数学与工程应用

数学与工程运用内容滤波空间矢量数据统计和分析拟合，矩阵与线性方程组Allan方差滤波器根底知识滤波器是以特定方式改动信号的频率特性，从而变换信号的系统。滤波器包括高通、低通、带通及带阻滤波器。滤波器的特性最容易经过它的频域外形来描画〔如以下图〕。增益高的频率范围，称为滤波器的通带(passband);相反，增益低的频率范围，称之为滤波器的阻带(stopband)。增益为最大值的1/sqrt(2)≈0.707所对应的频率称为滤波器的截止频率。 由增益(dB)=20㏒(增益)得到截止频率为-3dB。截止频率用来定义滤波器的带宽。低通高通低通与高通带通与带阻带通带阻滤波器的串/并联低通滤波器和高通滤波器是滤波器的两种最根本的方式，其它的滤波器都可以分解为这两种类型的滤波器。理想滤波器理想滤波器是指能使通带内信号的幅值和相位都不失真，阻带内的频率成分都衰减为零的滤波器。fcH(f)fQ(f)理想滤波器的物理不可实现理想滤波器在时域内的脉冲呼应函数h〔t〕为sinc函数。脉冲呼应的波形沿横坐标左、右无限延伸。fcH(f)给理想滤波器一个脉冲鼓励，在t=0时辰单位脉冲输入滤波器之前，滤波器就曾经有呼应了。故物理不可实现。实践滤波器理想滤波器是不存在的，实践滤波器幅频特性中通带和阻带间没有严厉界限，存在过渡带。0fA实践滤波器1)截止频率fc：0.707A0所对应的频率．2)纹波幅度d：绕幅频特性均值A0动摇值3)带宽B和质量因数Q：下两截频间的频率范围称为带宽。中心频率和带宽之比称为质量因数。0ffc1fc2A00.707A0dBQ=W0/B模拟滤波器与数字滤波器模拟滤波器是由电阻、电容和电感等部件构成的电路，这样，滤波器特性对所用部件的值非常敏感。数字滤波器用软件实现，很少依赖硬件。其滤波器性能由数字系数决议，所以数字滤波器灵敏性强、运用方便、稳定性高。信号的量化会带来量化误差，为数字信号带来噪声；采样引起混叠景象；都是数字滤波器的缺陷。数字滤波器的实现数字滤波器的实现有两种主要的方式。用滤波器的差分方程计算滤波器的输出。利用卷积过程计算输出。需求滤波器的脉冲呼应。差分方程差分方程(differenceequation)可以用来描画线性、时不变、因果数字滤波器。滤波器的输出依赖于如今和以前的输入，也依赖于过去的输出。差分方程为：当a0=1是：当ak,bk为权系数，又称为滤波器系数。(1)递归滤波器与非递归滤波器当数字系统依赖于输入与过去的输出时，称其为递归滤波器(recursivefilter)。式(1)给出了这类滤波器的普通表达式。当数字系统仅依赖于输入，而不依赖于过去的输出时，称其为非递归滤波器(nonrecursivefilter)。式(2)给出了这类滤波器的普通表达式。(2)卷积离散信号： 离散信号是由一系列样值组成的序列，其表达式为： {x(n)}={x(1),x(2),x(3),…} 其中x(n)表示n时辰的采样值。 单位取样序列是一种重要的离散序列，定义如下： 离散序列x(n)可用单位取样序列及其离散样值表示，表达式如下： 卷积线性时不变系统 我们讨论的数字系统是线性时不变系统，它的两个重要的特性是：满足叠加原理和时不变性。系统定义：输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的独一变换或运算。X(n)y(n)线性系统:假设输入乘以常数，那么输出也会乘以该系数，即aX(n)ay(n)时不变系统有如下特征：假设y(n)是系统对x(n)的呼应，那么y(n-m)是系统对x(n-m)的呼应，即 X(n-m)y(n-m)卷积假设输入为单位脉冲时，那么其输出h(n)称为该系统的脉冲呼应(impulseresponse)。即

