中学高三12月月考数学试卷

中学高三12月月考数学试卷

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题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷入得分

一、填空题（共13题，共65分）

1、已知点"（T，。）和圆。：x2+/=9,4R是圆。的直径，的和户是线段4目的三等分点，P（异

于/,2?）是圆。上的动点，EDIE于D,PE=XED（A>0）,直线以与JS区交于C,则当

4=时，|CM|+|CN|为定值.

【考点】

1

【答案】8

【解析】题意可得皿殡M（-L°）,"（L。），设尸（。%）,则点/）故的方程为

1J

y=^^（x+3）y=^^-（x-3）八八二（…仔"）

%+3,班的方程为/-3,联立方程组可得（1+4）（/9）,

y1

_2=1

把乂a=9o-JC0代入化简可得91+A,故点C在以血为长轴的椭圆上，当林N为此椭圆的焦点

时"CM+PM为定值2a=6,此时,由盘2-/=廿可得--4！一）求得

A=­A=—

8,故填8.

2、若函数/（x）=BxT],则函数式为）=/（/（喇+1nx在（°，】）上不同的零点个数为.

【考点】

【答案】3

|4x-l|+ia0<x<—

gG)={］2…

［解析］因为投*3|+M彳vxvl,晨")=°可转化为：汽°R,函数>=祗-1|与

交点的个数；作出函数图象如图:

由函数图象可知零点个数为3个.

3、若曲线)一%”与曲线)=如比在它们的公共点PG=)处具有公共切线,则实数a的值为

【考点】

【答案】1

1asas

yr=-x,vr=——=——=ah1is

【解析】两曲线的导数分别是.。•X,因为在p处有公切线，所以。$且看

解得a=l,故填1.

|刎仁M

4、在矩形ABCD中,AB=3,4。=1,若M,N分别在边BC,CD上运动(包括端点，且满足尿I同,

I-----

则4M-AN的取值范围是.

【考点】

【答案】[1,9]

【解析】分别以AB,AD为x,y轴建立直角坐标系，则4(0,0),B(3,0),设

|BM||CJV|

M(3,b)因为鬲一网所!？=芋，贝卜N=(X,1)/M=(3,?)

।88

故AM♦4M=/+1(0<.V*3),所以1工/+1二\故填口，向.

图的图

加员万/y=x^,y

5、如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数y=T

像上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若A点的纵坐标是2,则D点的坐标是

【考点】

【答案】

【解析】

2=log^x走,2）1

试题分析：由T可得点2,由2=/得点3（4,2）,又,即点

所以点D的坐标为.

D@）=｛Lx为有理数

6、设函数0，x为无理数，则下列结论正确的是.

⑴“（X）的值域为｛°'】｝；⑵°（x）是偶函数；⑶刀卜）不是周期函数；⑷q（x）不是单

调函数.

【考点】

【答案】⑴（2）（4）

【解析】根据函数解析式知（1）AG）的值域为｛。，1｝正确；时）因为x如果是有理数，则一X仍旧是有

理数，X是无理数，-X仍旧是无理数，所以“（X）是偶函数正确；（3）可以是周期函数，例如T=1；故错

误；（4）显然函数值得大小与自变量大小无关，只与自变量是无理数还是有理数有关；综上分析正确的是

（1）（2）（4）.

7、若圆C经过坐标原点和点（4'°）,且与直线」=1相切，则圆C的方程是

【考点】

(%-2『+1)+外25

【答案】I2,T

【解析】设圆的圆心坐标（冬5）,半径广，圆C经过坐标原点和点（4’°）,且与直线）=1相切,

a2+b2=r2

｛（0+"='35(X-2)2+^+1'1

所以B7=r,解得0_2力一5C,所求圆的方程为I2)4

8、已知数列｛4｝满足：4=1,1.+2,”，），则数列｛4｝的通项公式为

【考点】

1

【答案】

=i=-^--=—+1—+1=2[-+11｛—+1]

【解析】由4+2得：4H%,变形得：〜）,所以,是以2为公比的

—+L=2x2#-1=28/=1

等比数列，所以/，所以2B-1.

9、将」=向2*的图像向右平移。单位（0A°）,使得平移后的图像仍过点则。的最小值为

【考点】

H

【答案】6

【解析】将）=而2”的图像向右平移W单位（0>°）得到^=皿°2«-9）,代入点得:

6-（2需12JTTT7’3器

—=sin-----2伊I-----2®=—.....<p=_

213）,因为W>°,所以当33时，第一个正弦值为2的角，此时6,故

填£

10、已知单位向量不，石的夹角为120°,那么一益I（xwK）的最小值是

【考点】

【答案】百

【解析】巾占一刈=，（2'-同=V4+x1-4xcosl200=Jx，+2x+4=^（x+l）2+3*匈的

最小值为6.

11、对于常数加、»,,lmn>Q"是方程"皿'+即’=1的曲线是椭圆”的.

