《证券投资学》第七专题：衍生证券定价之四：期权

<证券投资学>第七讲

衍生证券定价之四：期权定价西安交通大学王晓芳教授1期权(选择权)的概念期权(选择权option)是赋予其持有者在规定的时间范围内有权益但无义务按事先双方商定的价钱向另一方购买或出卖一定数量某种资产〔称为标的资产〕的权益。2对于期权的买者来说，有按合约实施买卖的权益而没有义务。对于期权的卖者来说，期权合约赋予他的只需义务而没有权益。期权价钱或期权费，期权买者在合约生效时支付给期权卖者的费用作为给期权卖者承当义务的报酬

期权的概念期权的权益、义务和期权价钱3期权(option)分买权和卖权。买权是一种赋予选择权持有人权益的契约，简称买权。此契约规定，持有人有权在指定日期或指定日期前的任一天，以特定的价钱购买特定的资产。也称看涨期权〔call〕。期权的购买者为获得这项权益需求支付一定的价钱即期权费。期权的概念4卖出选择权是其持有者在期权到期日或到期日前的任一时间以特定的价钱出卖特定资产的权益。简称卖权或看跌期权〔put〕。期权的购买者为获得这项权益也需求支付一定的期权费。5◆买卖行为的施行称做“选择权的执行〞。◆特定的资产可以是股票、股价指数、债券、外币、贵金属、金融期货或农产品。我们提到的特定资产将专指股票，称为“标的证券〞或“标的资产〞。◆特定的价钱又称为“执行价钱〞：或“敲定价钱〞◆假设选择权仅可在到期日成交，那么此种选择权属欧式选择权，可在到期日或之前成交，属于美式期权。◆选择权的市场价钱称为选择权的价钱。6按有无行权时间选择权可划分为欧式期权和美式期权：◆欧式期权没有行权时间选择权，只能在到期日行权。◆美式期权有行权时间选择权，可选择在到期日或到期前的一定时间范围内行权。期权的分类7

权利特征执行时间看涨期权（买权）看跌期权（卖权）标准欧式期权欧式看涨期权（欧式买权）欧式看跌期权（欧式卖权）标准美式期权美式看涨期权（美式买权）美式看跌期权（美式卖权）规范欧式期权的买方只能在到期日行权。规范美式期权的买方可选择在到期日或到期前的任何时间行权。期权的分类按权益特征划分按执行时间划分8规范欧式买权记T为到期日，X为执行价，S为标的资产的当前价钱，ST为标的资产到期日的价钱，c和p依次表示规范欧式买权和卖权的期权费。买权持有者在到期日T有权益但无义务以价钱X从空头方卖入标的资产。标的资产到期日的市价为ST。买权持有者应如何行权呢？规范欧式期权行权决策与损益9规范欧式期权行权决策与损益10规范欧式买权假设无买卖本钱。假设ST＞X持权者会行权，由于以X买入标的再以市场价ST卖出可获利ST－X。持权人获得收入。假设ST≤X，持权者不会行权，由于行权会蒙受损失。综合这两种情况，可看出买权持有者到期报答可表达为：max[ST－X,O]即ST－X和O中的较大者。假设思索期权费c，那么买权持有者的盈亏为：max[ST－X,O]－c=max[ST－X－c,－c]规范欧式期权行权决策与损益11看涨期权空头的报答和盈亏：由于持权者的所得就是让权者的损失，故让权者到期报答为：－max[ST－X,O]=max[X－ST,O]，假设调查期权费c，让权者的盈亏为：－max[ST－X－c,－c]=max[X＋c－ST，c]规范欧式期权行权决策与损益12看跌期权多头的报答和盈亏：持权者在到期日当X＞ST时行权，X≤ST时不行权，到期报答为：max[X－ST,0]假设思索期权费p，持有者的盈亏为：max[X－ST―p,―p]规范欧式期权行权决策与损益13看跌期权空头的报答和盈亏：max[ST―X,0]假设思索期权费p，让权者的盈亏为：max[ST＋p－X,p]规范欧式期权行权决策与损益14看涨期权S(当前价钱)>X〔执行价〕时称为实值期权，内在价值〔立刻行权带来的价值〕大于零S=X时称为平价期权，内在价值等于零S<X时称为虚值期权，内在价值小于零看跌期权X>S时称为实值期权，内在价值大于零X=S时称为平价期权，内在价值等于零X<S时称为虚值期权，内在价值小于零实值、评价与虚值期权期权价值构成：期权价值等于时间价值加内在价值15标的资产到期日之前没有收益的规范美式看涨期权多头提早行权不合理其它情况下的规范美式期权提早行权能够是合理的。

