关函数的问题，然后对所得的函数求导，得到函数的单调性，求最值变为求函数的最值，于是原最值问题得解。例16求函数在区间上的最值。解：，，由导函数的正负情况易知在上为增函数，在上为减函数，故有最大值又，故的最小值为.例17求数列的最大项。解：设，则，已知在上单调递增，在上递减，故有最大值，即数列的最大项为第100项，其值为.例18中，，，己知和分别是和的中点，分别为线段和上的动点，若,求线段的长度的取值范围。解：如图3，根据已知条件建立直角坐标系，则设，，有，,由得，,所以,,易求,即的取值范围为.评注：导数法还经常用于数列求最值，其解题过程和一般函数的最值问题解题过程类似，但是需要注意的是在数列中所有的项数都为正整数在做题时需要注意，对项数求整。三角函数问题也经常会用导数法求解。

3中学阶段最值相关的教学策略3.1概念课我们应该如何评价以为数学老师的能力，看的也就是他到底能否在数学的课堂上有效地帮助我们的学生真正理解这些数学概念，数学的概念虽然看似简单,但是想要能够让我们的学生真正认识和了解这些数学的概念是很难的；章建跃博士强调：在这类的数学游戏中所要玩的也就是一种数学概念。在数学当中概念是所有的基础,是数学游戏的规则,只有知道规则才能玩好数学游戏。3.1.1以生为本，注重概念构建过程教师在进行教学前首先要足够了解学生，因为，在不同班级里的学生，在生理和心理发展方面都不一样，所以，我们应该要真正做到以每位学生作为参与者的主体，注重每位学生的特征和个体差别，再合理安排教学，要保证做到自己的教学方式和教学进度能让大部分学生所接受。教师在准备概念课时，教师首先要清楚应多注重学生对本节课概念的形成过程，在概念课的教学设计中，除此之外教师不能只是一味地给学生灌输新的概念，比这个更重要的是要让学生建立新概念和旧概念之间的联系，讲解时也要相互比较两者之间有什么不同，吃透这个概念3.1.2概念课教学案例例如在讲解《函数的最大(小)值与导数》这节内容的概念时，教学过程可以采用如下设计：第一步：先创设情境复习函数极值的定义和函数极值的求解方法。第二步：让学生观察图4并总结函数极值的概念和求法。这样让学生对极值是函数的局部性质，而最值属于函数性质中的的整体性质，这是两个不同的概念。它们之间既有区别也有联系。第三步：让学生观察图5图6两个图像，观察它们是否都有最值。使学生对极值的局部性和最值的整体性有所了解，并且能够明白这是两个不同的概念，对最值有更进一步的认识。引导学生主动思考，从而更加深刻地认识最值与极值的区别与联系，突破本节难点，强化重点。第四步：让学生总结函数最值的定义和求法。3.2习题课3.2.1针对重点，注重思维在上习题课前首先要了解课程的关键性难点和学生的薄弱处，要有针对性地设计习题，使设计出来的题不仅要能够符合大部分同学的情况，而且要让学生能够通过完成习题掌握课程的重点和难点，避免题海战术。针对相似类型的习题，教师讲解时应有所选择地讲解，对各类题型解题所用的知识和解题方法做系统的讲解，纵向角度的题型应按章节顺序讲解，横向角度的题型不应按章节展开一道道讲解，应按系统知识展开。所以在设计选择题和填空题时都要仔细考虑，在设计选择题时因考虑为什么要设置这些选项，这些选项之间有什么关联和不同，要让学生从这道题中学到什么？习题课的目的并不是教会学生怎么样写某道题，而是要教会学生看到题我要怎么去思考，学会怎么样找准切入口，注重培养学生的数学思维。3.2.2习题课教学案例例如在讲解《函数的最大(小)值与导数》这节内容的习题课时，选取经典的习题让学生完成，并且可以可以设置梯度式的练习，针对以上要求，设计了如下习题。求下列函数的最值。..证明下列不等式。证明对数平均不等式：，其中平均值称为“对数平均”（选做）。当时，证明：（选做）。（2019年全国Ⅲ卷，文20）已知函数.讨论的单调性；当时，记在区间的最大值为,最小值为，求的取值范围。此习题课所选题目具有针对性，教学过程中需要以生为本，教师可以依据自己的能力进行变式教学，课堂灵活起来了，课堂效率会比较高，并且每个学生通过本节习题课都能有不一样的收获。3.3复习课3.3.1系统整理，设疑激趣在传统的教学当中，教师在上复习课的时候，关注更多的往往是找出学生不懂或薄弱的地方，然后针对这些弱点进行着重讲解，因而教师在上复习课时的讲解，在基础一般的学生看来老师的讲解时杂乱无章，没有头绪的，这样并没有发挥复习课的真正作用。因而，要正确把握复习课的定位，不应把通过练习去巩固知识作为复习课的首要任务，要把促进所学知识的系统化作为复习课的主要目标。学生通过调动自己对所学知识的记忆，或者是在书本中寻找相应知识点来解决问题，通过系统消化整合知识，并理解这部分知识后面的数学思想，在这个过程中，学生已经根据自身的特点查缺补漏，系统消化了所学的知识。这往往会使学生感到枯燥无味,这就更加迫切地要求老师在上习题活动时一定要特别强调解题活动的组织,避免让老师陷入变得枯燥无味的问题,在同时也需要让老师使学生感到数学活动是一门很有趣的学科,充分调动了学生们的积极主动性,让我们的学生能够始终秉持着强烈的好奇心和自主探究的精神来解题。再者，题的选取也极大地影响了复习课的效果，如何评价一道题的好坏，并不在于这道题的难度，而在于这道题能否引起学生的探究兴趣，好的题能够制造一制造出跌宕起伏的悬念，诱导学生一步步探究，这让学生体会到从“疑无路”的失落到“又一村”喜悦。在解完题后能够增强学生学习数学的信心，进一步提高学生对数学的兴趣。3.3.2复习课教学案例例如在高三复习课“最值的解法中”教学过程可以如下设计：第一步：抛出问题，教师引导学生回顾求解最值的相关理论知识，学生通过探究问题建立自己的解题思维；如图所示，给定两个长度为1的平面向量,它们的夹角，点在以为圆心的圆弧上运动，且，其中求的最大值。这个问题难度不大，但解法灵活。这道题的设置是为了通过这种一题多解的方式，让同学们有所对比和充分利用各方面数学知识，理解最值问题中所蕴含的学科理论知识，培养学生通过探究过程的感悟掌握解决问题的本质能力，从而使得绝大多数学生对最值的求解达到融会贯