专题05 相似三角形中的基本模型-对角互补模型（解析版）

专题05相似三角形中的基本模型--对角互补模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.对角互补模型（相似模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似.【常见模型及结论】1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点，辅助线：过点O作OD⊥AC，垂足为D，过点O作OH⊥BC，垂足为H，结论：①△ODE∼△OHF；②（思路提示：）.2）对角互补相似 2条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.辅助线：作法1：如图1，过点C作CF⊥OA，垂足为F，过点C作CG⊥OB，垂足为G；结论：①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·.（思路提示：，CF=OG，在Rt△COG中，）辅助线：作法2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；结论：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·.（思路提示：，在Rt△OCF中，）3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°辅助线：过点D作DE⊥BA，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F；结论：①△DAE∼△DCF；②ABCD四点共圆。例1．（2023·重庆·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝________．【答案】3【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解决问题．【详解】解：如图作PQ⊥AB于点Q，PR⊥BC于点R．∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，∴，，，∵PQ//BC，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，∴2x＋3x＝3∴，∴AP＝5x＝3．故答案为3．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．例2．（2023·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角中，，，过点作射线，为射线上一点，在边上（不与重合）且，与交于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）如果，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据题意先由等腰直角△ABC得到∠BAC=∠B=45°，从而结合∠DAE=45°得到∠DAC=∠EAB，再由平行线的性质得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，从而得到△ADC∽△AEB；（2）根据题意由相似三角形的性质得到AD：AE=AC：AB，转化为AD：AC=AE：AB，结合∠DAE=∠CAB=45°得证结果；（3）根据题意结合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE得到∠CDE=∠CED=22.5°，从而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后即可求证．【详解】解：（1）证明：∵是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，，∴；（2）证明：∵∴，即，∵，∴；（3）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴∴，又∵，∴，∴，∴【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过线段的比例关系得到三角形相似．例3．（河南省鹤壁市致远中学2021-2022学年九年级上学期第二阶段考试数学试题）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，D为BC边上的一点．过点D作射线DE⊥DF，分别交边AB，AC于点E，F．(1)当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，如图①，______．(2)①若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图②位置时，______．②若改变点D的位置，且时，求的值，请就图③的情形写出解答过程．(3)如图③连接EF，当BD＝______时，△DEF与△ABC相似．【答案】(1)(2)①；②，解答过程见解析(3)或【分析】（1）证、是的中位线，得，，即可得出答案；（2）①过点作于点，于点，先证，得出，再根据（1）所得结论即可得出答案；②过点作于点，于点，证，，推出，，同①得，则，即可得出结论；（3）分和两种情况分别求解可得．【详解】（1）解：，，，，，点是的中点，、是的中位线，，，，故答案为：3；（2）①过点作于点，于点，如图2所示：则，四边形是矩形，，即，，，即，，，，同（1）得：，，故答案为：3；②过点作于点，于点，如图3所示：，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，与①同理得：，；（3）如图所示：在中，由勾股定理得：，，与相似分两种情况：①，则，即，整理得：，，；②，则，即，整理得：，，；综上所述，当或时，与相似；故答案为：或．【点睛】本题是相似综合题，考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、旋转的性质、矩形的判定与性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形相似是解题的关键．例4．（2022·山东·宁阳县九年级期末）如图1，将直角三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交边于点，另一边交的延长线于点．（1）求证：；（2）如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，，则______．【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）2【分析】(1)利用同角的余角相等，证即可，(2)成立．过点作于，过点作于，由四边形为正方形，知平分，利用角平分线性质，。推出四边形是正方形，，利用同角的余角相等，证出即可，(3)过点作于，过点作于，垂足分别为、，则，，．可得，，得，，∴，即，再证即可．【详解】(1)证明：∵，，∴，在和中，，∴，∴；(2)解：成立．证明：如图，过点作于，过点作于，∵四边形为正方形，∴平分，又∵，，∴，∴四边形是正方形，∴，∵，，∴，∴，∴；．(3)解：如图，过点作于，过点作于，垂足分别为、，则，∴，．∴，，∴，，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查正方形中的探究问题，掌握探究问题的研究方法，试题研究，类比，应用型进行发展和提高，考查学生的应变能力，及综合运用的能力，难度较大，基础知识要过硬是解题关键．例5．（2023·河南信阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；（2）方法和一样，先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；（3）由的结论得出∽，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可．【详解】解：当时，即：，，，，，，，，即，∽，，，，∽，，，，，，，，，即，∽，，，，∽，，成立如图3，，，又，，，，，即，∽，，，，∽，，．由有，∽，，，，如图4图5图6，连接EF．在中，，，，如图4，当E在线段AC上时，在中，，，根据勾股定理得，，，或舍如图5，当E在AC延长线上时，在中，，，根据勾股定理得，，，，或舍，③如图6，当E在CA延长线上时，在中，，，根据勾股定理得，，，，或（舍），综上：或．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点．例6．（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF；（2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长；（3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长．【答案】（1）见解析；（2）4；（3）或或【分析】（1）证明△BDE≌△ADF（ASA），根据全等三角形的性质即可得到BE＝AF；（2）方法同（1），利用全等三角形的性质解决问题；（3）证明△EBD∽△DCF，推出，设AF＝m，则AE＝4m，分三种情形，分别构建方程求解即可．【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高，∴BD＝CD＝ADBC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝45°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；（2）解：如图2中，由（1）知，BD＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°+∠ADE，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF，∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝AB+AE＝4，∴AF＝4；（3）解：如图3中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝60°，∴BD＝CD＝AB•sin60°＝2，∵AE＝4AF，∴可以假设AF＝m，则AE＝4m，BE＝4﹣4m，CF＝4﹣m，∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B＝30°，∴∠FDC＝∠BED，∵∠B＝∠C，∴△EBD∽△DCF，∴，∴，整理得，m2﹣5m+1＝0，解得m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解．当点F在CA的延长线上时，CF＝4+m，由△EBD∽△DCF，可得，∴，解得，m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解．当点E在射线BA上时，BE＝4+4m，∵△EBD∽△DCF，∴，∴解得，m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解．综上所述，满足条件的AF的值为或或．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．课后专项训练1．（2023·山西临汾·统考二模）在菱形中，，对角线交于点，分别是边上的点，且与交于点，则的值为．

