排列组合题型分类(教师版)

目录TOC\o"11"\h\u排列组合题型分类 1一．元素分析法（位置分析法）： 1二．可重复排列 2三．相邻问题 3四．不相邻问题 4五．相邻和不相邻综合问题 4六．甲不乙不问题 5七．坐凳子问题 6八．多排问题 7九．环排问题 7十．定序问题 10十一．错排问题（不配对问题） 12十二．不同小球进盒问题 12十三．相同小球进盒问题 15十四．多面手问题 16十五．走楼梯问题 16十六．排数问题 17十七．染色问题 22十八．走格子问题 31十九.马尔可夫型 34排列组合题型分类一．元素分析法（位置分析法）：方法：特殊优先，一般在后亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A.36种B.12种C.18种D.48种【解析】：方法一：从后两项工作出发，采取位置分析法。方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选法，共有选法36种，选A.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？【解析】：老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种。.有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？【解析】法一：法二：法三：六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选：B．某班班会准备从含甲、乙的7人中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（）A．720种 B．520种 C．600种 D．360种【解答】解：分两类：第一类，甲、乙两人只有一人参加，则不同的发言顺序有种；第二类：甲、乙同时参加，则不同的发言顺序有种．共有：+＝600（种）．故选：C．二．可重复排列方法：求幂法，一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在判断店是底数，客是指数有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？【答案】：有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？【答案】将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【答案】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案.8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、B、C、D、【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有种不同的结果。所以选A三．相邻问题方法：捆绑法，规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列，注意捆绑的元素之间可以互换位置停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？【答案】：先排好8辆车有A种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空车位置插入有C种方法，所以共有CA种方法.永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩.2008年7月，成功列入世界遗产名录．它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧．土楼具体有圆形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊脚楼等类型．现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究．要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻．则共有（）种不同的排法．A．480 B．240 C．384 D．1440【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①将方形、五角形看成一个整体，与除圆和方形、五角形之外的4个图形全排列，有A22A55＝240种情况，②将圆形安排在第一个或最后一个，有2种情况，则有240×2＝480种不同的排法，故选：A．四．不相邻问题方法：插空法，不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【答案】：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是____________种马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【答案】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.五．相邻和不相邻综合问题方法：先捆绑，再排其他，最后插空24．已知六人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（）A．72 B．96 C．120 D．288【解答】解：设另外两人为戊己．可以分步完成，①甲丁捆绑后排序有种方法，②捆绑后的甲丁戊己排序，有种方法，③将乙丙插空，四个空位中与甲相邻的空位不能选择，故有种方法，根据分步乘法原理，共有2×6×6＝72种方法．故选：A．30．用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6不相邻，这样的六位数有（）个．A．24 B．48 C．96 D．36【解答】解：由题意知1与2，3与4分别相邻的数有A44A22A22＝96个，1与2，3与4，5与6分别相邻的数有A33A22A22A22＝48个，∴1与2，3与4分别相邻但5与6不相邻的数有96﹣48＝48个．故选：B．