初中八年级数学重点学习课件：正方形（测试）（解析版）

专题10正方形

专题测试

1.（2018春•巴南区期末）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在线段DE上，若AB=AF,

贝I"BFE=（）

【答案】A

【解析】解：•••四边形ABCD是正方形,

，AB=AD,ZBAD=90",

VAB=AF,

/.△ABF和4ADF都是等腰三角形，

=N3=/4,

VZBAD+Zl+Z2+Z3+Z4=360°,

.*.2/2+2/3=270°,

.*.Z2+Z3=135",

/.ZBFE=180°-135°=45°,

故选：A.

2.（2018春•玄武区期末）如图，在边长为4的正方形ABCD内取一点E,使得BE=CE,连接ED、BD.BD

与CE相交于点O,若NEOD=75°,则ABED的面积为（）

迅

A.2B.473-4c.G+lD.16-873

【答案】B

【解析】解：如图所示：过点E作EF_LBC,垂足为F,作EGLDC,垂足为G.

AZECD=30°.

.".ZECB=60°.

XVBE=CE,

.,.△BCE为等边三角形.

EC=BC=4.

，EF=GFC=2G.

:在RtZ\EGC中，ZECG=30°,

_1

AEG2EC=2.

Ill1

=+—=—xJ?+—x

；.S四边形BDEC2cB・EF2DC・EG24X224X2=46+4.

_1

XVSABCD2BC・DC=8,

.•.△BED的面积=(4/+4)-8=4依-4.

故选：B.

3.（2018春•洛宁县期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAiBiC的对角线A1C和OBi

交于点Mi；以MiAi为对角线作第二个正方形A2A1B2M1,对角线AiMi和A2B2交于点M2;以M2Al

为对角线作第三个正方形A3A1B3M2,对角线A1M2和A3B3交于点M3；…，依此类推，这样作第n个

【答案】C

【解析】解：•••正方形OAiBiC的边长为1,对角线AiC和OBi交于点Mi,

11

...第一个正方形的面积为1,点Ml(2,2),

1

则第二个正方形的面积为4；

以AiMi为对角线作第二个正方形A2A1B2M1,对角线AiMi和A2B2交于点M2,

31

.•.点M2(4,4),

3=1---=1---

则第三个正方形的面积为(14)21642.

以A1M2为对角线作第三个正方形A3A1B3M2,对角线A1M2和A3B3交于点M3,

71

.,.M3(8,8),

7

则第四个正方形的面积为(18)26443,

1

所以第n个正方形的面积为4"-1,

故选：C.

4.（2018春•乐亭县期末）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有（）

①当AB=BC时，它是菱形；②当AC_LBD时，它是菱形；

③当NABC=90°时，它是矩形；④当AC=BD时，它是正方形.

A.3个B.4个C.1个D.2个

【答案】A

【解析】解：：四边形ABCD是平行四边形，

...当AB=BC时，它是菱形，故①正确，

当ACLBD时，它是菱形，故②正确，

当NABC=90°时，它是矩形，故③正确，

当AC=BD时，它是矩形，故④错误，

故选：A.

5.（2018秋•临渭区期末）正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，Z\AEF是等边三角形.以下

结论：①EC=FC；②/AED=75°；（3）AF=A^CE；④EF的垂直平分线是直线AC.正确结论个数有

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】解：：四边形ABCD是正方形，

；.AB=AD=BC=CD,NB=NC=ND=NDAB=90°

「△AEF是等边三角形

；.AE=AF=EF,ZEAF=ZAEF=60°

VAD=AB,AF=AE

AAABF^AADE

r.BF=DE

；.BC-BF=CD-DE

/.CE=CF

故①正确

VCE=CF,ZC=90°

.,.EF=AA：E,ZCEF=45°

.•.AF=AA：E,

ZAED=180°-ZCEF-ZAEF

，NAED=75°

故②③正确

；AE=AF,CE=CF

AAC垂直平分EF

故④正确

故选：D.