【答案】【分析】由菱形的性质及可证，得，；由得，，于是，可得，进而求得答案．【详解】∵∴∴∵四边形是菱形，∴，∴∴∴，又∵∴．，∵∴，∴．设，则，，；故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用全等及相似得到线段间的数量关系是解题的关键．2．（2023·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则=.【答案】【分析】过D作DG∥BC交AB于G，则DG为△ABC的中位线，根据等边三角形的性质得∠ACB＝∠ABC＝60°，由DG∥BC，得∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD为等边三角形，而∠EDF＝120°，得∠GDF＝∠CDE，易证得△GDF∽△CDE，所以FG：CE＝DG：DC，即CE：DC＝FG：DG＝FG：AG，设BF＝x，AF＝2x，则AB＝3x，AG＝1.5x，FG＝1.5x−x＝0.5x，即可得到CE：CD的比值．【详解】解：过D作DG∥BC交AB于G，如图，∵D是AC的中点，∴DG为△ABC的中位线，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠DCE＝120°，又∵DG∥BC，∴∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD为等边三角形，∵∠EDF＝120°，∴∠GDF＝∠CDE，∴△GDF∽△CDE，∴FG：CE＝DG：CD，即CE：CD＝FG：DG，而DG＝AG＝BG，AF＝2BF，设BF＝x，AF＝2x，则AB＝3x，AG＝1.5x，FG＝1.5x−x＝0.5x，∴CE：CD＝FG：DG＝FG：AG＝0.5x：1.5x＝1：3．故答案为．【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三边相等；三个角都等于60°；也考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用各性质进行推理计算是解题关键．3．（2023青岛版九年级月考）如图，在中，，，直角的顶点在上，、分别交、于点、，绕点任意旋转．当时，的值为；当时，为．（用含的式子表示）【答案】,【详解】如图，过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，由条件可以表示出HO、GO的值，通过证明△PHO∽△QGO由相似三角形的性质就可以求出结论．解答：解：过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，∴∠OHP=∠OGQ=90°．∵∠ACB=90°，∴四边形HCGO为矩形，∴∠HOG=90°，∴∠HOP=∠GOQ，∴△PHO∽△QGO，∴．∵，设OA=x，则OB=2x，且∠ABC=30°，∴AH=x，OG=x．在Rt△AHO中，由勾股定理，得OH=x，∴，∴=．故答案为．4．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为．

