中学高三第六次月考数学（理）试卷

中学高三第六次月考数学（理）试卷

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题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷人得分

一、选择题（共11题，共55分）

1、在菱形AB。。中，"AB=4平,将44BD沿折起到4P8D的位置，若二面角P-BD-C的

277

大小为石，三棱锥P-BCO的外接球心为°,则三棱锥的外接球的表面积为（）

A.2国B.2/“C.112“D.M

【考点】

【答案】C

n

A=

【解析】因为四边形.BCD是菱形，3t所以△BCD是等边三角形。

过球心°作°°''1■平面BCD,则。为等边△的中心，

取BD的中点为兄则8DLPE且BDJ.EC,

21r21TIT

由二面角P—BD—C的大小为手，所以NPEC=m，易知乙OEC=?

因为48=4我所以AE=EC=6,M==2,

在Rt/k°E。中，由，可得。E=4

在△OEC中，OC2=OE2+EC2-2OEEC・COSZOEC=28,即。。=2招，

设三棱锥P-BCD的外接球的半径为R,即氏=2板，

三棱锥的外接球的表面积为4nR?=112K,

故选C.

2、已知函数“"-31+C0Vx）-n,若两个正数%b满足/'（2a+b）v1,则"I的取值范围是

()

A(°4)R4+8%(盘口(-8,$)U(|,4-oo)

【考点】

【答案】c

【解析】由/)=3x+cos(^)-llw/(x)=3-颛瘾x),

即/1(%)>。对xWR恒成立，所以/1(%)在实数R上单调递增.

因为/1(4)=3X4+cos^-11=1,由/Ra+/,)<1可得/1(2a+b)<f(4),

b的可行域,

则E可看作区域内点(a,b)与定点P(—2,-1)的斜率.

直线2a+b=4与横轴交于点4(2,0),与纵轴交于点8(0,4),又因为-2-(-2)一年,

kAC=0^Z2j=2,所以k”e(彳力，

故选c.

3、设抛物线C：y=2px(p>0)的焦点为F,准线为'，点4为C上一点，以为圆心，F4为半径的圆交

于B,D两点、,若乙BFD=120。，A8D的面积为2和，则p=()

A.1B.、Rc.FDZ

【考点】

【答案】A

【解析】因为MFD=120°,所以圆的半径1%|=|FB|=2P)\BD\=2©p,

由抛物线定义，点4到准线’的距离d=/川=2p,

所以如D|・d=2p.同=2姆所以p=l,

故选A.

3121

4、已知函数八'）=6”在x=1处取得极值，令函数9（"=穴石，程序框图如图所示，若

2017

输出的结果“；>2018,则判断框内可填入的条件为（）

开始

/输入XXhi=2/

|结束|

An<2018?Bn<2019?cn<2018?Dn<2019?

【考点】

【答案】B

【解析】由题意，〃为=3WT,而/1（1）=3。­1=0,解得°一3,故

r、____1_______1______1_1111111

贝可_丽_而不一式1-彳由程序框图可知，K=l—2+丁彳+…+b/=i_^

“412018

当K=1-2019=2O190；t）即结束时八=2020,条件为“72<2019?--

故选B.

5、已知0>1,°V1,则下列大小关系正确的是（）

ac2ac

A.log。。<logcaBc<aGac>1Dc>a

【考点】

【答案】B

1

【解析】由0〉1,0vcv1,可取a=2,0，，

则。展=-1,10&0=-1排除人；

21

加“="1,排除C；

〃=*花=吟排除D

因为c<c<a（所以c<fl,

故选B.

6、函数f（x）=X•eln'的图象是（）

【考点】

【答案】C

〃、_JL（Ovxv1）

xr2

【解析】函数的定义域为（°，+.8、）且/（）-【”，（"Y>-nL）,

故选C.

7、一个正方体被截去一部分后所剩的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

T

I—

T

I

X

2022

A.6B.Tc.7D.至

【考点】

【答案】D

【解析】

由题意，该几何体是由一个边长为2的正方体截去一个底面积为1,高为的一个三棱锥所得的组合体,

O122

力用Rud=2—彳X1X2="T'

如图，所以33,

故选D.

22

8、双曲线C：x-y=2的右焦点为尸，曲线xy=a(a>0)与C交于点P,且轴，则。=()

A.压.2c.4D.2#

【考点】

【答案】D

b2

【解析】因为尸尸1X轴，所以P(c'£),即P(2,#),所以a=2花，

故选D.

9、已知随机变量1服从正态分布N(O，1),如果P(f41)=0-8413,ijiijP(-l<<<0)=()

A0.3413B.0.6826c0.1587D0,0794

【考点】

【答案】A

c,»、1-0.1587x2

【解析】依题意得：P(f>1)=。-1587,P(T<6*0)=2=03413

故选A.