6.（2018春•澄海区期末）如图，已知直线h〃12〃13〃14,相邻两条平行线间的距离都是1,正方形ABCD

的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积为（）

A.邪B.A/5C.3D.5

【答案】D

【解析】解：作EFJJ2,交h于E点，交14于F点.

：h〃12〃13〃14,EF±12,

AEFlli,EF114,

即/AED=/DFC=90°.

；ABCD为正方形,

•♦・NADC=900.

，NADE+NCDF=90°.

XVZADE+ZDAE=90°,

・・・NCDF=NDAE.

在4ADE和4DCF中

(A.DEA=乙CFD

\LEAD=Z.CDF

IAD=DC

/.△ADE^ADCF(AAS),

ACF=DE=1.

,:DF=2,

.*.CD2=l2+22=5,

即正方形ABCD的面积为5.

故选：D.

7.(2018春•慈溪市期末)如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC,作AC的垂直平

分线MN分别交AD、AC、BC于M、0、N,连结AN,CM,则四边形ANCM是（）

*

A不_______M/D

A.矩形B.菱形C.正方形D.无法判断

【答案】B

【解析】证明：：MN垂直平分AC,

A_不______M/_D

，AO=CO,ZAOM=90°,

又・・・AD〃BC,

；./MAC=/NCA,

在△AOPM和△CON中,

f^MAO=乙NCO

OA=OC

L10M=/C0N,

.•.△AOPM^ACON,

.,.OM=ON,

；.AC和MN互相垂直平分，

四边形ANCM是菱形；

故选：B.

8.（2018春•如皋市期末）如图，以RtZ\ABC的斜边BC为边，在aABC的同侧作正方形BCEF,设正方

形的中心为0,连接AO.若AB=4,AO=6A/2,则AC的长等于()

二

B

A.12#B.16C.8+6艰D.4+6"

【答案】B

【解析】解：在AC上取一点G使CG=AB=4,连接OG

工

B

VZABO=90°-ZAHB,ZOCG=90°-ZOHC,ZOHC=ZAHB

AZABO=ZOCG

VOB=OC,CG=AB

.,.△OGC^AOAB

・・・OG=OA=6痣ZBOA=ZGOC

ZGOC+ZGOH=900

.,.ZGOH+ZBOA=90°

即：ZAOG=90°

.♦.△AOG是等腰直角三角形，AG=12（勾股定理）

.*.AC=16.

故选：B.

9.（2018春•江夏区期末）如图，正方形ABCD中，AC与BD相交于点O,DE平分NBDC交AC于E

交BC于E.若正方形ABCD的边长为2,贝ij3OF+2CE=（）（供参考（m+1）1）=a-1,

其中a20）

A.3+*B.4+2企C.A/2+1D.也+2

【答案】D

【解析】解：在正方形ABCD中，：AD=DC=2,NADC=90°,

.'AC=2嫄，

，OC=媳，

VZBDC=45°,ZBCD=90°,

VED平分/BDC,

；.NBDE=NCDE=22.5°,

；./DEC=67.5°,

VZFCE=45°,

AZEFC=67.5°=NDEC,

，EC=FC,

2CE+2OF=2OC=2也

过F作FG±CD于G,

VAC±BD,ED平分/BDC,

.,.OF=FG,

VZACD=45°,

...△FCG是等腰直角三角形，

.*.CF=A^FG=A/2OF,

.*.OF+&OF=OC=/，

72J2(72-1)_

/.OF1+，212-镜，

/.3OF+2CE=OF+2OF+2CE=2-#+2#=2+媳.

故选：D.

10.（2018春•江海区期末）如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC,P为

CE上任意一点，PQLBC于点Q,PRLBR于点R,则PQ+PR的值是（）

0

8

B.2C.2GD.3

【答案】A

设点C到BE的距离为h,

0

则SABCE=SABCP+SABEP»

111

+—

即2BE，h2BC・PQ2BE・PR,

VBE=BC,

，h=PQ+PR,

正方形ABCD的边长为4,

Ah=422嫄.