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A.360B.288C.216D.96【解析】：间接法6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，种其中男生甲站两端的有，符合条件的排法故共有288六．甲不乙不问题方法一：直接法，分类讨论方法二：间接法，容斥原理身穿兰、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿红色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．78种D．84种解答：A55﹣A22A44A22A44+A22A22A33=48故选A．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为（）A．10 B．12 C．14 D．24【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①若甲分配到B班，剩下三人全排列即可，有A33＝6种情况，②若甲不分配到B班，甲的分配方法有2种，丁不能分配到B班，其分配方法有2种，剩下2人安排到剩下的2个班级，有2种分配方法，此时有2×2×2＝8种分配方法，则一共有6+8＝14种不同的分配方法，故选：C．从星期一到星期六安排甲、乙、丙三人值班，每人值2天班，如果甲不安排在星期一，乙不安排在星期六，那么值班方案种数为（）A．42B．30C．72D．60解答：解；分两类第一类，甲排在星期六，有C41C42=24种排法．第二类，甲不排在星期六，有C42C32=18种排法∴值班方案种数为24+18=42种故选A七．坐凳子问题方法：人带着凳子走3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？【解析】：解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A，○*○*○*○，在四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A种，所以每个人左右两边都空位的排法有=24种.解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A=24种.将A、B、C、D、E五种不同文件随机地放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，则文件A、B被放在相邻抽屉内且文件C、D被放在不相邻的抽屉内的放法种数为（）A．240B．480C．840D．960【答案】B八．多排问题方法：单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）A、36种B、120种C、720种D、1440种【答案】把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为（A） （B）（C） （D）【答案】C8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？【答案】看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.九．环排问题方法：减一个，再单排8人围桌而坐，共有多少种坐法？【解答】解：围桌与坐一排的不同点在于圆桌没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线，其余7人共有（8﹣1）！＝5040坐法．8名学生平均分成两组，每组都围成一个个圆圈，有种不同的围法．【解答】解：8名学生平均分成两组，有种分组法，每组都围成一个圈，两个组有种围法，所以共有•＝＝1260种不同的围法．故答案：1260或．7颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈．【解答】解：因为由于环状排列没有首尾之分，将n个元素围成的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有种排法．由于n个元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有种排法，而珠子圈没有反正，故7颗颜色不同的珠子，可穿成＝360种不同的珠子圈．故答案为：360．已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有m位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有60种，那么这m位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（）A．24 B．48 C．60 D．120【解答】解：根据题意，现有m位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有60种，则甲同学在乙同学右边的站法共有60种，故Amm＝60，解可得m＝5，那么这5位同学围成一个圆时，不同的站法有A55＝24种，故选：A．5个女孩与6个男孩围成一圈，任意两个女孩中间至少站一个男孩，则不同排法有___种（填数字）．【解答】解：因为任意两个女孩中间至少站一个男孩，故有且仅有两个男孩站在一起，①先把5个女孩排成一个圈，这是一圆排列，因此共有＝（5﹣1）!＝4!种方法，②再把6个男孩排成一直列，共有6!种方法，③最后在排好的男生中选择两个相邻的男孩组合在一起，共有5种方法，这样男生被分为5份，依次塞入女生间的空隙中，综上，不同的排法应有4!×6!×5＝86400种．如图，某手链由10颗较小的珠子（每颗珠子相同）和11颗较大的珠子（每颗珠子均不相同）串成，若10颗小珠子必须相邻，大珠子的位置任意，则该手链不同的串法有（）A．种 B．种 C．种 D．种【解答】解：将10颗小珠子看成一个整体，不同的串法有种．故选：B．如图，某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞的伞蓬是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有（）A．40320种 B．5040种 C．20160种 D．