1-f3

10、复数京d是虚数单位)的虚部为()

A.B.ic,({1721故UB)={7,8},

故选A.

二、填空题(共4题，共20分)

12、在448c中，内角4B,c的对应边分别为a,b,c,若a、2庐=3。？，a=6sin4)则的最

大值为.

【考点】

【答案】2/

【解析】因为0?+2b2=3c2,由余弦定理及基本不等式可得，

222222

a+b-c2a+b-^a+2b）ab—FR

cosC=+

=_2^b—=---2^b----3b6^-2辰•布=至，

■I2「

所以s""=J-cos'"当且仅当a：b:c乖：反声时等号成立，所以sin。的最大值是

£‘_=/_=£方

3.又因为a=6sin/,所以sine-si*一°,所以c=6sinCW2J/,所以的最大值为，

故答案为.

13、若等比数列｛册｝的前八项和与=巾'4rl+t（其中m,t是常数），则F=.

【考点】

m

—=-4

【答案】t

a=s=ni+t

【解析】ii,a2=S2-S1=3ma3=S3-S2=12m

由数列｛4｝是等比数列得：a22=a1a3,即m=-4t,所以.

m

—=—4

故答案为t4

x）Q

14、"\守的展开式中/X的系数为10,则实数a=________.

【考点】

【答案］。=4

【解析】由二项式定理得/'.+1令5-2r=3则r=1,所以式的

系数为点但所以‘抓=1°,.

故答案为.

rr-rrr

15、已知。=（一L皆），b=（°，2）,则向量。在向量”方向上的投影为

【考点】

【答案】E

rr|a|•cos｛a,b）=—=-y-=0

【解析】向量0在向量匕方向上的投影为冏

故答案为.

三、解答题（共6题，共30分）

16、【选修4-5：不等式选讲】

（1）解不等式I%+2|+|x+3|<2

222

（2）已知实数x,y,Z满足『+yZ+zN=i,求xy+yz+zx的取值范围

【考点】

r731r1■

【答案】（1）1—2，-2］（2）1-2」.

【解析】试题分析：（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；

（2）由y+y2>2盯，y2+z2>2yz,z2+x2>2zx,三式相加得：

x2+y2+z21

2222zx

x+y+z>xy+yz+zx,因为（x+y+z）>0,所以"了+"+-2=-2t

即可得解.

试题解析：

（1）由|x+2|+|x+3|42

xV—3—3KxW—2f%>—2

-2x-5<2.1<2J\2x+5<2

可化为i或i或i,

73

—kv%v——

解得2—2,

-73

所以，不等式的解集为

（2）因为，，，

三式相加得：，

___®

gpxy+yz+zx<lt（当且仅当、一】‘一上一一3时，取“="）

又因为

（x+y+z=0

所以，（当且仅当卜+y“+z=1时，取“二”，有无数组解）

故XV+yz+ZX的取值范围为［-2-1,

17、【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系x°y中，以原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线］的参数方程为

l

2+^

Xz

1

y一_

-2

（t为参数），曲线C的极坐标方程为psin2j=4cose

（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若点M的坐标为（2,-1）,直线与曲线交于4,8两点求|K4|+|MB|的值.

【考点】

［答案］⑴x+y_i=o,y=4X（2）8

【解析】试题分析：（1）消去参数t,得直线1的普通方程，两边同乘P得P2sin2。=4pcos。，即;

f

Jz1

x=2-2t

y=-1+-yt-

（2）直线的参数方程的标准形式为r«为参数）与曲线0联立得：

"）2+2质-14=0,设4B所对应参数分别为qQ,则

\MA\+\MB\=-C2I

h+匕=1利用韦达定理即可得解.

试题解析：

1

X-2+

2t1

y--1-/

由（为参数）消去参数，得直线的普通方程为x+y-1=°,

由psinP=4cos外两边同乘得，即，

故曲线的直角坐标方程为.

（2）在（为参数）中，令'

得直线的参数方程的标准形式为（为参数），

代入曲线：，整理得：，

设，所对应参数分别为，，则h+b=-2已1送2=T4<。，

所以，也由+lMB|=h|+匕|=ki~c2I=J（-2A）2-4x（-14）=8

18、已知函数/'（%）=",900="式+n（2为自然对数的底数）

（1）设川>）=f（x）—9（x）；

①若函数八（为在x=°处的切线过点（1，°）,求血+八的值；

②当八=°时，若函数在（一L+8）上没有零点，求m的取值范围.