故选：A.

11.(2018春•遵义期末)如图，在正方形OABC中，点A的坐标是(-3,1),点B的纵坐标是4,则B,

C.(-3,4),(1,4)D.(-3,4),(1,3)

【答案】A

【解析】解：如图所示：作CD_Lx轴于D,作AEJ_x轴于E,作BF_LAE于F,

则/AEO=NODC=/BFA=90°,

AZOAE+ZAOE=90°,

•••四边形OABC是正方形，

/.OA=CO=BA,ZAOC=90°,

.,.ZAOE+ZCOD=90°,

.,.ZOAE=ZCOD,

\LAEO-Z.ODC

/LOAE=Z.COD

在aAOE和aOCD中，tOA=CO

.'.△AOE^AOCD(AAS),

・・・AE=OD,OE=CD,

•・•点A的坐标是(-3,1),

，OE=3,AE=1,

.'.OD=1,CD=3,

AC(1,3),

同理：△AOEZZ\BAF,

・・・AE=BF=1,0E-BF=3-1=2,

AB(-2,4)；

故选：A.

12.(2018春•安溪县期末)将n个边长为1的正方形按照如图所示方式摆放，01,02,03,04,。5,…是

正方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于.

1

【答案】4(n-1)

11

【解析】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的4,即是4.

11

—X——

n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为4(n-1)

1

故答案为：4(n-1).

13.(2018春•江岸区期末)如图，正方形ABCD中，AB=4cm,点E、F分别在边AD和边BC上，且BF

=ED=3cm,动点P、Q分别从A、C两点同时出发，点P自A-F-B-A方向运动，点Q自C-D-E

-C方向运动若点P、Q的运动速度分别为lcm/s,3cm/s,设运动时间为t(0<tW8),当A、C、P、Q

四点为顶点的四边形是平行四边形时，贝h=.

【答案】3s或6s

【解析】解：由P、Q速度和运动方向可知，当Q运动EC上，P在AF上运动时,

若EQ=FP,A、C、P、Q四点为顶点的四动形是平行四边形

.•.31-7=5-1

；.t=3

当P、Q分别在BC、AD上时

若QD=BP,形A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形

此时Q点已经完成第一周

.,.4-(3(t-4)-4]=t-5+l

/.t=6

故答案为：3s或6s

14.(2018春•琼中县期末)如图，正方形ABCD中，E是AD上任意一点，CF_LBE于F点，AG1.BE于

G点.

求证：AG=BF.

【答案】见解析

【解析】证明：；CF_LBE于F点，AG_LBE于G点,

.,.ZAGB=ZBFC=90°,

:四边形ABCD是正方形,

；.AB=BC,

VZABC=ZABG+ZCBF=90°,

又•.•/BCF+NCBF=90°，

...NABG=/BCF,

在AABG和ABCF中,

■"GB=zBFC=9Q0

AABG=乙BCF

AB=BC

.,.△ABG^ABCF,

；.AG=BF.

15.(2018春•宿豫区期末)如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上的一动点，点F是CD上一点，且

CE=DF,AF、DE相交于点G.

(1)求证：ZXADF丝Z\DCE；

DG

(2)若BG=BC,求"G的值.