规范美式期权行权时间决策16显而易见，欧式期权在到期日的价钱很容易确定。由于从如今看在到期日，标的资产的价钱会出现两种价钱变动，或者上升或者下降。当上升高过执行价钱时，显然其股票价钱与执行价钱的差额即为看涨期权在到期日的价钱。假设低于执行价钱，买权执行者就会放弃执行，买权价钱=0。期权的价钱17●K=执行价钱●S*到期日标的股票之市场价钱●C*到期日时买进一股标的股票的选择权的价格。那么有：S*—K假设S*＞KC*=0假设S*≤K或C*=MAX〔0，S*—K〕18常用赛马上的术语，当S*＞K，称该买权以“赌赢“收场，当S*＜K为赌输。假设是卖权。执行者同样可选择能否行使权益。假设P*代表卖权在到期日的价值那么有：0假设S*≥KP*=K—S*假设S*＜K或是P*=MAX〔0,K—S*〕S*＜K为赌赢。19确定一买权或卖权在到期日的价钱很容易，但在到期日之前要确定其价钱却相对困难。为了确定期权的价钱，1973年Black和Scholes发表了标的资产在行权前不付红利的欧式期权定价模型。其推导过程数学上复杂。在70年代末，财务学教授开场研讨二项式方法，其目的在于简化Black和Scholes定价模型，同时也可以为美式期权定价。这两个模型是最根本的期权定价模型，下面分别引见：201、二项式期权定价模型〔也称二叉树期权定价模型、二项分布期权定价模型〕①

二项式过程的描画二项式期权定价模型所根据的股票价钱变动过程如下所示：usSds令S为标的资产的现行价钱，假定过了一段时间后，该价钱能够上升为us，也能够下跌至ds。可以把u了解为“当资产增值时的1+报酬率〞，同样d是“资产贬值时的1-报酬率〞。21假定对该资产有一单期的买权，执行价钱为K，当它于下一期到期时，零与资产价钱中最大者即为该买权的价值。现今的买权价钱为C，这是我们试图要确定的。这种关系如下所示：Cu=max(0,us-k)CCd=max(0,ds-k)22②构造等价资产组合(复制现金流)构造等价资产组合的目的是经过无风险借/贷和标的资产的组合构造出一个与被定价期权具有一样现金流的组合。运用套利原理可知，期权的价值应等于等价资产组合的价值。详细的构造如下：