1nx

（2）设函数“（X）=F+丽，且”=4m（m>0）,求证：当x20时，W（x）>1

【考点】

【答案】（l）m+〃=2,'八°〔一》e）⑵见解析

I

【解析】试题分析：（1）①由八（°）和八（°）可得在X=。处的切线方程，代入点（L0）得；

,,11

②当月=°,可得h(%)=(e“-mx)=e'-，讨论-［和>'时函数的单调性进而研究零

点即可；

4x

W(x)=-7+x

币-1等价于e'(3x-4)+x+4>0i令F(x)=e(3x-4)+x+4,

求得求最值即可证得.

试题解析：

(1)①由题意，得八㈤=/(%)-g(x))'=(/-mx-n)'=ex-m

所以函数Mx)在处的切线斜率k=1-巾，又MO)=1-n)

所以函数在处的切线方程)'一(1一〃)=(1-,

将点代入，得.

②当，可得，因为X>-1,所以e-

x

当时，/i(x)=e-zn>0)函数在(一1,+8)上单调递增，而八(0)=1,

1111

所以只需?(-=e+m-°,解得"1--e,从而

x

当时，由九(％)=e-m=0t解得x=hvne(-1,+oo),

当xC(-Limn)时，h'(x)<0)单调递减；当xe(ln/n,+8)时，h'(x)>0

单调递增.所以函数在上有最小值为九(Inm)=6-mlnm,

令，n-mlnm>0,解得，nve,所以*<匕综上所述，“［一手)

・・/、1MX1mx14x

“(%)=洞+丽=手+「=斤+

x+4

(2)由题意，x+m

而等价于.

令，

则F(0)=0,且F'(x)=ex(3x-1)+1,F'(0)=0.

令G(x)=F(x),则G'(x)=ev(3x+2).

因为xZO,所以G(%)>0,所以导数F(x)在［°，+8)上单调递增,

于是F'(x)NF'(0)=0.

从而函数口>)在上单调递增，即F(x)>F(0)=0

即当时，“(X)-1.

19、为了解甲、乙两种产品的质量，从中分别随机抽取了10件样品，测量产品中某种元素的含量(单位:

毫克)，如图所示是测量数据的茎叶图.规定：当产品中的此中元素的含量不小于18毫克时，该产品为优

3□

寺口口.

甲产品乙产品

9630

67581284756

78322468

(1)试用样品数据估计甲、乙两种产品的优等品率；

(2)从乙产品抽取的10件样品中随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数f的分布列及其数学期

望即)；

(3)从甲产品抽取的10件样品中有放回地随机抽取3件，也从乙产品抽取的10件样品中有放回地随

机抽取3件；抽到的优等品中，记“甲产品恰比乙产品多2件”为事件°,求事件的概率.

【考点】

213

【答案】(1)亏，2(2)见解析(3)50

【解析】试题分析：(1)根据茎叶图统计优等品的个数比上总数即可得解；

(2)易知优等品数［服从超几何分布，的所有可能取值为°,1,2,3,分别求概率即可，由期望公

式计算期望即可；

(3)抽到的优等品中，甲产品恰比乙产品多件包括两种情况：“抽到的优等品数甲产品件且乙产品

件”，“抽到的优等品数甲产品件且乙产品件”，分别求概率相加即可.

试题解析：

4_2

(1)从甲产品抽取的1°件样品中优等品有4件，优等品率为元=5，

5_1

从乙产品抽取的件样品中优等品有5件，优等品率为诃=彳

故甲、乙两种产品的优等品率分别为，.

(2)的所有可能取值为，，，.

尸(6=0)=合=1改=1)=券=亮r(4=2)=券=亮P(f=3)=*=9

Jo,JO,Jo,Jo

所以的分布列为

,八15513

E(f)=0xYJ+1x豆+2x^+3x2

(3)抽到的优等品中，甲产品恰比乙产品多件包括两种情况：“抽到的优等品数甲产品件且乙产品

件”，“抽到的优等品数甲产品件且乙产品件”，分别记为事件“，B

P⑻=。骗X得(1-3=总

故抽到的优等品中甲产品恰比乙产品多件的概率为

933

P(C)=P(4)+=250+125=50

TT

20、如图，在三棱柱4BC_4]B]G中，4B=44[=C4=CB=2,乙8441=工

(1)证明：-LZtlu；

1

(2)若cos"""】=[求二面角4Tle-8的余弦值

【考点】

3

【答案】⑴见解析⑵了

【解析】试题分析：(1)易知与均为等边三角形，点。为4B的中点，可得

命，进而得平面4",从而得证；

(2)由勾股定理可得从而以点。为坐标原点，以为工轴，％为，轴，8为z轴建立

空间直角坐标系，分别求平面'410的一个法向量和平面的一个法向量，利用法向量求解二面角即可..

试题解析：

n

(1)证明：设点为4B的中点，连接a>,4°,由3=4=以=0,=3知△4BC与

△皿均为等边三角形，点为的中点，可得，，，相