2520种【解答】解：从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有7种方法，剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，有6！种方法．由于图象是轴对称图形，故上述方法正好重复了一次，故不同的涂法有＝2520种，故选：D．21个人按照以下规则表演节目：他们围坐一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数，那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为（）A．19 B．38 C．51 D．57【解答】解：根据题意，在第一轮报数中，有＝7人表演节目，则第一轮报完数后剩下14人，一共报数21次；在第二轮报数中，14＝3×4+2，有4人表演节目，则这一轮报完数后剩下10人，一共报数14次；在第三轮报数中，10个人从3开始报数，有4人表演节目，则这一轮报完数后剩下6人，一共报数10次；在第四轮报数中，6＝3×2，有2人表演节目，则这一轮报完数后剩下4人，一共报数6次；在第五轮报数中，4＝3×1+1，有1人表演节目，则这一轮报完数后剩下3人，一共报数4次；在第六轮报数中，3个人从2开始报数，有1人表演节目，则这一轮报完数后剩下2人，一共报数2次；在第七轮报数中，3＝3×1，有1人表演节目，一共报数3次；此时仅剩两个人没有表演过节目，一共报数：21+14+10+6+4+2＝57次．故选：D．十．定序问题方法：缩倍法：全排列处以定序的全排列书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？【答案】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C在后的原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？【答案】身高互不相同的7名运动员站成一排，其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有种．（用数字填写答案）【解答】解：先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有A74，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即A74＝840，故答案为：840．某学习小组A、B、C、D、E、F、G七名同学站成一排照相，要求A与B相邻，并且C在D的左边，E在D的右边，则不同的站队方法种数为（）A．120 B．160 C．240 D．360【解答】解：A与B相邻，将其捆绑看成一个整体，C在D的左边，E在D的右边，将CDE按顺序排好，产生4个空位，插入AB，F，G即可，共＝240种方法．故选：C．如图，迎面从左至右悬挂3串气球，分别有两串绑两只，一串绑3只，现在用枪射击气球，假设每枪均能命中一只气球，要求每次射击只能射击每串最下方的气球，则用7枪击爆这7只气球不同的次序有多少种．【解答】解：由题意，第一排，排对的概率是二分之一，第二排，排对的概率是二分之一，第三排，排对的概率是六分之一，7只气球的所有排列是，∴用7枪击爆这7只气球不同的次序有×＝210种．故答案为：210．十一．错排问题（不配对问题）方法：3对3，2种排法，4对4，9种排法，5对5，44种排法将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种网☆【答案】.编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（）A10种B20种C30种D60种答案：B同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有()（A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种【答案】（B）五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有(）（A）60种 （B）44种 （C）36种 （D）24种答案：B在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种编号为1,2,3,4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不能种3号小麦，则共有______种不同的种植方案。答案：11十二．不同小球进盒问题方法：先分堆再分配：注意均匀分堆和不均匀分堆有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（3）分成每组都是2本的三个组；（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本；（5）分给5人每人至少1本。【答案】（1）（2）（3）（4）（5）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种【解析】：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有＝60种，若是1,1,3，则有＝90种，所以共有150种，选A将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（） A．70 B．140 C．280 D．840答案：（A）将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（）（A）３０种（B）９０种（C）１８０种（D）２７０种【解析】：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有种方法，再将3组分到3个班，共有种不同的分配方案，选B.某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有（）种☆A．16种 B．36种 C．42种 D．60种【解析】：按条件项目可分配为与的结构，∴故选D；有四位朋友于七夕那天乘坐高铁G77从武汉出发（G77只会在长沙、广州、深圳停），分别在每个停的站点至少下一个人，则不同的下车方案有（）A．