2024届黑龙江省集贤县数学九上期末经典试题含解析

2024届黑龙江省集贤县数学九上期末经典试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每题4分，共48分）1．在平面直角坐标系中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数的图象上的“好点”共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路.永州市2016年底大约有贫困人口13万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意列方程得（）A． B． C． D．3．如图的的网格图，A、B、C、D、O都在格点上，点O是（）A．的外心 B．的外心 C．的内心 D．的内心4．如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是（）A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．1:95．如图，转盘的红色扇形圆心角为120°．让转盘自由转动2次，指针1次落在红色区域，1次落在白色区域的概率是（）A． B． C． D．6．已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（）A．二、三象限 B．一、三象限 C．三、四象限 D．二、四象限7．已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝－3，则实数k的值为()A．1 B．－1 C．2 D．－28．关于二次函数，下列说法错误的是（）A．它的图象开口方向向上 B．它的图象顶点坐标为（0，4）C．它的图象对称轴是y轴 D．当时，y有最大值49．方程的根的情况（）A．有两个相等的实数根 B．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根10．sin30°的值为（）A． B． C． D．11．用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（）A． B． C． D．12．已知点在抛物线上，则点关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．关于的方程没有实数根，则的取值范围为____________14．已知MAX(a，b)=a，其中a>b如果MAX(，0)=0，那么x的取值范围为__________15．不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是_____．16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_____.17．小球在如图6所示的地板上自由滚动,并随机停留在某块正方形的地砖上,则它停在白色地砖上的概率是____.

18．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字，，，随机摸出一个小球（不放回），其数字为，再随机摸出另一个小球其数字记为，则满足关于的方程有实数根的概率是___________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，已知直线AB经过点（0，4），与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是．(1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．(2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在请说明理由．(3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？20．（8分）已知，二次三项式﹣x2+2x+1．（1）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+1＝﹣mx2+mx+2（m为整数）的根为有理数，求m的值；（2）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+n分别交x，y轴于点A，B，若函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象与线段AB只有一个交点，求n的取值范围．21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．22．（10分）抛物线经过点O（0，0）与点A（4，0），顶点为点P，且最小值为-1．（1）求抛物线的表达式；（1）过点O作PA的平行线交抛物线对称轴于点M，交抛物线于另一点N，求ON的长；（3）抛物线上是否存在一个点E，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，使得△EFO∽△AMN，若存在，试求出点E的坐标；若不存在请说明理由．23．（10分）如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，顶点为．（1）求二次函数的解析式；（2）点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，若，四边形的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；（3）探索：线段上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说呀理由．24．（10分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣4x+3＝1．25．（12分）某游乐场试营业期间，每天运营成本为1000元.经统计发现，每天售出的门票张数（张）与门票售价（元/张）之间满足一次函数，设游乐场每天的利润为（元）.（利润=票房收入－运营成本）（1）试求与之间的函数表达式.（2）游乐场将门票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？26．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．（1）将绕着点顺时针旋转后得到，请在图中画出；（2）若把线段旋转过程中所扫过的扇形图形围成一个圆锥的侧面，求该圆锥底面圆的半径（结果保留根号）．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】分x≥0及x＜0两种情况，利用“好点”的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】当x≥0时，，即：，

