逻辑代数与硬件描述语言基础

2.2.3用卡诺图表示逻辑函数1、卡诺图的引出卡诺图：将n变量的全部最小项都用小方块表示，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样,所得到的图形叫n变量的卡诺图。逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。如最小项m6=ABC、与m7=ABC在逻辑上相邻m7m6AB10100100011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m110001111000011110ABCD三变量卡诺图四变量卡诺图两变量卡诺图m0m1m2m3ACCBCA

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7ADBB2、卡诺图的特点:各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别，称为循环邻接性。这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。

五变量逻辑函数的卡诺图六变量逻辑函数的卡诺图*不要求3.已知逻辑函数画卡诺图当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图中找出和表达式中最小项对应的小方格填上1，其余的小方格填上0（有时也可用空格表示），就可以得到相应的卡诺图。任何逻辑函数都等于其卡诺图中为1的方格所对应的最小项之和。例1：画出逻辑函数L(A,B,C,D)=(0,1,2,3,4,8,10,11,14,15)的卡诺图例2

画出下式的卡诺图00000解1.将逻辑函数化为最小项表达式2.填写卡诺图

2.2.4用卡诺图化简逻辑函数

1、化简的依据重要概念：逻辑相邻1、化简的依据两个变量个数相同的乘积项（与项）相比，如果只有一个因子不同（即该因子在两个乘积项中分别以原变量和非变量出现），其余变量均相同，则称这两个乘积项（与项）为逻辑相邻，简称相邻项。逻辑相邻的两个乘积项进行“或”运算时，可以消去那个不同的变量因子。举例：

2.2.4用卡诺图化简逻辑函数

重要概念：几何相邻在卡诺图中，任意两个最小项相接（紧挨着）相对（任意一行或一列的两头）则称这两个最小项为几何相邻。相接相对相对1、化简的依据

2.2.4用卡诺图化简逻辑函数

逻辑相邻、几何相邻的关系在卡诺图中的几何相邻的两个乘积项，一定是逻辑相邻的！卡诺图中的几何相邻，直观，易观察逻辑相邻有时不是特别容易观察

2.2.4用卡诺图化简逻辑函数

2、化简的步骤(4)将所有包围圈对应的乘积项相加。(1)将逻辑函数写成最小项表达式(2)按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填1，其余方格填0。(3)合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组(包围圈)，每一组含2n个方格，对应每个包围圈写成一个新的乘积项。本书中包围圈用虚线框表示。

2.2.4用卡诺图化简逻辑函数

画包围圈时应遵循的原则：

（1）包围圈内的方格数一定是2n个，且包围圈必须呈矩形。（2）循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。（3）同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增的包围圈中一定要有原有包围圈未曾包围的方格。（4）一个包围圈的方格数要尽可能多,包围圈的数目要可能少。例1:用卡诺图法化简下列逻辑函数（2）画包围圈合并最小项，得最简与-或表达式

解：（1）由L画出卡诺图(0，2，5，7，8，10，13，15)0111111111111110例2:用卡诺图化简0111111111111110圈0圈1例3

已知某逻辑函数的真值表，用卡诺图化简该逻辑函数。解：（1）由真值表画出卡诺图。

（2）画包围圈合并最小项。有两种画圈的方法：

（a）：写出表达式：

（b）：写出表达式：

通过这个例子可以看出，一个逻辑函数的真值表是唯一的，卡诺图也是唯一的，但化简结果有时不是唯一的。

无关项的含义

在有些逻辑函数中，输入变量的某些取值组合不会出现，或者一旦出现，逻辑值可以是任意的。这样的取值组合所对应的最小项称为无关项、任意项或约束项。讨论无关项的唯一目的就是为了化简。3、具有无关项的逻辑函数的化简

2.2.4用卡诺图化简逻辑函数

解：约定：红、绿、黄灯分别用A、B、C表示，且灯亮为1，灯灭为0。车用L表示，车行L=1，车停L=0。列出该函数的真值表：例1在十字路口有红绿黄三色交通信号灯，规定红灯亮停，绿灯亮行，黄灯亮等一等，试分析车行与三色信号灯之间逻辑关系。在这个函数中，有5个最小项为无关项。如本例函数可写成L=∑m（1,2,4）+∑d（0,3,5,6,7）无关项的表示方法（1）带有无关项的逻辑函数的最小项表达式为：

L=∑m（）+∑d（）

例2：用三个输入变量A，B，C分别来表示电梯的上升、下降和停止这三种工作状态。并规定A=1表示电梯处在上升的工作状态，B=1表示电梯处在下降的工作状态，C=1表示电梯处在停止的工作状态。因电梯在任何时候只能处在一个特定的工作状态下，所以，不允许同时有两个或两个以上的输入变量为1。即，ABC的取值只能是100，010，001当中的某一种，而不能出现000，011，101，110，111中的任何一种。输入变量取值所受的约束条件可用约束方程来表示。电梯工作状态的约束方程为

约束方程中所出现的最小项恒等于0，称为约束项。（2）用约束方程的形式表示无关项无关项的表示方法×××11×0×ABC用L表示电梯在运行，则但约束条件为：无关项的表示方法

化简具有无关项的逻辑函数时，要充分利用无关项可以当0也可以当1的特点，尽量扩大卡诺圈，使逻辑函数更简。

为什么无关项即可以当0，也可以当1？无关项的表示方法注意:在考虑无关项时，哪些无关项当作1，哪些无关项当作0，要以尽量扩大卡诺圈、减少圈的个数，使逻辑函数更简为原则。考虑无关项时，表达式为:

例3无关项的表示方法解：（1）画出4变量卡诺图。将1、4、5、6、7、9号小方格填入1；将10、11、12、13、14、15号小方格填入×。（2）合并最小项，如图（a）所示。注意，1方格不能漏。×方格根据需要，可以圈入，没有帮助的，就放弃。（3）写出逻辑函数的最简与—或表达式:例4某逻辑函数输入是8421BCD码，其逻辑表达式为：

L（A,B,C,D）=∑m（1,4,5,6,7,9）+∑d（10,11,12,13,14,15）

用卡诺图法化简该逻辑函数。如果不利用无关项，如图（b）所示，写出表达式为：例5：L（A,B,C,D）=∑m（0,1,3,4,5,6,7,8，9）

约束条件为：用卡诺图法化简该逻辑函数。第一步：将表达式中的最小项填入卡诺图B11111111ACD

第二步：将约束条件中的无关项填入卡诺图0B××11××××1111111ACD

第三步：将卡诺图中的空白项填0解：

第四步：化简0B××11××××1111111ACDL(A,B,C,D)=

m(0,1,2,5,6,7,