24种 B．36种 C．81种 D．256种【解答】解：由题意可知，有一个站要下2人，从4个人选2人在一个站下车，其他2人分别在另2个站下车，故由C42A33＝36种，故选：B．高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（）A．15种 B．90种 C．120种 D．180种【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分成1、2、2的三组，有＝15种分组方法，②将分好的三组全排列，安排到三个不同社区服务小组，有A33＝6种情况，则有15×6＝90种报名方案，故选：B．2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为.（用数字作答）．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①对于5名党员，先将5名党员分为3组，有2种分组方法，若分为2、2、1的三组，有＝15种方法，若为3、1、1的三组，有＝10种方法，则共有10+15＝25种分组方法，再将分好的三组对应3个不同的扶贫村，有A33＝6种情况，则5名党员的安排方法有25×6＝150种，②对于名医护人员，直接全排列，安排到3个不同的扶贫村，有A33＝6种情况，则有150×6＝900种不同的分派方案．故答案为：900．十三．相同小球进盒问题方法：隔板法，注意有空盒子问题和无空盒子问题10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？【答案】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为种.将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？【答案】：1、先从4个盒子中选三个放置小球有种方法。2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有、、种方法。3、由分步计数原理可得=720种把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？【答案】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有种。方程x1+x2+x3+x4+x5＝9的非负整数解的组的个数为（）A． B． C． D．【解答】解：求方程x1+x2+x3+x4+x5＝9的非负整数解，相当于：将9+4＝13个元素排成一列，从中选取4个元素作为隔板，4个隔板之间和它们之外的元素的个数，从左向右依次等于x1、x2、x3、x4、x5的值，因此，方程x1+x2+x3+x4+x5＝9的非负整数解有个．故选：A．十四．多面手问题方法：根据是否有多面手，多面手参与什么样的工作分类讨论有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？答案：185十五．走楼梯问题方法：方程法小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？

【答案】

故总共有：1+6+15+15=37种。欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有()（A）34种 （B）55种 （C）89种 （D）144种答案：（C）某段楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级．若规定这段楼梯用8步走完，则不同的走法有（）A．45种 B．36种 C．28种 D．25种【解答】解：∵10÷8的余数为2，∴一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，∴不同的走法有．故选：C．十六．排数问题方法：根据有零和无零讨论，数字“0”不能当首位由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（）个．A．360 B．192 C．312 D．240【解答】解：根据题意可分为两类：个位数字为0和个位数数字为2或4，当个位数字为0时，小于50000的偶数有个；当个位数字为2或4时，小于50000的偶数有个，所以小于50000的偶数共有96+144＝240个．故选：D．用0、1、2、3、4、5六个数字组成无重复数字的四位数，比3542大的四位数的个数是（）A．360 B．240 C．120 D．60【解答】解：因为3542是能排出的四位数中千位为3的最大的数，所以比3542大的四位数的千位只能是4或5，所以共有2×5×4×3＝120个比3542大的四位数．故选：C．算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具，是中国古代的一项伟大、重要的发明．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表：项目123456789纵式横式用算筹计数法表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如“”表示的三位数为732．如果把4根算筹以适当的方式全部放入表格“”中，那么可以表示不同的三位数的个数为（）A．18 B．20 C．22 D．24【解答】解：共有4根算筹，当百位数为4根，十位0根，个位0根时，则有2个三位数；当百位数为3根，十位1根，个位0根时，则有2个三位数；当百位数为3根，十位0根，个位1根时，则有2个三位数；当百位数为2根，十位2根，个位0根时，则有4个三位数；当百位数为2根，十位0根，个位2根时，则有4个三位数；当百位数为2根，十位1根，个位1根时，则有2个三位数；当百位数为1根，十位3根，个位0根时，则有2个三位数；当百位数为1根，十位0根，个位3根时，则有2个三位数；当百位数为1根，十位2根，个位1根时，则有2个三位数；当百位数为1根，十位1根，个位2根时，则有2个三位数，所以共有2+2+2+4+4+2+2+2+2+2＝24个．故选：D．由0，1，2，…，9这十个数组成无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（）A．