23假定存在着一种无风险资产，今天对此资产投资的每一元，到了下一期即可得到R元。毛利率R实践上等于〔1+利率〕，假设可以无限制地按R的毛利率借入或贷出。借入或贷出某个数量的无风险资产与一定量的标的资产，可以构成一个投资组合。这个投资组合的收益要恰好等于选择权的价值。〔否那么会出现套利〕24令该资产组合含有h个单位的标的资产〔风险资产〕，用B元投资的无风险资产，使股价在“上升〞与“下降〞两种形状下都满足：投资组合的价值=选择权价值，这样可复制出选择权。Cd解得：h=(us-k)/S(u-d)B=[-d(us-k)]/R(u-d)即：Cuh×us+RB=us-K(上升形状)h×ds+RB=O〔下降形状〕25由于由h个单位的风险资产加上B元无风险资产的借入(由于B是负数)组成的投资组合之收益恰好等于单期的买权。因此，一开场的本钱也必需相等，亦即C=hs+B或C=(R-d)(us-k)/R(u-d)①26举例:设u=1.5，d=0.5，R=1.10，s=100，下一期的s能够升至150，也能够跌至50，且无风险利率为10%，K=100。为这个期权定价。根据公式:h=(us-k)/s(u-d)=(1.5×100-100)/100(1.5-0.5)=50/100=0.5B=[-0.5(1.5×100-100)]/1.1(1.5-0.5)=-25/1.1=-22.73C=hs+B=0.5×100+(-22.73)=27.27也可以直接根据公式C=〔R-d〕×〔us-k〕/R〔u-d〕得出27下面将分析扩展至超越一期以后才到期的买权，其中每一期都会有u和d的变动。同样地会有us和dS两种能够的价钱。所以，第二期终了时能够出现的股价有三种。如以下图:28uususSudsdsddsCuuCuCCudCdCdd29而对应于上述资产价钱的买权价钱的树状图如上。虽然多期的价钱树状图节点多，但并不会比单期问题更复杂。其差别在于:多期问题的求解，要在每次解一个节点时，反复一次类似公式①。从价钱树的右边开场，根据最终资产价钱解出到期日买权价值，用公式①求出前一期的买权价值。30关于二项式方法，有一个很重要的现实:无论想评价一个欧式买权、卖权，还是任何其它衍生的证券，所采用的分析过程都一样。例如，假想象评价一个卖权，独一差别就是把最终的卖权价值改为max[0，k-s]而不是max[0，s-k]，其他都一样。由公式可知，选择权的价值取决于最初的资产价钱s、执行价钱k、到期的期数，标的资产上升下降的幅度u，d，无风险利率R。31◆假设在期权有效期内股票价钱的变动只是单步或二步二叉树图的方式，我们只能得到期权价钱的一个非常粗略的近似值。◆在实践中运用二叉树方法时，通常将期权有效期分成30或更多的时间步，在每一个时间步，就有一个二叉树股票价钱的变动。30个时间步意味着最后有31个末端股票价钱，并且230即大约10亿个能够的股票价钱途径。322、Black和Scholes选择权定价实际及模型Black－Scholes提出的期权定价模型是用来对不付红利的欧式期权定价的。33布莱克——舒尔斯期权定价公式其中，模型表示为：S：标的资产的当前价值，T-t：距期权到期日的时间：标的资产价钱的自然对数方差k：期权执行价钱r：期权有效期间的无风险利率N〔d1〕与N〔d2〕分别为标的资产价钱的自然对数小于d1的概率分布，和标的资产价钱的自然对数小于d2的概率分布。34运用该模型对期权定价的步骤为：第1步：利用所需的数据求解d1，d2。第2步：利用规范正态分布函数的参变量，求出正态分布积分函数N〔d1〕与N〔d2〕的值。N〔d1〕为标的资产价钱的自然对数小于d1的概率分布，N〔d2〕为标的资产价钱的自然对数小于d2的概率分布。35第3步：计算出期权执行价钱的现值,采用现值公式的延续时间方式：执行价钱的现值＝假设一年复利一次，现值=假设一年复利m次，现值＝延续支付，m→∞，现值＝用近似计算实践中可采36第4步：运用Black-Scholes模型计算看涨期权的价值Black-Scholes模型阐明：期权价钱是如下变量的函数：①期权标的市场价钱：标的价钱越高，期权价钱越高②市场价钱的动摇性〔规范差〕：标的价钱变动越大，期权价钱越高③期权执行价钱：期权执行价钱越高，期权价钱越低④距到期日期限：距期满日期限越长，期权价钱越高⑤无风险利率：无风险利率越高，期权价钱越高37这里的变量：标的资产价钱，期权执行价，期限都容易得到。无风险利率可以采用与期权具有一样到期日的政府债券的利率。只需求估计。可采用历史股价数据计算历史方差38Black－Scholes模型只适用于看涨期权，而不适用于看跌期权。但看跌期权与看涨期权有着平价关系，经过这种关系，可用看涨期权的价钱，推出一样标的物，一样剩余时间，一样执行价钱的看跌期权的价钱。看跌期权与看涨期权的平价关系，指看跌期权的价钱与看涨期权的价钱，须维持在无套利时机的平衡程度的价钱关系上。看跌期权价值模型39设看涨期权的价钱为C，看跌期权的价钱为P，期权商品的执行价为K，标的资产的市场价钱为S，那么看跌期权与看涨期权的平价关系为：S＝K+C-P或P＝C-S+K①思索货币的时间价钱，①式可变为:P＝C-S+将看涨期权价钱模型代入得：P＝C-S+＝SN〔d1〕-N〔d2〕-S+＝N〔-d2〕-SN(-d1)②②式即为看跌期权的Black－Scholes模型40期权的价钱由标的资产和金融市场相关的一些要素决议。1、与标的资产相关的要素2、与期权合约相关的要素3、与金融市场相关的要素4、美式期权与欧式期权：