【答案】5【分析】过点D作于点F，利用勾股定理求得，根据旋转的性质可证、是等腰直角三角形，可得，再由，得，证明，可得，即，再由，求得，从而求得，，即可求解．【详解】解：过点D作于点F，∵，，，∴，∵将绕点A逆时针方向旋转得到，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，即，∵，，∴，∴，即，又∵，∴，∴，，∴，故答案为：5．

【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．5．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，D，M，N分别在直线，直线，直线上，(1)若D是中点，，求；(2)若点D，M，N分别在，，的延长线上，且，，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）倍长中线可证A，M，E，F四点共圆，从而≌，故（2）将转化成对应三角形的高之比，通过三角形相似：∽，可求．【详解】（1）解：延长至，使，连接、,D是中点，，在和中，，≌，，，，，A，M，E，D四点共圆，，，，∽，，，，．（2）解：与交于点，连接，作交的延长线于，作于点，，，，，，，设，，，，，，∽，，∽，，．【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质的综合应用，掌握性质和判定，并会利用面积转换是解题的关键．6．（2023·安徽·九年级专题练习）点是内一点，平分，延长交于点，延长交于点．

(1)如图，若，证明：；(2)如图，若，证明：；(3)如图，若，，，，求的值．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)或．【分析】（）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论；（2）通过证明，可得，即可求解；（3）通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，可求，，由勾股定理可求，由勾股定理可求解．【详解】（1）证明：∵平分，∴，又∵，，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴；（2）证明：如图，作，交的延长线于点，

∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∴；（3）解：如图3，连接，过点作于，过点作于，

∵平分，∴，∵，∴，∴点，点，点，点四点共圆，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，设，则，∵，∴，解得：或，∴或．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．7．（2023吉林九年级上学期期末数学试题）已知在中，，，，D为BC边上的一点．过点D用射线，分别交边于点E，F．

(1)当D为的中点，且时，如图①，______；(2)若D为BC的中点，将绕点D旋转到图②位置时，求的值；(3)若改变点D的位置，且时，如图③，则______（用含m，n的代数式表示）．【答案】(1)3(2)3(3)【分析】（1）根据题意可推出，结合相似三角形的判定和性质即可求解；（2）过点D作于点M，于点N，可证，即可进一步求解；（3）过点P作于点P，于点Q，可证，，，即可进一步求解．【详解】（1）解：∵，，，∴∴∴∵点D是的中点，∴∴∴故答案为：3（2）解：过点D作于点M，于点N，如图2所示．