180 B．196 C．210 D．224【分析】由题意知本题是一个计数原理的应用，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的情况有2种，即：①当个位与百位数字为0，8时，②当个位与百位为1，9时，分别表示出所有的情况，由加法原理计算可得答案．【解答】解：由题意知本题是一个计数原理的应用0到9十个数字中之差的绝对值等于8的情况有2种：0与8，1与9；分2种情况讨论：①当个位与百位数字为0，8时，有A82A22；②当个位与百位为1，9时，有A71A71A22．共A82A22+A71A71A22＝210，故选：C．用1，2，3，⋯，9这九个数字组成的无重复数字的四位奇数中，各位数字之和为偶数的共有（）A．120个 B．600个 C．720个 D．840个【解答】解：根据题意，若想组成四位奇数且各位数字之和为偶数，分以下两种情况：（1）四位数均为奇数：包含种；（2）四位数中两位奇数两位偶数：包含种．综上所述一共包含120+720＝840个．故选：D．4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（）A．288 B．336 C．368 D．412【解答】解：根据题意，不考虑数字的重复问题，4张卡片排成一排，可以组成×24＝384种情况，其中，若两张卡片都是1，有•×22＝48种情况，则有384﹣48＝336种情况，即可以组成336个不同的四位数；故选：B．有一位爱思考的同学将数字“124669”重新排列，则得到不同的偶数个数为（）A．72 B．120 C．192 D．240【解答】解：根据题意，当个位数字是2或4或6时，可得到偶数，当个位数字为2或4时，不同的偶数个数为个；当个位数字是6时，不同的偶数个数为．因此，不同的偶数共有120+120＝240个．故选：D．为纪念我国伟大数学家祖冲之在圆周率上的贡献，国际上把3.1415926称为“祖率”，某教师为了增加学生对“祖率”的印象，以“祖率”为背景设计如下练习：让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分不变，那么可以得到小于3.14的不同数有（）个．A．480 B．120 C．240 D．720【解答】解：由题意先排十分位必为1，一种方法，再排百分位可以为1或2，两种方法，最后排其余后面的数位，余下的五个数字全排列即可，即不同种数有．故选：C．由0～9这10个数组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（）A．120 B．168 C．204 D．216【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：当数字不含0时，从9个数字中选三个，则这三个数字递增或递减的顺序确定是两个三位数，共有2＝168，当三个数字中含有0时，从9个数字中选2个数，它们只有递减一种结果，共有＝36个，根据分类计数原理知共有168+36＝204，故选：C．回文联是我国对联中的一种，用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家酒楼叫“天然居”，一次乾隆路过这家酒楼，称赞楼名的高雅，遂以楼名为题作对联，上联是：“客上天然居，居然天上客”．纪晓岚对曰：“人过大佛寺，寺佛大过人”，乾隆微笑颔首，后“天然居”以此为门联，遂声名大噪．在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为：“回文数”．如66，787，4334等，那么用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9可以组成4位“回文数”的个数为（）A．56个 B．64个 C．81个 D．90个【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①4位“回文数”中数字全部相同，有9种情况，即此时有9个4位“回文数”；②4位“回文数”中有2个不同的数字，有种情况，即此时有72个4位“回文数”，则一共有9+72＝81个4位“回文数”，故选：C．定义：“各位数字之和为7的四位数叫好运数”，比如1006，2203，则所有好运数的个数为（）A．82 B．83 C．84 D．85【解答】解：因为各位数字之和为7的四位数叫幸运数，所以按首位数字分别计算，当首位数字为1，则剩余三位数分别是5，1，0；6，0，0；1，1，4；4，2，0；3，2，1；3，3，0；2，2，2，共有个幸运数；当首位数字为2，则剩余三位数分别是4，1，0；5，0，0；1，1，3；3，2，0；2，2，1，共有个幸运数；当首位数字为3，则剩余三位数分别是3，1，0；4，0，0；1，1，2；2，2，0，共有个幸运数；当首位数字为4，则剩余三位数分别是2，1，0；3，0，0；1，1，1，共有个幸运数；当首位数字为5，则剩余三位数分别是1，1，0；2，0，0，共有3+3＝6个幸运数；当首位数字为6，则剩余三位数分别是1，0，0，共有3个幸运数；当首位数字为7，则剩余三位数分别是0，0，0，共有1个幸运数；则共有1+3+6+10+15+21+28＝84个幸运数．故选：C．用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A．243B．252C．261D．279解：用0，1，2，…，9十个数字，所有三位数个数为：900，其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8=648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252．故选B．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种B、300种C、464种D、600种【答案】