当输入被延迟后，输出同样延迟，即假设输入的单位取样信号乘以一个常数，那么输出也会同样乘以该常数，即普通地，输入信号可以表示为一系列延迟的单位取样序列的加权和，即卷积假设该系统是因果系统，那么呼应y(n)不能够先于输入单位取样序列出现，因此必需满足n>=m，即作进一步的变换，令k=n-m，即FIR滤波器FIR滤波器只存在有限个h(n),即因此其系统函数如下：优点：1.系统只在原点处存在极点，这使得FIR滤波器具有稳定性。2.FIR滤波器具有线性相位，可以保证系统的相移和频率成正比，到达 无失真的传输。缺陷：1.滤波器的输入是采样值，具有量化噪声和混叠误差。2.滤波器系数本身的量化误差，将改动滤波器的最终特性，副作用包 括滤波器阻带内的低衰减及通带内的纹波。IIR滤波器通用输入－输出公式:假设|Pi|<1,当n->无穷大时，h(n)->0，系统稳定。假设|Pi|>1,当n->无穷大时，h(n)->无穷大，系统不稳定。IIR滤波器与FIR滤波器比较，具有相位特性差的特点，但是由于运算量小，所以也被广泛的采用。

卡尔曼滤波简介4.什么是卡尔曼滤波：

卡尔曼滤波是美国工程师Kalman在线性最小方差估计的根底上，提出的在数学构造上比较简单的而且是最优线性递推滤波方法，具有计算量小、存储量低，实时性高的优点。特别是对阅历了初始滤波后的过渡形状，滤波效果非常好。卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的

最正确准那么，来寻求一套递推估计的算法，其根本思想是：采用信号与噪声的形状空间模型，利用前一时辰的估计值和现时辰的观测值来更新对形状变量的估计，求出如今时辰的估计值。它适宜于实时处置和计算机运算。卡尔曼滤波的本质是由量测值重构系统的形状向量。它以“预测—实测—修正〞的顺序递推，根据系统的量测值来消除随机干扰，再现系统的形状，或根据系统的量测值从被污染的系统中恢复系统的本来面目。卡尔曼滤波特点：

卡尔曼滤波是处理形状空间模型估计与预测的有力工具之一，它不需存储历史数据，就可以从一系列的不完全以及包含噪声的丈量中，估计动态系统的形状。卡尔曼滤波是一种递归的估计，即只需获知上一时辰形状的估计值以及当前形状的观测值就可以计算出当前形状的估计值，因此不需求记录观测或者估计的历史信息。卡尔曼滤波器与大多数我们常用的滤波器不同之处，在于它是一种纯粹的时域滤波器，不需求像低通滤波器等频域滤波器那样，需求在频域设计再转换到时域实现。5.卡尔曼滤波器的软硬件实现

目前,卡尔曼滤波器曾经有很多不同的实现方式。卡尔曼最初提出的方式如今普通称为简单卡尔曼滤波器。除此以外,还有施密特扩展卡尔曼滤波器,信息滤波器以及平方根滤波器。最常见的卡尔曼滤波器是锁相环，采用FPGA硬件可以实现卡尔曼滤波器。硬件实现：卡尔曼滤波器有良好的滤波效果，但由于其计算量大，当采样率高时，一个采样周期内难以完成计算，且计算机的字长有限，使计算中舍入误差和截断误差积累、传送，呵斥数值不稳定，因此用MCU和DSP难以实现。FPGA可以实现并行计算，它有多个乘法器和累加器并行处置数据，采用FPGA实现的卡尔曼滤波器，由于输入和输出数据计算同时进展，因此可以大大提高滤波速度。软件实现：

許多物理进程，如路上行驶的車辆、围绕地球轨道运转的卫星、由绕组电流驱动的电机轴或正弦射頻載波信号，均可用线性系统來近似。线性系统是指能用如下两个方程描画的简单进程：

形状方程：

输出方程：在上述方程中，A、B和C均为矩陣，k是時間系数，x称为系統形状，u是系統的知輸入，y是所測量的輸出。w和z表示噪音，其中变量w称为进程噪音，z称为測量噪音，它們都是向量。