则．∴四边形是矩形．∴，即．∵，∴，即．∴．∴．∴．同（1）得．∴；（3）解：过点P作于点P，于点Q，如图3所示．

∴．∴四边形是矩形．∴，，∵，∴，．∵，∴，．∴，．∴，．与（2）同理得：．∴．故答案为：【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、相似三角形的判定与性质等知识点．熟记相关知识点进行几何推理是解题关键．8．（2023江苏九年级月考）如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为；（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；【答案】见解析【详解】试题分析：（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，四边形PEBF是矩形，所以PF=BE,因为在矩形ABCD中，点P是AC的中点，所以AE=BE=PF,又∠APE=∠ACB=30°，可得PE=AE,所以;（2）过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，可证△PME∽△PNF．然后可得．试题解析：（1）．（2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN．∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN．又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF．∴．由（1）知，，∴．考点：1．矩形的性质；2．解直角三角形；3．相似三角形的判定与性质．9．（2023陕西省西安市灞桥区中考数学模拟试卷）如图1，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），过点P作PE⊥CD于点E，连接PB，已知AD＝3，AB＝4，设AP＝m．（1）当m＝1时，求PE的长；（2）连接BE，试问点P在运动的过程中，能否使得△PAB≌△PEB？请说明理由；（3）如图2，过点P作PF⊥PB交CD边于点F，设CF＝n，试判断5m+4n的值是否发生变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．【答案】（1）PE＝；（2）不能，理由见解析；（3）不变，5m+4n＝16．【分析】（1）根据勾股定理得出AC，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可；（3）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【详解】解：（1）连接BE，由已知：在Rt△ADC中，AC＝，当AP＝m＝1时，PC＝AC﹣AP＝5﹣1＝4，∵PE⊥CD，∴∠PEC＝∠ADC＝90°，∵∠ACD＝∠PCE，∴△ACD∽△PCE，∴，即，∴PE＝；（2）如图1，当△PAB≌△PEB时，∴PA＝PE，∵AP＝m，则PC＝5﹣m，由（1）得：△ACD∽△PCE，∴，∴PE＝，由PA＝PE，即，解得：m＝，∴EC＝，∴BE＝，∴△PAB与△PEB不全等，∴不能使得△PAB≌△PEB；（3）如图2，延长EP交AB于G，∵BP⊥PF，∴∠BPF＝90°，∴∠EPF+∠BPG＝90°，∵EG⊥AB，∴∠PGB＝90°，∴∠BPG+∠PBG＝90°，∴∠PBG＝∠EPF，∵∠PEF＝∠PGB＝90°，∴△BPG∽△PFE，∴，由（1）得：△PCE∽△ACD，PE＝，∴，即，∴EC＝，∴BG＝EC＝，∴，∴5m+4n＝16．【点睛】此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理进行解答．10．（2023甘孜州中考模拟）如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE．（1）求证：BG=AE；（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图②所示）①求证：BG⊥CE；②设DG与AB交于点M，若AG：AE=3：4，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②．【详解】试题分析：（1）如图①，根据等腰直角三角形的性质得AD=BD，再根据正方形的性质得∠GDE=90°，DG=DE，则可根据“SAS“判断△BDG≌△ADE，于是得到BG=AE；（2）①如图②，先判断△DEG为等腰直角三角形得到∠1=∠2=45°，再由△BDG≌△ADE得到∠3=∠2=45°，则可得∠BGE=90°，所以BG⊥GE；②设AG=3x，则AE=4x，即GE=7x，利用等腰直角三角形的性质得DG=GE=x，由（1）的结论得BG=AE=4x，则根据勾股定理得AB=5x，接着由△ABD为等腰直角三角形得到∠4=45°，BD=AB=x，然后证明△DBM∽△DGB，则利用相似比可计算出DM=x，所以GM=x，于是可计算出的值．试题解析：（1）证明：如图①，∵AD为等腰直角△ABC的高，∴AD=BD，∵四边形DEFG为正方形，∴∠GDE=90°，DG=DE，在△BDG和△ADE中，∵BD=AD，∠BDG=∠ADE，DG=DE，∴△BDG≌△ADE，∴BG=AE；（2）①证明：如图②，∵四边形DEFG为正方形，∴△DEG为等腰直角三角形，∴∠1=∠2=45°，由（1）得△BDG≌△ADE，∴∠3=∠2=45°，∴∠1+∠3=45°+45°=90°，即∠BGE=90°，∴BG⊥GE；②设AG=3x，则AE=4x，即GE=7x，∴DG=GE=x，∵△BDG≌△ADE，∴BG=AE=4x，在Rt△BGA中，AB===5x，∵△ABD为等腰直角三角形，∴∠4=45°，BD=AB=x，∴∠3=∠4，而∠BDM=∠GDB，∴△DBM∽△DGB，∴BD：DG=DM：BD，即x：x=DM：x，解得DM=x，∴GM=DG﹣DM=x﹣x=x，∴==．考点：四边形综合题；综合题．11．（2023·四川·九年级专题练习）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．