：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个，个，合并总计300个,选.如果一个十位数F的各位数字之和为81，则称F是一个“小猿数”．则小猿数的个数为．【解答】解：设F＝．则a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10＝81，其中1≤a1≤9，0≤ai≤9，i＝1，2，3，…，10．令bi＝9﹣ai则有b1+b2+...+b10＝9，其中0≤b1≤8，0≤bi≤9，i＝1，2，3，…，10．而该方程的非负整数解共有C＝＝48620组，除去唯一一组不合题意得（9，0，0，…，0），故共有48620﹣1＝48619个“小猿数”．故答案为：48619．十七．染色问题方法：可根据共用了多少种颜色分类讨论;根据相对区域是否同色分类讨论;将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_______.【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。(1)若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有种方法。(2)若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有种方法。(3)若恰用五种颜色染色，有种染色法综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。【答案】420.【解析二】设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有种染色方法。由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有种染色方法。由乘法原理，总的染色方法是【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？总体实施分步完成,可分为四大步:①给S涂色有5种方法;②给A涂色有4种方法(与S不同色);③给B涂色有3种方法(与A,S不同色);④给C,D涂色.当C与A异色时,C,D都有2种涂色方法;当C与A同色时,C有一种涂色方法(与A同色),D有3种涂色方法.给C,D涂色共有2×2+3=7种方法.由分步计数原理共有5×4×3×7=420种方法如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（）A．24 B．48 C．96 D．120【解答】解：第一类：若A，D相同，先涂E有4种涂法，再涂A，D有3种涂法，再涂B有2种涂法，C只有1种涂法，共有4×3×2＝24种，第二类，若A，D不同，先涂E有4种涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种涂法，当B和D相同时，C有2种涂法，当B和D不同时，B，C只有1种涂法，共有4×3×2×（2+1）＝72种，根据分类计数原理可得，共有24+72＝96种，故选：C．玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形积木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，其余棱用另4种颜色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，同一面内再无同色的棱，则染法总数为（）A．216 B．360 C．720 D．1080【解答】解：根据题意，如图：分3步进行分析：①要求侧棱用同一种颜色，则侧棱有5种选色的方法，②对于上底ABCD，有4种颜色可选，而要求4条边的颜色都不相同，则有＝24种选法，③对于下底A1B1C1D1，每条边与上底和侧棱的颜色不同，有3×3×1×1＝9种选法，则共有5×24×9＝1080种选法．故选：D．五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学、中医学和占卜方面．五行学说是华夏文明重要组成部分．古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系．如图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（）A．3125 B．1000 C．1040 D．1020【解答】解：五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件，五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色，故问题转化为如图A，B，C，D，E五个区域，有5种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即5色5区域的环状涂色问题，分为以下两类情况：第一类：A，C，D三个区域涂三种不同的颜色，第一步涂A，C，D区域，从5种不同的颜色中选3种按顺序涂在不同的3个区域上，则有种方法，第二步涂B区域，由于A，C颜色不同，则有3种方法，第三步涂E区域，由于A，D颜色不同，则有3种方法，由分步计数原理，则共有＝540种方法；第二类：A，C，D三个区域涂两种不同的颜色，由于C，D不能涂同一色，则A，C涂一色，或A，D涂同一色，两种情况方法数相同，若A，C涂一色，第一步涂A，C，D区域，A，C可看成同一区域，且A，D区域不同色，即涂2个区域不同色，从5种不同的颜色中选2种按顺序涂在不同的2个区域上，则有种方法，第二步涂B区域，由于A，C颜色相同，则有4种方法，第三步涂E区域，由于A，D颜色不同，则有3种方法，由分步计数原理，则共有＝240种方法；若A，D涂一色，与A，C涂一色的方法数相同，则共有2×240＝480种方法，由分类计数原理可知，不同的涂色方法共有540+480＝1020种．故选：D．如图，4个圆相交共有8个交点，现在4种不同的颜色供选用，给8个交点染色，要求在同一圆上的4个交点的颜色互不相同，则不同的染色方案共有（）种．A．0 B．24 C．48 D．96【解答】解：由题意，其中一部分有四种方法，与其紧邻的有3种方法，再相邻的有2种，两圆的公共部分有2种，剩余两部分有2种，涂色示意图如下：共有4×3×2×1×2×1×2＝96种涂法．故选：D．现准备给每面刻有不同点数的骰子涂色，每个面涂一种颜色，相邻两个面所涂颜色不能相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（）A．720种 B．780种 C．600种 D．