2021年高中数学第五章数列

第五章数列

5.1数列基础

5.1.1数列的概念

课后篇巩固提升

基础达标练

1.若数列｛%｝满足%=2",则数列｛小｝是（）

A.递增数列B.递减数列

C.常数列D.摆动数列

nn

解画：&+iS=2"'-2=2>0,.\an+i>an,即｛如｝是递增数列.

gg]A

2.（2020江西高一月考）数列〜要,-白…的一个通项公式为（）

24816

A.a“=(-1)亭

B.斯=（」）"答

C斯=（-1严笑

D.斯=（-1严1甯

画根据分子、分母还有正负号的变化，可知«„=（-1）n+l-.

ggD

3.（多选）（2020尤溪第五中学高一月考）已知数列｛斯｝的通项公式为小=9-2",则下列各数中是｛总的项

的是（）

A.7B.OC.3D.5

|解画对于A,7=9-2”,解得n=l,A满足;对于B,0=9-2〃,解得H-^,B不满足;对于C,3=9-2”,解得〃=3,C

满足;对于D,5=9-2”,解得n=2,D满足.故选ACD.

答案|ACD

4.己知数列-1晨,…,（4）脸,…，则它的第5项为（）

A.-B.--C.-D.——

552525

隆丽由题意知，数列的通项公式为斯=（-1）"艰.当n=5时,该项为（-1）5•表=噎

ggD

3n+l(n是奇数),

5.（2020甘南藏族自治州合作第一中学高二月考）已知数列｛斯｝的通项公式是斯=

2n・2(n是偶数),

则〃2F3二()

A.70B.28C.20D.8

3n+l（n是奇数）,

|解析|因为Cln-

2九・2（n是偶数）,

所以42=2x2-2=2,43=3x3+1=10,

所以。2,"3=20.

故选C.

答案|C

6.(2020上海高二课时练习)若数列｛如｝的通项公式为a“=TW〃eN+),则这个数列中的最大项是第

nz+196

项.

丽由题意知，④n1

2~~196,

n+196―n+——n

m幺196196

因为---2271'—=28,

n7n

当且仅当〃=14时,”+竺有最小值28,

n

所以当〃=14时,TK取得最大值;.

替剽14

7.图②是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主体图案是由图揶一连串直

角三角形演化而成的，其中。4尸4凶2=44="=474=1,如果把图曾冲的直角三角形继续作下去，记

04,04,…,。4,…的长度构成数列｛斯｝,则此数列的通项公式为%=.

暖丽因为。4=1,。42=2,。43=遍，…，

OA„=>fn,-,

所以a।=1=&,43=遮，…,小=迎,….

8.根据数列｛斯｝的前几项，写出下列各数列｛如｝的一个通项公式：

小4142

⑵1,3,6,10,15,…；

(3)7,77,777,….

网(1)注意前4项中有两项的分子为4,不妨把分子统一为4,即为g,a…，可以看出它们的分母依

次相差3,因而有Cln

3n+2

(2)注意6=2x3,10=2x5,15=3x5,再才巴各项的分子牙口分母者口乘以2,即詈，等，等，等，彳，…，因

工七n(n+l)

而有Cln----.

(3)把各项除以7,得1,11,111,…,再乘以9,得9,99,999,…，因而有斯=彳10"-1).

能力提升练

1.(2020上海高二课时练习)下列四个命题：

①任何数列都有通项公式；

舞定了一个数列的通项公式就给定了这个数列；

酬出了数列的有限项就可唯一确定这个数列的通项公式;

④＞列｛斯｝的通项公式小是项数〃的函数.

其中正确的有()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解机根据数列的表示方法可知,不是任何数列都有通项公式，例如，兀的近似值构成的数列

3,3.1,3.14,3.141,…，就没有通项公式,所以。音误;根据数列的表示方法可知，②正确;给出了数列的有

限项，数列的通项公式形式不一定唯一，比如,1,-1,1,-1,…，其通项公式既可以写成斯=(-1)"+|,也可以写

成如=(-1)"”,③^误;根据数列通项公式的概念可知,@正确.故选B.

ggB

2.已知数列｛斯｝的通项公式“=喝"+|)(〃+2)(〃62),则它的前30项之积为()

B.5

log3+log132

C.6p23

5

5

|解析卜1X“2X〃3X…X。30Tog23xbg34xlog45＞…Xlog3i32=^x鲁X…x需==log232=log22=5.

§1]B

3.己知数列｛斯｝中,%=〃2一切("6冲),且｛斯｝单调递增,则4的取值范围是()

A.(-oo,2]B.(-oo,3)

C.(-oo,2)D.(-oo,3]

解析如+i-a“=(〃+1尸火〃+\)-n2+kn=2n-^1-k,又｛m｝单调递增,故应有即2〃+1-Q0恒成立，得

攵＜2〃+1恒成立，又〃£N+,故只需即可.

奉B

4.(2020江西高三月考)己知知=竺祟(〃6N+),则在数列｛斯｝的前40项中，最大项和最小项分别是

n-V123

()

A.a],〃30B.0,〃9C.0O,〃9

S..出[.7123-VT22

.:当时,即＜1,且单调递减，

当时且单调递减，

:且“GN+,

.：这个数列的前40项中的最大项和最小项分别是02,411.

故选D.

WWp

5.已知数列｛斯｝的通项公式%=19-2〃,则使m>0成立的最大正整数n的值为.

|解析|由。"=19-2〃>0,得〃<学

:•〃EN+,."W9.

gg9

6.根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有个点.

(1)(2)(3)

(4)(5)

觇察图形可知，第"个图有〃个分支,每个分支上有n-\个点(不含中心点)，再加上中心1个点，则

有n(n-l)+l=n2-n+l个点.

答案n2-n+\

7.已知数列｛斯｝的通项公式为a,尸尤尹(〃GN+).

(1)0和1是不是数列｛斯｝中的项?如果是，求出是第几项;如果不是，说明理由.

(2)数列｛斯｝中是否存在连续且相等的两项?若存在，分别是第几项？

廨|(1)令”"=0,得"2-21/7=0,

."=21或”=0(舍去),

.：0是数列｛期｝中的第21项.

而该方程无正整数解,.：1不是数列｛斯｝中的项.

⑵假设存在连续且相等的两项是斯，如+i,则有斯=a”+i,

2

?nn-21n_(rt+l)Z-21(n+l)

2-21

解得"=10,所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项.

••…••…素养培优练

(2020江苏淮阴中学高一期中)己知数列｛斯｝中，斯=2〃+*若对任意“GN+,都有a,,成立，则实数k

的取值范围为()

A.|12,24|B.(12,24]

C.[312]D.(3,⑵

|解析|由题可知,即=2〃+，,对任意〃WN+,都有斯2〃3成立,

当ZW