那么卡尔曼滤波的算法流程为：1.预估计X(k)^=F(k,k-1)·X(k-1)

2.计算预估计协方差矩阵

3.C(k)^=F(k,k-1)×C(k)×F(k,k-1)'+T(k,k-

1)×Q(k)×T(k,k-1)'

4.Q(k)=U(k)×U(k)'

5.计算卡尔曼增益矩阵

6.K(k)=

C(k)^×H(k)'×[H(k)×C(k)^×H(k)'+R(k)]^(-1)

7.R(k)=N(k)×N(k)'

8.更新估计

9.X(k)~=X(k)^+K(k)×[Y(k)-H(k)×X(k)^]

10.计算更新后估计协防差矩阵

11.C(k)~=[I-K(k)×H(k)]×C(k)^×[I-

K(k)×H(k)]‘+K(k)×R(k)×K(k)’

12.X(k+1)=X(k)

13.C(k+1)=C(k)

14.反复以上步骤

该算法可用C言语编程，在计算机上实现。6.卡尔曼滤波器的运用

卡尔曼滤波器最初是专为飞行器导航而研发的，目前已胜利运用在許多领域中。卡尔曼滤波器主要用来預估那些只能被系统本身間接或不精確观測的系统形状。許多工程系统和嵌入式系统都需求卡尔曼滤波。统计的根本概念参数估计假设检验数据的统计描画和分析一、统计量二、分布函数的近似求法三、几个在统计中常用的概率分布-4-2024600.050.10.150.20.250.30.350.41．正态分布),(2smN密度函数：222)(21)(smsp--=xexp分布函数：dyexFyx222)(21)(smsp--¥-ò=其中m为均值，2s为方差，+¥<<¥-x.规范正态分布：N〔0，1〕密度函数2221)(xex-=pjdyexyx2221)(-¥-ò=Fp，

分布函数前往F分布F〔10，50〕的密度函数曲线参数估计一、点估计的求法(一〕矩估计法(二〕极大似然估计法二、区间估计的求法1、知DX，求EX的置信区间2．未知方差DX，求EX的置信区间(一)数学期望的置信区间〔二〕方差的区间估计前往1.参数检验：假设观测的分布函数类型知，这时构造出的统计量依赖于总体的分布函数，这种检验称为参数检验.参数检验的目的往往是对总体的参数及其有关性质作出明确的判别.对总体X的分布律或分布参数作某种假设，根据抽取的样本察看值，运用数理统计的分析方法，检验这种假设能否正确，从而决议接受假设或回绝假设.假设检验2.非参数检验：假设所检验的假设并非是对某个参数作出明确的判别，因此必需求求构造出的检验统计量的分布函数不依赖于观测值的分布函数类型，这种检验叫非参数检验.如要求判别总体分布类型的检验就是非参数检验.假设检验的普通步骤是：〔一〕单个正态总体均值检验一、参数检验〔二〕单个正态总体方差检验〔三〕两个正态总体均值检验〔四〕两个正态总体方差检验二、非参数检验〔二〕概率纸检验法概率纸是一种判别总体分布的简便工具.运用它们，可以很快地判别总体分布的类型.概率纸的种类很多.前往拟合2.拟合的根本原理1.拟合问题引例曲线拟合问题的提法知一组〔二维〕数据，即平面上n个点〔xi,yi)i=1,…n,寻求一个函数〔曲线〕y=f(x),使f(x)在某种准那么下与一切数据点最为接近，即曲线拟合得最好。+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)ii为点〔xi,yi)与曲线y=f(x)的间隔曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的根本思绪第一步:先选定一组函数r1(x),r2(x),…rm(x),m<n,令f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+…+amrm(x)〔1〕其中a1,a2,…am为待定系数。第二步:确定a1,a2,…am的准那么〔最小二乘准那么〕：使n个点〔xi,yi)与曲线y=f(x)的间隔i的平方和最小。记问题归结为，求a1,a2,…am使J(a1,a2,…am)最小。线性最小二乘法的求解：预备知识超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组即