1.3.1空间直角坐标系 课件

1.3.1

空间直角坐标系一、回顾旧知1、空间向量基本定理：

如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组(x，y，z)，使都叫做基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.我们把

叫做空间的一个基底，2、平面向量的正交分解及坐标表示任一向量

的坐标表示：AyxO(x,y)一、回顾旧知二、探究新知

学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算.所以，基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础.

在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量

为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.

类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？探究：类比平面直角坐标系，你能猜想如何构建空间直角坐标系吗？二、探究新知坐标系三要素平面直角坐标系空间直角坐标系原点坐标轴单位长度坐标原点O互相垂直的两条坐标轴：x轴和y轴坐标原点O单位长度三条两两垂直的坐标轴：x轴，y轴，z轴单位长度活动：类比平面直角坐标系给出空间直角坐标系的定义二、探究新知平面向量与平面直角坐标系在平面内选取一点O和一个单位正交基底

，以O为原点，分别以

的方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系Oxy.xyzijkO空间向量与空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底

，以点O为原点，分别以

的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系Oxyz.二、探究新知1、空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底

，以点O为原点，分别以

的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这时我们就建立一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，

都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分.①定义xyzOijk①画轴：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°.二、探究新知1、空间直角坐标系②建系：建立右手直角坐标系

.说明：本书建立坐标系的都是右手直角坐标系.xyzOijk②画法二、探究新知2、点的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中，

为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使在单位正交基底

下与向量

对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标..AyxzOijkykOixzj.A

在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量

，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使

.

有序实数组(x，y，z)叫做

在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作二、探究新知3、向量的坐标这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.xyzOijkaA(x,y,z)a随堂练习1、在空间直角坐标系中标出下列各点：A(1，4，1)，B(2，-2，-1)，C(-1，-3，3)•A1(1,4,0)•A(1,4,1)•B1(2,-2,0)•xOyz111••(-1,-3,0)C1•

C(-1,-3,3)

B(2,-2,-1)二、探究新知4、特殊位置的点的坐标小提示：坐标轴上的点至少有两个坐标等于0;

坐标面上的点至少有一个坐标等于0.点P的位置原点Ox轴上Ay轴上Bz轴上C坐标形式点P的位置xOy面内DyOz面内EzOx面内F坐标形式•Oxyz111•A•D•C•B•E•F(0，0，0)(x，0，0)(0，y，0)(0，0，z)(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z)二、探究新知5、空间直角坐标系的八个卦限及坐标的符号Ⅶ面面面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ点P所在卦限ⅠⅡⅢⅣ坐标符号点P所在卦限ⅤⅥⅦⅧ坐标符号(+,+,+)(-,+,+)(-,-,+)(+,-,+)(+,+,-)(-,+,-)(-,-,-)(+,-,-)例1、如图，在正方体OABC-D′A′B′C′中，OA=3，OC=4，OD′=2，以

为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.(1)写出D′，C，A′，B′四点的坐标；(2)写出向量

的坐标三、例题解析

解：(1)D′(0,0,2)，C(0,4,0)，A′(3,0,2)，B′(3,4,2)随堂练习2、(P18T3)如图，在长方体OABC-D′A′B′C′中，OA=3，OC=4，OD′=3，A′C′与B′D′相交于点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.(1)写出C，B′，P的坐标；(2)写出向量

的坐标.解：(1)C(0,4,0)，B′(3,4,3)，OCBAA′B′C′D′xyzP随堂练习3、已知正四面体ABCD的棱长为1，试建立恰当的坐标系并表示向量解：过点A作AO垂直于平面BCD∵AB=AC=AD，∴O为△BCD的中心.

过O作OF//CD，交BC于F，

连接BO并延长交CD于E，E为CD中点，

建立如图所示的空间直角坐标系.BACEDFO随堂练习3、已知正四面体ABCD的棱长为1，试建立恰当的坐标系并表示向量∵△BCD的边长为1BACEDFO例2、在空间直角坐标系中给定点M(1，-2，3)．(1)求它分别关于xOy平面和xOz平面的对称点，(2)关于z轴和原点的对称点的坐标．(3)M(1，-2，3)关于点(-1，2，-3)的对称点.三、例题解析(3)(-3，6，-9)解：(1)M(1，-2，3)关于坐标平面xOy对称的点是(1，-2，-3)，关于xOz面对称的点是(1，2，3)，(2)M(1，-2，3)关于z轴对称的点是(-1，2，3)．关于坐标原点对称的点是(-1，2，-3)．课堂探究对称性：P(x，y，z)关于坐标平面xOy的对称点为______________关于坐标平面yOz的对称点为______________关于坐标平面xOz的对称点为______________关于x轴的对称点为______________关于y轴的对称点为______________关于z轴的对称点为______________．xyzOijkP1(x，y，－z)；P2(－x，y，z)；P3(x，－y，z)；P4(x，－y，－z)；P5(－x，y，－z)；P6(－x，－y，z)．归纳总结xyzOijk对称性规律总结：①关于哪个坐标平面对称，点在那个平面上的坐标不变，另外的一个坐标变成相反数；②关于哪条坐标轴对称，那个坐标不变，另两个变成相反数；③关于原点对称的点则三个坐标都变为相反数；④关于某个点对称可类比平面直角坐标系中点的对称．随堂练习4、在空间坐标系Oxyz中，,

分别是与x轴、y轴、z轴的正方向相同的单位向量，则的坐标为____________.5、点M(2,-3,-4)在坐标平面xOy，xOz，yOz内的投影的坐标分别为___________________________，关于原点的对称点为________，关于x轴的对称点为_________.

6、(P19T5)已知点B是点A(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影，

则_____(1，-2，-3)(2,-3,0)、(2,0,-4)、(0,-3,-4)(-2,3,4)、(2,3,4)5四、课堂小结空间向量的坐标有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.给定向量