660种【解答】解：先涂点数为2的区域，有5种选择；再涂点数为4的区域，有4种选择；再涂点数为6的区域，有3种选择．当点数为6的对面区域与点数为6的区域涂的颜色不同时，有两种情况，剩下的区域分两种情况讨论：若点数为4的对面区域与点数为4的区域涂的颜色不同，则剩下的一个区域只有1种选择；若点数为4的对面区域与点数为4的区域涂的颜色相同，则剩下的一个区域有2种选择．当点数为6的对面区域与点数为6的区域涂的颜色相同时，分两种情况讨论：若点数为4的对面区域与点数为4的区域涂的颜色不同，有2种选择，则剩下的一个区域也有2种选择；若点数为4的对面区域与点数为4的区域涂的颜色相同，则剩下的一个区域有3种选择．故不同的涂色方案有5×4×3×[2×（1+2）+2×2+3]＝780种．故选：B．用红、黄、蓝、绿四种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着同色．在所有着色方案中，①③⑤着相同色的方案有（）种．A．96 B．24 C．48 D．108【解答】解：因为①③⑤着相同的颜色，可以有种，②④⑥按要求可随意着与①③⑤不同色的另外三种颜色，故有种，所以共有4×27＝108种．故选：D．用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格⼦的染色方法种数为（）A．15 B．16 C．18 D．20【解答】解：依题意，第一个格子必须为黑色，设格子从左到右的编号分别为1～6．故①当1，3，5号格子为黑色时：有23＝8种；②当1，3号为黑色且5号为白色时：若2号为黑色则有22＝4种，若2号为白色，则4号为黑色有2种，故此时共有4+2＝6种；③当1号为黑色，3号为白色时：2号必为黑色，若4号为白色，则有1×1×1×1××12＝2种，若4号为黑色，则有1×1×1×1×2×2＝4种，故此时共有2+4＝6种；综上，共有8+6+6＝20种．故选：D．用红、黄、绿、蓝四种不同颜色给一个正方体的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同的颜色，则共有涂色方法（涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法）（）A．10种B．12种C．24种D．48种解：由于涂色过程中，要保证满足用四种颜色，且相邻的面不同色，对于正方体的三对面来说，必然有三对同色或两对同色，一对不同色，而且三对面具有“地位对等性”，因此，三对同色：=4种不同的涂法；两对同色，一对不同色：只需从四种颜色中选择2种涂在其中两对面上，剩下的两种颜色涂在另外两个面即可．因此共有=6种不同的涂法．故共有4+6=10种不同的涂法．故选：A．中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，…，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同．若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（）A．1050种 B．1260种 C．1302种 D．1512种【解答】解：由题意可得，只需确定区域1，2，3，4的颜色，即可确定整个伞面的涂色．先涂区域1，有7种选择；再涂区域2，有6种选择．当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有5种选择，剩下的区域4有5种选择．当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有6种选择．故不同的涂色方案有7×6×（5×5+6）＝1302种．故选：C．如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成），给△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色，且相邻区域（即图中有公共点的区域）不同色，已知有5种不同的颜色可供选择．则不同的涂色方法种数是（）A．360 B．120 C．420 D．216【解答】解：根据题意，所有的涂色方案分3类，第1类：用三种颜色为：⑤一种颜色，①③同色，②④同色，则涂色方法为＝60种，第2类：用到四种颜色为：⑤一种颜色，①③不同色，②④同色或为⑤一种颜色，①③同色，②④不同色，则涂色方法为2＝240种，第3类：用到五种颜色，此时涂色方法为＝120种，则有60+240+120＝420种涂色方法．故选：C．在生物学研究过程中，常用高倍显微镜观察生物体细胞．已知某研究小组利用高倍显微镜观察某叶片的组织细胞，获得显微镜下局部的叶片细胞图片，如图所示，为了方便研究，现在利用甲、乙、丙、丁等四种不同的试剂对A、B、C、D、E、F这六个细胞进行染色，其中相邻的细胞不能用同种试剂染色，则共有120种不同的染色方法（用数字作答）．【解答】解：①若C，D，E用不同的颜色，则有种，F只有一种可能，若A与E颜色相同，则B有2种可能；若A与E颜色不同，则B有1种可能，所以共有24×（2+1）＝72种可能；②若C，D，E中C与E用同种颜色，则有种，F有两种可能，A有两种可能（无论A选哪种颜色，B都只有一种可能），则有12×2×2＝48种．综上所述，共有72+48＝120种．正方体六个面上分别标有A，B，C，D，E，F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有种．（用数字作答）【解答】解：首先涂法可分三类：用3种颜色和用4种颜色，用5种颜色涂色，正方体有3组相对面，用5色涂色时，有＝360种；用4色时，有＝360种；用3色涂色时，有＝60种；∴总情况数360+360+60＝780．故答案为：780．如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A．192 B．336 C．600 D．以上答案均不对【解答】解：E，F，G分别有4，3，2种方法，①当A与F相同时，A有1种方法，此时B有2种，（1）C若与F相同有C有1种方法，同时D有3种方法，（2）若C与F不同，则此时D有2种方法，故此时共有：4×3×2×1×2×（1×3+1×2）＝240种方法；②当A与G相同时，A有1种方法，此时B有3种方法，（1）若C与F相同，C有1种方法，同时D有2种方法，（2）若C与F不同，则D有1种方法，故此时