解得：，(不合题意，舍去)，当x＜0时，，即：，

解得：，，∴函数的图象上的“好点”共有3个．

故选：C．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及解一元二次方程，分x≥0及x＜0两种情况，找出关于x的一元二次方程是解题的关键．2、B【分析】根据等量关系：2016年贫困人口×(1-下降率=2018年贫困人口，把相关数值代入即可．【详解】设这两年全省贫困人口的年平均下降率为，根据题意得：，故选：B．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．3、B【分析】连接OA、OB、OC、OD，设网格的边长为1，利用勾股定理分别求出OA、OB、OC、OD的长，根据O点与三角形的顶点的距离即可得答案.【详解】连接OA、OB、OC、OD，设网格的边长为1，∴OA==，OB==，OC==，OD==，∵OA=OB=OC=，∴O为△ABC的外心，故选B.【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握三角形的外心和内心的定义是解题关键.4、A【解析】∵两个相似三角形对应边之比是1:3，∴它们的对应中线之比为1:3.故选A.点睛:本题考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边、对应周长，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比,掌握相似三角形的性质及灵活运用它是解题的关键.5、C【分析】画出树状图，由概率公式即可得出答案．【详解】解：由图得：红色扇形圆心角为120，白色扇形的圆心角为240°，∴红色扇形的面积：白色扇形的面积＝，画出树状图如图，共有9个等可能的结果，让转盘自由转动2次，指针1次落在红色区域，1次落在白色区域的结果有4个，∴让转盘自由转动2次，指针1次落在红色区域，1次落在白色区域的概率为；故选：C．【点睛】本题考查了树状图和概率计算公式，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握树状图的画法步骤.6、D【分析】此题涉及的知识点是反比例函数的图像与性质，根据点坐标P（﹣1，2）带入反比例函数y=中求出k值就可以判断图像的位置．【详解】根据y=的图像经过点P（-1,2），代入可求的k=-2，因此可知k＜0，即图像经过二四象限.故选D【点睛】此题重点考察学生对于反比例函数图像和性质的掌握，把握其中的规律是解题的关键．7、B【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．【详解】解：因为x＝-3是原方程的根，所以将x＝-3代入原方程，即（-3）2+3k−6＝0成立，解得k＝-1．故选：B．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，解题的关键是把方程的解代入进行求解.8、D【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴、函数的最值即可判断．【详解】∵，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝0，顶点为（0，4），当x＝0时，有最小值4，故A、B、C正确，D错误；故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x−h）2＋k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．9、B【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝−7＜0，进而可得出该方程没有实数根．【详解】a＝2，b＝-3，c＝2，∵△＝b2−4ac＝9−4×2×2＝−7＜0，∴关于x的一元二次方程没有实数根．故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．10、C【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【详解】解：sin30°＝故选C【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．11、D【解析】试题解析：故选D.12、A【分析】先将点A代入抛物线的解析式中整理出一个关于a,b的等式，然后利用平方的非负性求出a,b的值，进而可求点A的坐标，然后求出抛物线的对称轴即可得出答案．【详解】∵点在抛物线上，∴，整理得，，解得，，．抛物线的对称轴为，∴点关于抛物线对称轴的对称点坐标为．故选：A．【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用、平方的非负性和二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】根据题意利用根的判别式进行分析计算，即可求出的取值范围.【详解】解：∵关于的方程没有实数根，∴，解得.故答案为：.【点睛】本题考查根的判别式相关，熟练掌握一元二次方程中，当时，方程没有实数根是解答此题的关键．14、0﹤x﹤1【分析】由题意根据定义得出x2-x＜0，通过作出函数y=x2-x的图象，根据图象即可求得x的取值范围．【详解】解：由题意可知x2-x＜0，画出函数y=x2-x的图象如图：由图象可知x2-x＜0的取值范围为0＜x＜1.故答案为：0＜x＜1．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是理解新定义并根据新定义列出关于x的不等式运用数形结合思维分析．15、【解析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个，∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是，故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．16、【分析】根据根与系数的关系可得要使有两个不相等的实数根，则必须，进而可以计算出k的取值范围.【详解】解：根据根与系数的关系可得要使有两个不相等的实数根，则.故答案为.【点睛】本题主要考查二元一次方程的根与系数的关系，根据方程根的个数，列不等式求解.17、【分析】先求出瓷砖的总数，再求出白色瓷砖的个数，利用概率公式即可得出结论．【详解】由图可知，共有5块瓷砖，白色的有3块，所以它停在白色地砖上的概率=．考点：概率.18、．【解析】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的有4种情况，∴满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是：．故答案为．三、解答题（共78分）19、（1）直线y=x+4，点B的坐标为（8，16）；（2）点C的坐标为（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）；（3）当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是1．【解析】（1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标；（2）分若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2；若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2；若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2三种情况求得m的值，从而确定点C的坐标；（3）设M（a，a2），得MN=a2+1，然后根据点P与点M纵坐标相同得到x=，从而得到MN+3PM=﹣a2+3a+9，确定二次函数的最值即可．【详解】（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为-2，,A点的坐标为（-2，1），设直线的函数关系式为y=kx+b，将（0，4），（-2，1）代入得解得∴y＝x＋4∵直线与抛物线相交，解得：x=-2或x=8，