【答案】见解析

【解析】解：(1)证明：二•四边形ABCD是正方形,

；.AD=DC,/ADF=/DCE=90°,

在4ADF和4DCE中

(AD=DC

\zJlDF=z.DCE

{DF=EC,

.".△ADF^ADCE(SAS),

(2)过点B作BH_LAG于H,

由（1）得4ADF丝z^DCE,

.•.NDAF=NCDE,

VZADG+ZCDE=90o,

NADG+/DAF=90°,

；.NAGD=90°,

VBH1AG,

；./BHA=90°,

r.ZBHA=ZAGD,

•.•四边形ABCD是正方形，

；.AB=AD=BC,ZBAD=90°,

VZABH+ZBAH=90°,ZDAG+ZBAH=90°,

/.ZABH=ZDAG,

在aABH和4ADG中

f^BHA=/_AGD

\zJ\BH=z.DAG

{BA=DA,

AAABH^AADG（AAS）,

，AH=DG,

：BG=BC,BA=BC,

；.BA=BG,

AAH2AG,

_1

.*.DG2AG,

DG_1

・-•~AG~2•

16.（2018春•安庆期末）操作与证明：如图，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆

放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接

AC、AE、AF.其中AC与EF交于点N,取AF中点M,连接MD、MN.

（1）求证：4AEF是等腰三角形；

（2）在（1）的条件下，请判断MD,MN的数量关系和位置关系，并给出证明.

D

【答案】见解析

【解析】证明：(1)如图，•••四边形ABCD是正方形,

，AB=AD=BC=CD,/ABE=/ADF=90°,

•••△EFC是等腰直角三角形，

；.CE=CF,

；.BE=DF,

.".△ABE^AADF(SAS),

；.AE=AF,

/.△AFE是等腰三角形；

(2)DM=MN,且DM_LMN,

理由是：如图，在RtAADF中，是AF的中点，

1

=—

ADM2AF,

；EC=FC,AC平分/ECF

/.AC1EF,EN=FN

.\ZANF=90o

AMN2AF,

；.MD=MN,

由(1)得：AABE^AADF,

；.NBAE=NFAD,

_1

VDM2AF=AM,

NFAD=NADM,

VZFMD=ZFAD+ZADM=2ZFAD,

VAM=FM,EN=FN

・・.MN〃AE,

・・・NFMN=NEAF,

/BAD=ZEAF+ZBAE+ZFAD=NEAF+2NFAD=90°,

JNDMN=NFMN+NFMD=NEAF+2NFAD=90°,

AMD1MN.

17.(2018春•邻水县期末)已知：四边形ABCD是正方形，E是AB边上一点，F是BC延长线上一点，且

DE=DF.

(1)如图1,求证：DFXDE；

(2)如图2,连接AC,EF交于点M,求证：M是EF的中点.

【答案】见解析

【解析】证明：(1)・・,四边形ABCD是正方形,

・・・DA=DC,NDAE=NDCB=90°.

.,.ZDCF=180°-90°=90°.

.\ZDAE=ZDCF.

(DE=DF

在RtADAE和RtADCF中，W4=DC,

：.RtADAE^RtADCF(HL).

.'.ZADE=ZCDF,

VZADE+ZCDE=90°,

AZCDF+ZCDE=90°,

即NEDF=90°,

ADF1DE.

(2)过点F作GF1CF交AC的延长线于点G,

则NGFC=900.

•・•正方形ABCD中，ZB=90°,

AZGFC=ZB.

・・・AB〃GF.

，NBAC=NG.

・・•四边形ABCD是正方形，

，AB=BC,

，NBAC=NBCA=45°.

/.ZBAC=ZBCA=ZFCG=ZG=45°.

・・・FC=FG.

VADAE^ADCF,

・・・AE=CF.

・・・AE=FG.

在△AEM和△GFM中，

("ME=乙GMF

乙EAM=

IAE=GF,

.♦.△AEM丝△GFM(AAS).

，ME=MF.

即M是EF的中点.

18.(2018春•增城区期末)如图①，正方形ABCD中，M是AB的中点，E是延长线上一点.MN_LDM,

且交NCBE的平分线于N.

(1)若点F是AD的中点，求证：MD=MN；

(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其它条件不变.如图②所

示，则结论“MD=MN”是否成立.若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

DD

图①图②

【答案】见解析

【解析】解：（I）如图，取AD的中点F,连接FM.