【初步感知】(1)如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．【深入探究】(2)①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）【拓展运用】(3)如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．【答案】(1)见解析(2)①，证明过程略；②当点F在射线上时，，当点F在延长线上时，(3)【分析】（1）连接，当时，，即，证明，从而得到即可解答；（2）①过的中点作的平行线，交于点，交于点，当时，，根据，可得是等腰直角三角形，，根据（1）中结论可得，再根据，，即可得到；②分类讨论，即当点F在射线上时；当点F在延长线上时，画出图形，根据①中的原理即可解答；（3）如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，可利用建系的方法表示出的坐标，再利用中点公式求出，最后利用勾股定理即可求出的长度．【详解】（1）证明：如图，连接，

当时，，即，，，，,，，即，，，在与中，，，，；（2）①证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点，

当时，，即，是的中点，，，，，，，是等腰直角三角形，且，，根据（1）中的结论可得，；故线段之间的数量关系为；②解：当点F在射线上时，如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，

同①，可得，，，，，同①可得，，即线段之间数量关系为；当点F在延长线上时，如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，连接

同（1）中原理，可证明，可得，，，，，同①可得，即线段之间数量关系为,综上所述，当点F在射线上时，；当点F在延长线上时，；（3）解：如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，

如图，以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，过点作的垂线段，交于点，过点作的垂线段，交于点，

，，，，，，，是的中点，，，，，根据（2）中的结论，，，，，，．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，正确地画出图形，作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键．12．（2023·宁夏银川·九年级校考阶段练习）将一副三角尺如图①摆放，在中，；在中，，点为的中点，交于点，经过点．（1）求的度数；（2）如图②，将绕点顺时针方向旋转角（），此时的等腰直角三角尺记为，交于点，交于点，试判断的值是否随着的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．【答案】（1）30°；（2）不变，．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等边对等角求出，再求出，再根据计算即可得解；（2）先证明，再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出∽，再根据相似三角形对应边成比例可得为定值，再根据特殊角三角函数值求解即可．【详解】解：（1）如图①，，点为的中点，，，，；（2）如图②，，，，，，是等边三角形，，，，在和中，，，，，的值不随着的变化而变化，是定值．【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并判断出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．13．（2023·广西南宁·校联考一模）在等边中，点D是边上一点，点E是直线上一动点，连接，将射线绕点D顺时针旋转，与直线相交于点F．(1)若点D为边中点．①如图1，当点E在边上，且时，请直接写出线段与的数量关系________；②如图2，当点E落在边上，点F落在边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；(2)如图3，点D为边上靠近点C的三等分点．当时，直接写出的值．【答案】(1)①；②仍然成立；理由见解析(2)或【分析】（1）①用“ASA”证明即可得出DE=DF；②将DB绕点D顺时针旋转120°，交AC于点，则证明即可得出DE=DF；（2）分点E在A、B两点之间和点E在B点下方两种情况进行讨论，即可得出结果．【详解】（1）解：①DE=DF；∵△ABC为等边三角形，∴，∵点D为BC的中点，∴，∵DE⊥AB，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴DE=DF；故答案为：DE=DF；②DE=DF仍然成立；将DB绕点D顺时针旋转120°，交于AC于点，如图所示：∵，∴，∴，∴，∴，∴，为等边三角形，∴，∵，，∴，∴，∴DE=DF；（2）①当点E在A、B两点之间时，将DB绕点D顺时针旋转120°，交于AC于点，如图所示：设等边三角形的边长为a，∵AE:BE=3:2，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，为等边三角形，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴；②点E在B点下方时，将DB绕点D顺时针旋转120°，交于AC于点，如图所示：设等边三角形的边长为a，∵AE:BE=3:2，∴，∵，∴，∴，∴，∴∴，为等边三角形，∴，即，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴；综上分析可知，的值为或4．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，三角形相似的判定和性质，旋转的性质，正确