5、期权价值决议要素总结期权价钱的决议要素41〔1〕标的资产的当前价值期权是一种价值取决于标的资产价值的资产。因此，标的资产当前价值的变化会影响该资产期权的价值。由于看涨期权提供了以固定价钱购买标的资产的权益。因此标的资产当前价值的上升可以添加看涨期权的价值。看跌期权那么恰好相反，随着标的资产当前价值的上升，期权的价值将减少。1.与标的资产相关的要素42〔2〕标的资产价值变化的方差期权购买者获得了以固定价钱买卖标的资产的权益。标的资产价值变动的幅度越大，期权的价值越高。这一点对看涨和看跌期权都是成立的。虽然风险〔方差〕添加导致期权价值上升这一点在直观上不易了解，但是我们该当留意到，期权与其他证券不同，期权购买者的损失最多不超越其购买期权所支付的价钱，但却能从标的资产猛烈的价钱动摇中获得相当显著的收益。43〔3〕标的资产支付的红利在期权的有效期内，假设标的资产支付红利，那么标的资产的价值就能够下跌。所以，该资产看涨期权的价值是预期红利支付额的递减函数，而看跌期权的价值是预期红利支付额的递增函数。44〔1〕期权的执行价钱期权的一个关键特点就是执行价钱。对于看涨期权而言，持有者获得了以固定价钱购买标的资产的权益，期权的价值随着执行价钱的上升而降低。而对看跌期权，因此持有者可以以固定价钱出卖标的资产，所以期权的价值随着执行价钱的上升而上升。2.与期权合约相关的要素45随着间隔期权到期日时间的添加，看涨和看跌期权都将变得更有价值。间隔到期日时间越长，标的资产价值可以变动的时间越长，因此两种类型的期权价值都会上涨。到期时间对期权的价值还存在附加的影响。对于看涨期权，购买者需求在到期日支付一个固定的价钱，随着期权有效期的延伸，这个固定价钱的现值是递减的，从而添加了看涨期权的价值，对于看跌期权，在到期日以前执行价钱卖出标的资产所获得收益的现值随着期权有效期的延伸而减小。〔2〕间隔期权到期日的时间46期权有效期内的无风险利率期权购买者预先需求支付期权费，而期权费是存在时机本钱的。该时机本钱的大小取决于利率程度和间隔期权到期的时间，由于期权的执行价钱在执行期权时才需求支付，所以要计算执行价钱的现值，进而导致利率在另一方面影响期权的价值。利率的升高将使看涨期权的价值上涨，使看跌期权的价值下降。3.与金融市场相关的要素47美式期权可以在期权到期日之前的任何一天执行，而欧式期权只能在到期日执行。可以提早执行使得美式期权比其他条件一样的欧式期权价值更高，同时也导致估价的难度上升。利用一个补偿因子可以使美式期权运用欧式期权的定价模型进展估价。在大部分情况下，期权剩余有效时间的时间溢价使得提早执行并不是最优方案。4.美式期权与欧式期权：

与提早执行有关的要素48虽然提早执行通常来讲不是最优方案，但这条规那么至少存在两个例外。一种情况是标的资产支付大量红利，从而减少了该资产和其看涨期权的价值。在这种情况下，假设期权的时间溢价小于由于红利支付而呵斥的资产价值的减少量，那么看涨期权可以在除息日之前执行。另一情况是投资者同时持有标的资产和处于实值形状的该资产的看跌期权，假设利率程度较高，看跌期权的风险溢价能够小于提早执行所获得的收益加上利息收入。49下表总结了影响看涨期权和看跌期权价值的要素及其影响效果：要素影响看涨期权价钱看跌期权价钱股票价钱上涨上升下跌执行价钱上升下跌上升标的资产价钱变动方差增大上升上升距期权到期日的时间添加上升上升利率上升上升下跌红利支付额添加下跌上升5.期权价值决议要素总结50由Black-Scholes模型计算的买权价值与用二项式定价模型计算的结果略有不同,当二项式的n(阶段)足够大时,结果将会趋向Black-Scholes模型计算的结果。51上述的Black－Scholes模型没有思索提早执行或红利支付的情况，而这两者都将对期权的价值产生影响。可以对模型进展一些调整，虽然结果并非完美无缺，但可以对期权价值进展部分修正。模