VZFDM+ZDMA=ZBMN+ZDMA=90°,

.•.ZFDM=ZBMN,

_1_1

VAF2AD2AB=AM=MB=DF,

_1

；BN平分NCBE,即NNBE2/CBE=45°,

又•.•AM=AF,

；./AFM=45°,

；./DFM=NMBN=135°.

VDF=MB.

在△DFM和aMBN中

(Z.FDM=Z.BMN

DF=BM

.,.△DFM^AMBN(ASA).

/.DM=MN.

(2)结论“DM=MN”仍成立.

证明如下：如图，在AD上截取AF=AM,连接EM.

D

VDF'=AD-AF',MB=AB-AM,AD=AB,AF'=AM,

...DF'=MB.

VZF'DM+ZDMA=ZBMN+ZDMA=90°,

，/FDM=NBMN.

又NDF'M=NMBN=135°,

在△DF'M和aMBN中

fzF'DM=乙BMN

DF'=BM

(/.DF'M=^MBN,

/.△DF'M^AMBN(ASA).

ADM=MN.

19.(2018春•岳池县期末)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,过点B作BP〃AC,过

点C作CP〃BD,BP与CP相交于点P.

(1)判断四边形BPCO的形状，并说明理由；

(2)若将平行四边形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变，得到的四边形BPCO是什么四边形，并

说明理由：

(3)若得到的是正方形BPCO,则四边形ABCD是.(选填平行四边形、矩形、菱形、正方形中

【答案】见解析

【解析】解：(1)四边形BPCO为平行四边形，理由如下:

'.•BP〃AC,CP〃BD,

二四边形BPCO为平行四边形.

(2)四边形BPCO为矩形，理由如下:

•.•四边形ABCD为菱形，

.\ACJ_BD,则NBOC=90°,

由(1)得四边形BPCO为平行四边形,

(3)四边形ABCD是正方形，理由如下：

；四边形BPCO是正方形，

r.OB=OC,且OB_LOC.

又•.•四边形ABCD是平行四边形，

.\OD=OB,OA=OC,

；.AC=BD,

又：ACJ_BD,

...四边形ABCD是正方形.

20.(2018春•禄劝县期末)已知，如图，点D是AABC的边AB的中点，四边形BCED是平行四边形.

(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；

(2)在aABC中，若AC=BC,则四边形ADCE是；(只写结论，不需证明)

(3)在(2)的条件下，当ACLBC时，求证：四边形ADCE是正方形.

【解析】证明：(1)•四边形BCED是平行四边形,

；.BD〃CE,BD=CE；

是AB的中点，

；.AD=BD,

，AD=CE；

又：BD〃CE,

/.四边形ADCE是平行四边形.

(2)在△ABC中，若AC=BC,则四边形ADCE是矩形,

故答案为：矩形；

(3)VAC1BC,

；./ACB=90°；

•在RtZ\ABC中，D是AB的中点，

；.CD=AD2AB；

•在aABC中，AC=BC,D是AB的中点，

；.CD_LAB,

.,.ZADC=90°；

平行四边形ADCE是正方形.

21.(2018春•中山市期末)如图，在AABC中，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，BD、CE交于点H,

点G、F分别为HC、HB的中点，连接AH、DE、EF、FG、GD,其中HA=BC.

(1)证明：四边形DEFG为菱形；

(2)猜想当AC、AB满足怎样的数量关系时，四边形DEFG为正方形，并说明理由.

【答案】见解析

【解析】解：(I)证明：.；D、E分别为AC、AB的中点,

，ED〃BC,ED2BC.