【考点】

【答案】必要不充分条件

【解析】因为用=">0时，皿'+即'=1表示圆，所以“方程"皿2+即'=1的曲线是椭圆””推不出

方程“方程"皿’+即’=1的曲线是椭圆”，当方程“皿'+号’=1的曲线是椭圆”时，能推出用"A。,

所以应该填必要不充分条件.

12、若直线+2d）x-y+1=°的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是.

【考点】

【答案】（一2,0）

【解析】试题分析：因为直线（°?+2a）x-y+1=°的倾斜角为钝角，所以

k=a2+2a<0,-2<a<0.

13、已知全集。=k，集合/={x|xN2},3={x|0Sx<5},则（Q"）C"=.

【考点】

【答案】30九<2}

【解析】因为&4={X|XV2},所以（CMC"=1X[0"X<2},故填30以<2}

二、解答题（共6题，共30分）

14、已知P（222）是给定的某个正整数，数列{4}满足：♦=1,仕+1）/+1=了伏-P）%,其中方=1,

2,3,P-1.

（1）设P=4,求外，%,%；

（2）求♦+/+/+-+%

【考点】

【答案】⑴/二-6%=16,4=一叫2）

皿

【解析】试题分析：（1）由仕+1），也=尸伏-0%得，*+1,*=1,2,3,求々，内，，；

虫=”3%=-”曰幺=_/已a="二（I）

⑵利用的上+1,写出62,0,3,…，a,-ik

累乘法即可求出“L再利用二项式定理求出和.

试题解析：

（1）由伍+1）%也=了传一尸）力得小上+1,k=1,2,3,...,p-l

—TX'Ya=-4*巴=」

即q2,w=Yq=Y；/33,%=16

%i==T

%4,4=T6

4+]=.户.

（2）由（上+1）%+1=夕仕一了）的得的上+1,k=1,2,3,•••,PT

%一.KP-I5L_—F-2a„_p_（4_1）

j=—j=-px—-------px------------

即62,/3...%[k

%=（_p广x（一一1）（，-2）3-3>..（。--+1）

以上各式相乘得丐力

a_（）*-1,（尹_1）（7_2）（7_3）…（勾―4+1）

.-.*-kP）上！

=（―p-工ST!_（F）*\P1

IP）kl（p-k）lpil（p-i）!

〜X=-/"）[i2,3.....p

=-｝［。；（-炉+4（-，）'+。；（-A）,+…+。；（~F）1

15、(1)选修4-2：矩阵与变换

「-14-

M=

求矩阵L26」的特征值和特征向量.

(2)选修4-4：坐标系与参数方程

p=442cos|—I

在极坐标系中，圆G的方程为I4),以极点为坐标原点，极轴为K轴的正半轴建立平

｛工=-1+函.小

面直角坐标系，圆G的参数方程7=-1+缈加6(。是参数)，若圆G与圆G相切，求实数a的值.

【考点】

pl巴

【答案】(1)属于4=7的一个特征向量|_2」，属于4=-2的一个特征向量为1_一1」，

(2)a=±\f2,或以=±5&.

【解析】试题分析：(1)求得矩阵的特征多项式/("),令/W=°,求得M的特征值，分别将特征值

代入二元一次方程组，即可求得其特征向量；(2)根据圆的极坐标方程和参数方程化圆方程为直角坐标方

程，利用两圆相切即可求出.

试题解析：

a)y(A)=(A+1)(A—6)—8=ZJ—5A_14=(A-7)(A+2)

由/⑷=。可得：4=74=-2

(7+l)x-4j»=0Fil

由-2x4-(7-6)^=0可得属于4=7的一个特征向量1_2」

(-2+l)x-4y=。r4"

由-2x+(-2-6)y=°可得属于4=一2的_个特征向量为|_-L

⑵Ci：(x-2)'+()-2y=8,圆心G⑵2),半径勺=2/，

%(x+l)5+(j+l)3=a2圆心*-1,-1),边境弓=同

圆心距C£=34,

两圆外切时，C6='+f=2"+同=3&,a=±^2.

两圆内切时,4G=卜-引=|20”卜3近,«=±5也

综上，a=±y/2,或《=±5'5.

16、已知函数/（X）的图像在上，河上连续不断，定义：

£G）=mifl{/（f）/04fsM（xeR，b]）£（x）=ma{/（f）/aMf4x}（xe®b]）其中

min{/G）/*eD}表示函数/（x）在。上的最小值，皿值/卜）/*'□}表示函数/卜）在。上的最大

值,若存在最小正整数上，使得B（x）-£（x）<Hx-a）对任意的x可成立,则称函数/（x）为⑶b\

上的“总阶收缩函数”.

（1）若/（x）=cosx,xe[Q,tr]试写出〃x）,B（x）的表达式；

（2）已知函数〃x）=x\xe[-L4],判断〃x）是否为卜1,4]上的“无阶收缩函数，，，如果是，

求出对应的尢，如果不是，请说明理由；

（3）已知b>0,函数是[0,”上的2阶收缩函数，求b的取值范围.