当x=8时，y=16，

∴点B的坐标为（8，16）；（2）存在．∵由A(－2，1)，B(8，16)可求得AB2＝=325.设点C(m，0)，同理可得AC2＝(m＋2)2＋12＝m2＋4m＋5，BC2＝(m－8)2＋162＝m2－16m＋320，①若∠BAC＝90°，则AB2＋AC2＝BC2，即325＋m2＋4m＋5＝m2－16m＋320，解得m＝－；②若∠ACB＝90°，则AB2＝AC2＋BC2，即325＝m2＋4m＋5＋m2－16m＋320，解得m＝0或m＝6；③若∠ABC＝90°，则AB2＋BC2＝AC2，即m2＋4m＋5＝m2－16m＋320＋325，解得m＝32，∴点C的坐标为(－，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0)（3）设M(a，a2)，则MN＝，又∵点P与点M纵坐标相同，∴x＋4＝a2，∴x=，∴点P的横坐标为，∴MP＝a－，∴MN＋3PM＝a2＋1＋3(a－)＝－a2＋3a＋9＝－(a－6)2＋1，∵－2≤6≤8，∴当a＝6时，取最大值1，∴当M的横坐标为6时，MN＋3PM的长度的最大值是120、（1）m＝7；（2）n≤﹣2或1≤n＜2．【分析】（1）方程化为（m﹣1）x2+（2﹣m）x+1＝0，由已知可得m≠1，△＝m2﹣8m+8＝（m﹣4）2﹣8，由已知可得m﹣4＝±1，解得m＝7或m＝1（舍）；（2）由已知可得A（，0），B（0，n），根据题意可得，当≤﹣1，n＜1时，n≤﹣2；当＞﹣1，n≥1时，n≥1；当＞1，n≤1时，n不存在；当＜1，n≥1时，1≤n＜2；综上所述：n≤﹣2或1≤n＜2．【详解】解：（1）方程化为（m﹣1）x2+（2﹣m）x+1＝0，由已知可得m≠1，△＝m2﹣8m+8＝（m﹣4）2﹣8，∵m为整数，方程的根为有理数，∴m﹣4＝±1，∴m＝7或m＝1（舍）；（2）由已知可得A（，0），B（0，n），∵函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象与线段AB只有一个交点，当≤﹣1，n＜1时，∴n≤﹣2；当＞﹣1，n≥1时，∴n≥1；当＞1，n≤1时，n不存在；当＜1，n≥1时，1≤n＜2；综上所述：n≤﹣2或1≤n＜2．【点睛】本题考查二次函数、一次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数、一次函数的图象及性质，一元二次方程根的判别是解题的关键．21、（1）详见解析；（2）1.【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，根据角平分线定义得到∠ABD＝∠CBD，等量代换得到∠ADB＝∠ABD，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AB，根据菱形的判定即可得到结论；（2）由垂直的定义得到∠BDE＝90°，等量代换得到∠CDE＝∠E，根据等腰三角形的判定得到CD＝CE＝BC，根据勾股定理得到DE＝＝6，于是得到结论．【详解】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵BA＝BC，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BA＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，∵CB＝CD，∴∠DBC＝∠BDC，∴∠CDE＝∠E，∴CD＝CE＝BC，∴BE＝2BC＝10，∵BD＝8，∴DE＝＝6，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝5，∴四边形ABED的周长＝AD+AB+BE+DE＝1．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．22、（1）抛物线的表达式为，（或）；（1）；（3）抛物线上存在点E，使得△EFO∽△AMN，这样的点共有1个，分别是（，）和（，）．【分析】（1）由点O（0，0）与点A（4，0）的纵坐标相等，可知点O、A是抛物线上的一对对称点，所以对称轴为直线x=1，又因为最小值是-1，所以顶点为（1，-1），利用顶点式即可用待定系数法求解；（1）设抛物线对称轴交轴于点D、N（,），先求出=45°，由ON∥PA，依据平行线的性质得到=45°，依据等腰直角三角形两直角边的关系可得到=，解出即可得到点N的坐标，再运用勾股定理求出ON的长度；（3）先运用勾股定理求出AM和OM，再用ON-OM得MN，运用相似三角形的性质得到EF：FO的值，设E（，），分点E在第一象限、第二或四象限讨论，依据EF：FO=1:1列出关于m的方程解出即可.【详解】解：（1）∵抛物线经过点O（0，0）与点A（4，0），∴对称轴为直线x=1，又∵顶点为点P，且最小值为-1,，∴顶点P（1，-1）,∴设抛物线的表达式为将O（0，0）坐标代入，解得∴抛物线的表达式为，即；（1）设抛物线对称轴交轴于点D，∵顶点P坐标为（1，-1），∴点D坐标为（1，0）又∵A（4，0），∴△ADP是以为直角的等腰直角三角形，=45°又∵ON∥PA，∴=45°∴若设点N的坐标为（,）则=解得，∴点N的坐标为（，）∴（3）抛物线上存在一个点E，使得△EFO∽△AMN，理由如下：连接PO、AM，∵=45°，=90°,∴，又∵由点D坐标为（1，0），得OD=1，∴，又∵=90°,由A（4，0），D（1，0）得AD=1，∴,同理可得,∴,∴AM：MN=：=1：1∵△EFO∽△AMN∴EF：FO=AM：MN=1：1设点E的坐标为（，）（其中），①当点E在第一象限时，，解得，此时点E的坐标为（，），②当点E在第二象限或第四象限时，，解得，此时点E的坐标为（，）综上所述，抛物线上存在一个点E，使得△EFO∽△AMN，这样的点共有1个，分别是（，）和（，）．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了运用待定系数法求解析式，运用勾股定理求线段长度，二次函数中相似的存在性问题，解题的关键是用点的坐标求出线段长度，并根据线段之间的关系，建立方程解出得到点的坐标.23、（1）；（2）；（3）存在，，.【解析】（1）可根据OB、OC的长得出B、C两点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式．

（2）可将四边形ACPQ分成直角三角形AOC和直角梯形CQPC两部分来求解．先根据抛物线的解析式求出A点的坐标，即可得出三角形AOC直角边OA的长，据此可根据上面得出的四边形的面积计算方法求出S与m的函数关系式．

（3）先根据抛物线的解析式求出M的坐标，进而可得出直线BM的解析式，据此可设出N点的坐标，然后用坐标系中两点