_1

同理FG〃BC,FG2BC,

，ED〃FG,ED=FG,

四边形DEFG是平行四边形，

VAE=BE,FH=BF,

AEF2HA,

VBC=HA,

_1

；.EF2BC=DE,

...oDEFG是菱形；

(2)猜想：AC=AB时，四边形DEFG为正方形,

理由是：；AB=AC,

AZACB=ZABC,

：BD、CE分别为AC、AB边上的中线，

_1_1

.,.CD2AC,BE2AB,

ACD=BE,

在4DCB和AEBC中，

DC=EB

乙DCB=Z.EBC

CB=BC,

/.△DCB^AEBC(SAS),

.•.ZDBC=ZECB,

；.HC=HB,

•点G、F分别为HC、HB的中点，

_1_1

AHG2HC,HF2HB,

；.GH=HF,

由(1)知：四边形DEFG是菱形，

；.DF=2FH,EG=2GH,

；.DF=EG,

...四边形DEFG为正方形.

22.(2018春•韩城市期末)如图，以AABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI,正方形

BCFE,正方形ACHG,连接AD,DE,EG.

(1)求证：ZXBDE岭ZXBAC；

(2)①设/BAC=a,请用含a的代数式表示NEDA,ZDAG；

②求证：四边形ADEG是平行四边形；

(3)当aABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？请说明理由.

【答案】见解析

【解析】解：(1)证明：•.•四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形,

；.AC=AG,AB=BD,BC=BE,NGAC=NEBC=NDBA=90°.

.\ZABC=ZEBD(同为NEBA的余角).

?£ABDEABAC中，

BD=BA

RDBE=zABC

,BE=BC,

/.△BDE^ABAC(SAS),

(2)(DVABDE^ABAC,ZADB=45°,

；./EDA=a-45°,

,.'/DAG=360°-45°-90°-a=225°-a,

②证明：VABDE^ABAC,

；.DE=AC=AG,ZBAC=ZBDE.

VAD是正方形ABDI的对角线，

，/BDA=/BAD=45°.

•.*/EDA=ZBDE-NBDA=NBDE-45°,

ZDAG=3600-ZGAC-ZBAC-ZBAD

=360°-90°-ZBAC-45°

=225°-ZBAC

AZEDA+ZDAG=ZBDE-45°+225°-ZBAC=180°

；.DE〃AG,

四边形ADEG是平行四边形(一组对边平行且相等).

(3)结论：当四边形ADEG是正方形时，ZDAG=90°,且AG=AD.

理由：由①知，当NDAG=90°时，ZBAC=135°.

:四边形ABDI是正方形，

，AD=#AB.

又•.•四边形ACHG是正方形，

，AC=AG,

，AC=&AB.

.,.当NBAC=135°且AC=A^AB时，四边形ADEG是正方形.

23.(2018春•曲阳县期末)已知：如图，在矩形ABCD中，M,N分别是边AD、BC的中点，E,F分别

是线段BM,CM的中点.

(1)求证：BM=CM；

(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；

(3)当矩形ABCD的长和宽满足什么条件时，四边形MENF是正方形？为什么？

【答案】见解析

【解析】解：(1)证明：.••四边形ABCD是矩形,

・・・AB=DC,NA=ND=90°,

・・・M为AD中点，

AAM=DM,

在aABM和△DCM中，

(BA=CD

[AM=DM

/.△ABM^ADCM(SAS),

・・・BM=CM；

(2)四边形MENF是菱形.

证明：：N、E、F分别是BC、BM,CM的中点,

_1

.♦.NE〃CM,NE2CM,

_1

VMF2CM,

；.NE=FM,

；NE〃FM,

•••四边形MENF是平行四边形，

由(1)知AABM丝ADCM,

，BM=CM,

：E、F分别是BM、CM的中点,

；.ME=MF,

平行四边形MENF是菱形；

(3)当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形.

理由：：M为AD中点，

；.AD=2AM,

VAD：AB=2：I,

AAM=AB,

VZA=90

，/ABM=NAMB=45°,

同理NDMC=45°,

.,.ZEMF=180°-45°-45°=90°,

:四边形MENF是菱形，

...菱形MENF是正方形，

即