专题02相似三角形的判定（六个知识点八大题型二个易错点 ）（原卷版）VIP

专题02相似三角形的判定（六个知识点八大题型二个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1相似三角形及其表示方法知识点2相似三角形预备定理（重点）知识点3判定两个三角形相似定理1（重点）知识点4判定两个三角形相似定理2（重点）知识点5判定两个三角形相似定理3（重点）知识点6判定两个直角三角形相似定理（重点）【方法二】实例探索法题型一：添加条件来说明三角形相似题型二：寻找图形中的相似三角形个数题型三：相似三角形的判定定理应用题型四：利用相似三角形证明等积式题型五：相似三角形应用题型六：相似三角形与函数综合题型七：与相似三角形有关的存在性问题题型八：与相似三角形有关的图形运动问题【方法三】差异对比法易错点1对两个三角形中的对应角和对应边的概念理解不透彻易错点2误用两边成比例且夹角相等来证明两个三角形相似【方法四】成果评定法期中期末中考真题练【学习目标】1.了解相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定定理，能正确地找出相似三角形的对应边和对应角。2.能灵活地运用三角形相似的判定定理，证明和解决有关问题，提升逻辑推理的核心素养。【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1相似三角形及其表示方法在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：

(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.例1：下列说法一定正确的是（ ）（A）有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似（B）对应角相等的两个三角形不一定相似（C）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（D）一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似知识点2相似三角形的预备定理（重点）平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．如图，已知直线与的两边、所在直线分别交于点和点，则．知识点3判定两个三角形相似定理1（重点）如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在与中，如果、，那么．常见模型如下：例3：如图，在中，，于点，点是边上一点，联 结交于点，交边于点．求证：．知识点4判定两个三角形相似定理2（重点）如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在与中，，，那么．要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.例4:如图，点是的边上的一点，且．求证：．知识点5判定两个三角形相似定理3（重点）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在与中，如果，那么∽．要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.例5：如图，点D为内一点，点E为外一点，且满足．求证：∽．知识点6判定两个直角三角形相似定理（重点）如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在和中，如果，，那么∽．例6：如图，在和中，，，垂足为D和，且 ．求证：∽．【方法二】实例探索法题型一：添加条件来说明三角形相似例7：如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点（DE不平行BC），若使△ADE与△ABC相似，则需要添加_____即可（只需添加一个条件）．题型二：寻找图形中的相似三角形个数例8：如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点．图中 有哪几对相似三角形？题型三：相似三角形的判定定理应用例9：如图，点、分别在的边、上，且与不平行．下列条件中，能判定与相似的是（）A． B． C． D．题型四：利用相似三角形证明等积式例10．如图，、分别是的边、上的点，且．求证：．例11.如图，是等边三角形，，求证．题型五：相似三角形应用例12.（2023·上海徐汇·统考一模）小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离为米，凉亭的高度为米，小明到凉亭的距离为米，凉亭与观景台底部的距离为米，小杰身高为米．那么观景台的高度为________________米．题型六：相似三角形与函数综合例13.如图1，正方形ABCD的边长为4，把三角板的直角顶点放置BC中点E处，三角板绕点E旋转，三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F．（1）求证：△GBE∽△GEF．（2）设AG=x，GF=y，求Y关于X的函数表达式，并写出自变量取值范围．（3）如图2，连接AC交GF于点Q，交EF于点P．当△AGQ与△CEP相似，求线段AG的长．题型七：与相似三角形有关的存在性问题例14.如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA＝，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE的正切值；（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．题型八：与相似三角形有关的图形运动问题例15.把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D 与三角板ABC的斜边中点O重合，其中，，AB= DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB 相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证∽，则 此时______；（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时间方向旋转，设旋转角为．其 中，问的值是否改变？请说明理由．【方法三】差异对比法易错点1对两个三角形中的对应角和对应边的概念理解不透彻例16.在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（）A． B．∠ADE=∠ACBC．AE﹒AC=AB﹒AD D．易错总结：找两个三角形的对应关系时，容易受思维定式的影响，想当然地把AB与A1B1当成对应边，∠A与∠A1当成对应角。易错点2误用两边成比例且夹角相等来证明两个三角形相似例17.根据下列条件，判断和是否是相似三角形；如果是，那么用符号表示出来．（1），，，，，；（2），，，，，；（3），，，，，．易错总结：利用两边成比例且夹角相等的方法判定两个三角形相似时，一定要注意这个角是对应成比例的两边的夹角，若不是，则不能判定这两个三角形一定相似。【方法四】成功评定法一、单选题1．（2022秋·上海静安·九年级上海市华东模范中学校考期中）下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2021·上海·九年级专题练习）如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（

）A． B．C． D．3．（2022秋·上海·九年级校考期中）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，，那么有（

）A． B．C． D．4．（2022秋·上海·九年级校考期中）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（

）A．平分 B． C． D．5．（2022秋·上海宝山·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题6．（2020秋·九年级校考课时练习）如图，△ABC中，DG、DF、EG分别平行于BC、AC、AB，图中与△ADG相似的三角形共有______个．7．（2022秋·九年级单元测试）如图，△ABC中，D、E分别在BA、CA延长线上，DE∥BC，，DE＝1，BC的长度是_________．8．（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，在四边形中，添加一个条件____________，可以利用定理“斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似”证明．9．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，点E是DC上一点，∠DAE=∠BAC，则EC的长为________．10．（2020秋·九年级校考课时练习）如图，在△ABC中，DE∥BC，则=______．11．（2022春·上海金山·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____．12．（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，在中，点是边上一点，添加一个条件__________，可以使与相似．三、解答题13．（2021秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于点G．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．14．（2022秋·九年级单元测试）如图，点D，E在BC上，且,求证：15．（2017秋·上海·九年级校考期中）如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC，点P为边AB上一个动点，过点P作PF∥AC交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点G，设，．（1）求证：；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）以P、E、F为顶点的三角形与△EDG能否相似？如果能相似，请求出.BP的长，如果不能，请说明理由．

（备用图）16．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，联结EF交边AB于点G，连接AC．(1)求证：△AEF∽△DAC；(2)如果FE平分∠AFB，联结CG，求证：四边形AGCE为菱形．17．（2022秋·上海徐汇·九年级校考阶段练习）已知：如图，梯形中，AD//BC，是对角线上一点，(1)求证：(2)求证：18．（2018·上海黄浦·校联考一模）如图，线段AB=5，AD=4，∠A=90°，DP∥AB，点C为射线DP上一点，BE平分∠ABC交线段AD于点E（不与端点A、D重合）．（1）当∠ABC为锐角，且tan∠ABC=2时，求四边形ABCD的面积；（2）当△ABE与△BCE相似时，求线段CD的长；（3）设CD=x，DE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．19．（2019秋·上海浦东新·九年级校联考期中）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的AC的长；如图1，在四边形ABCD中，，对角线BD平分，求证：是比例三角形．如图2，在的条件下，当时，求的值．20．（2021·上海·九年级专题练习）在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角顶点放在点P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF(如图1).(1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图2).①