数学附加题

【考点】

16

【答案】⑴£（x）=Cxe[0,qB（x）=l,xw[o,句⑵3即存在尢=4,使得〃x）是

[_141

IL力上的“4阶收缩函数”.（3）2

【解析】试题分析：（1）根据“"I的最大值可求出EG）,右（X）的解析式；⑵根据函数〃x）=x;

xe[-L4]上的值域，先求出£（x）,£（x）的解析式，再根据右（X）-£（X）"HXF）求出卜的取值范

围得到答案.⑶先对函数/（X）求导判断函数的单调性，进而写出£（x）,右（x）的解析式，然后再由

B（x）-£（x）M*（x-a）求出卜的取值范围

试题解析：

（D由题意可得：〃x）=c皿，xe[o,qE（x）=l,xe[0，H

l-x2»xe[-L0)

⑵止Y：至Qaxl.xe[-b1)t(%)-4(%)={Lxe[0.1)

32

%,xe[b4]xFxe[b4]

当xe[-l，0]时l-xMHx+Doi—x,k>2.

当时，lMA(x+l).产-j.4]；

、t.、x?,.16

当xe[rL4]时x"Mx+l)-而口彳

综上所述，5.即存在上=4,使得/(x)是［-1，4］上的“4阶收缩函数”.

⑶/,(x)=-3/+6x=Tx(x-2)令/3=。得*0或“2.函数〃x)的变化情况如下：

令=°得％=0或x=3.

⑴当b«2时，〃x)在［0.可上单调递增，因此，4(x)=/(x)=-x3+3x，〃x)=/(0)=0

因为/(x)=T+3x2是［0.句上的“二阶收缩函数”，所以，

①/)-必)42(3-0)对X"。词恒成立;

②存在xe［。，司，使得右(x)-£(x)>(X-0)成立

①即：-x3+3x2«2x对xe［。，可恒成立，由7+女？42%解得04x41或xW2.

要使r3+3x242x对x€［。，可恒成立，需且只需0v841.

②即:存在使得X(M-3X+1)<0

成立.

由"(M—3x+l)<°解得“<。或于<x<3+尤b>^~

2.所以，只需2

-------宅。《1

综合①②可得2

(2)当2<b«3时，/㈤在［°，2］上单调递增，在［2,可上单调递减，因此，石(x)=y■⑵=4,

^(x)=/(O)=OM㈤-必)=4x-0=x,显然当x=0时，B(x)"G)M2(x-。)不成立

(3)当b>3时，〃x)在［如2］上单调递增，在［2,可上单调递减，因此，4卜)=/"⑵=4,

£(x)=/(b)<0右(x)-/(x)=4-/(b)A4%_0=%显然当“0时右(X)-1(X)S2(X-。)

不成立.

综合(1)(2)(3)可得：2

17、【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】已知椭圆的中心为坐标原点°,椭圆短轴长为2,动点M(2,。

(f>0)在椭圆的准线上.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求以为直径且被直线3X-4J-5=°截得的弦长为2的圆的方程；

(3)设尸是椭圆的右焦点，过点尸作0M的垂线与以QH为直径的圆交于点N,求证：线段QM的

长为定值，并求出这个定值.

【考点】

2

二十-111

【答案】(1)委y~(2)圆的方程为(X-1)+(k2)=5⑶万

【解析】试题分析：(1)由已知可得b,又M在准线上，可得a,c关系，解方程即可求出a,写出椭圆标

准方程；(2)利用直线与圆相交所得弦心距'半弦长、半径所成直角三角形可得出圆的方程；(3)由平

几知：ON^^OKOM,将OK,0M表示出来，代入上式整理即可求出线段OM的长为定值2.

试题解析：

(1)由3=2,得6=1

Q=2-2

又由点M在准线上，得。一，故。-，，c=l从而a=友

枭y=1

所以椭圆方程为2

+(尸:］=y+l

(2)以为直径的圆的方程为I2,4

因为以0M为直径的圆被直线3x-4j-5=0截得的弦长为2

i/cnd=Vr2-1=:

所以圆心到直线3x-4h-5=°的距离2

B加

所以52,解得f=4

所以圆的方程为(*-1+(>-2y=5

(3)由平几知：ON2=OKOM

直线。拉「=3，直线加，=-布-。

/

{f7,2

y=——(x~l)Xr=―-—=Jl+f玄"J1+J现=］+。*2-2=2

由」/)得Xf】+4「.'4丫414"心4

所以线段QM的长为定值Q

18、设函数/住)=loga(x-2a)+log°(x—3a)»其中a>。且短工1.

(D已知/©a)=1,求a的值；

(2)若在区间［。+3,«+4］上/(x)ML恒成立，求a的取值范围.

【考点】

=1

【答案】(1)a~2.(2)0<a<l.

【解析】

试题分析：对于G)直接把x=4a代入/(X)运用对数运算解得：a~2；对于(2)函数问题要注意

x-2a>04

«公<一

定义域优先考虑，故对数真数恒大于零，即：lx-3fl>0,由"+3A3冬得：2,由函数的单调性分

,3

类讨论a的范围，由a>0且4工1,得：0<avl和2

/(4a)=log(4«-2d)+log(4«-3a)=l^a=—

(1)flfl2.

⑵做—5〃+必Alo&g券