专题01 集合与常用逻辑用语、复数（解密讲义）（解析版）

专题01集合与常用逻辑用语、复数（解密讲义）【知识梳理】【考点1】集合的关系与运算1.子集与真子集子集：若集合中任何一个元素都属于集合，则集合叫做集合的子集，记作或；真子集：对于集合和，若,且中至少有一个元素不属于，则集合叫做集合的真子集，记作相等的集合：对于两个集合和，若，且，则叫做集合与集合相等，记作；空集是任何集合的子集，即，空集是任何非空集合的真子集；任何集合是其自身的子集，即；子集的传递性：若，则；若，则或；相等的集合中的所含元素完全相同；连接元素与集合的符号有：和；连接集合与集合的符号有：，，等；含有个元素的集合的子集共有个,真子集有个。2.集合的运算交集：；并集：；补集：交集与并集的定义仅一字之差，但结果却完全不同，交集中的且有时可以省略，而并集中的或不能省略，补集是相对于全集而言的，全集不同，相应的补集也不同；交集的性质：，，，，；并集的性质：，，，，；，；集合的运算满足分配律：，；补集的性质：摩根定律：，方法技巧：1、当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算.2、当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列等结合.【考点2】四种命题及充要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pq且qp方法技巧：1、充要条件的两种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.2、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.(3)数学定义都是充要条件.【考点3】复数1．复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示2．复数的代数形式:复数通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式.3．复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数4．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果，，，，那么,5．复数的模：设=,则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记作.(1)；(2)=；(3)；6．共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数.考点命题点考题集合的关系及运算=1\*GB3①集合的含义与表示=2\*GB3②集合间的基本关系=3\*GB3③集合的基本运算2023全国新高考Ⅱ卷T2，2022全国乙卷(理)T12023新高考Ⅰ卷T1，全国乙卷T2，全国甲卷T12022全国乙卷文T1，全国甲卷T3，新高考Ι卷T1新高考Ⅱ卷T12021乙卷T2，甲卷T1，新高考Ⅰ卷T1,新高考Ⅱ卷T2四种命题及充要条件=1\*GB3①结合其他知识的充要关系判断=2\*GB3②含量词的命题相关问题2023全国甲卷T72021全国乙卷T3，全国甲卷T7复数复数的基本概念及运算2023新高考Ⅰ卷T2，Ⅱ卷T1，乙卷T1，甲卷T22022乙卷T2，甲卷T1，新高考Ⅰ卷T2，Ⅱ卷T22021乙卷T2，甲卷T3，新课表Ⅰ卷T2，Ⅱ卷T1考点一集合的关系与运算命题点1集合的含义与表示典例01（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列an的公差为2π3，集合S=cosann∈NA．－1 B．-12 C．0 D【答案】B【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列{an}显然函数y=cos[2π3n+(a1-2π则在cosa1,cosa于是有cosθ=cos(θ+2π所以k∈Z，ab=故选：B典例02（2022·全国·统考高考真题）设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM={1,3}，则（A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M【答案】A【分析】先写出集合M,然后逐项验证即可【详解】由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误故选:A典例03（2022·北京·统考高考真题）已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T={Q∈SPQ≤5}，则T表示的区域的面积为（A．3π4 B．π C．2π D．【答案】B【分析】求出以P为球心，5为半径的球与底面ABC的截面圆的半径后可求区域的面积.【详解】设顶点P在底面上的投影为O，连接BO，则O为三角形ABC的中心，且BO=23×6×因为PQ=5，故OQ=1，故S的轨迹为以O为圆心，1为半径的圆，而三角形ABC内切圆的圆心为O，半径为2×3故S的轨迹圆在三角形ABC内部，故其面积为π故选：B命题点2集合间的基本关系典例01（2023·全国·统考高考真题）设集合A=0,-a，B=1,a-2,2a-2，若A⊆B，则a=（A．2 B．1 C．23 D．【答案】B【分析】根据包含关系分a-2=0和2a-2=0两种情况讨论，运算求解即可.【详解】因为A⊆B，则有：若a-2=0，解得a=2，此时A=0,-2，B=若2a-2=0，解得a=1，此时A=0,-1，B=综上所述：a=1.故选：B.典例02（2021·全国·统考高考真题）已知集合S=ss=2n+1,n∈Z，T=tt=4n+1,n∈Z，则A．∅ B．S C．T D．Z【答案】C【分析】分析可得T⊆S，由此可得出结论.【详解】任取t∈T，则t=4n+1=2⋅2n+1，其中n∈Z，所以，t∈S，故因此，S∩T=T.故选：C.典例03（2020·山东·统考高考真题）已知a∈R，若集合M=1,a，N=-1,0,1，则“a=0”是“M⊆N”的（A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】当a=0时，集合M=1,0，N=-1,0,1，可得若M⊆N，则a=0或a=-1，不满足必要性，所以“a=0”是“M⊆N”的充分不必要条件，故选：A.命题点3集合的基本运算典例01（2023·全国·统考高考真题）设全集U=1,2,3,4,5，集合M=1,4,N=2,5，则A．2,3,5 B．1,3,4 C．1,2,4,5 D．2,3,4,5【答案】A【分析】利用集合的交并补运算即可得解.【详解】因为全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,4}，所以∁U又N={2,5}，所以N∪∁故选：A.典例02（2023·全国·统考高考真题）设全集U=Z,集合M={x∣x=3k+1,k∈Z},N={x∣x=3k+2,k∈Z}，∁U(M∪N)=A．{x|x=3k,k∈Z} B．{x∣x=3k-1,k∈Z}C．{x∣x=3k-2,k∈Z} D．∅【答案】A【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集Z=x|x=3k,k∈Z∪x|x=3k+1,k∈Z∪x|x=3k+2,k∈Z故选：A．典例03（2023·全国·统考高考真题）设集合U=R，集合M=xx<1，N=x-1<x<2，则A．∁UM∪N BC．∁UM∩N D【答案】A【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为x|x≥2即可.【详解】由题意可得M∪N=x|x<2，则∁UM∪N∁UM=x|x≥1，则N∪M∩N=x|-1<x<1，则∁UM∩N=x|x≤-1∁UN=x|x≤-1或x≥2，则M∪∁UN=故选：A.1．若集合U有71个元素，S,T⊆U且各有14，28个元素，则∁S∪TS∩T的元素个数最少是（A．14 B．30 C．32 D．42【答案】A【分析】根据集合中的元素以及交并补运算的性质即可求解.【详解】设S∩T=M,M中有x个元素，则0≤x≤14,x∈N所以S∪T中的元素个数为14+28-x=42-x，因此∁S∪TS∩T中的元素个数为S∪T中的元素减去S∩T中的元素个数，即为由于0≤x≤14,x∈N，所以42-2x∈14,42，故当x=14故选：A2．已知集合M={1,0}，则与集合M相等的集合为（

）A．(x,y)x-y=-1x+y=1 BC．xx=(-1)n【答案】D【分析】求出每个选项的集合，即可比较得出.【详解】对A，(x,y)x-y=-1x+y=1=对B，{(x,y)∣y=x-1+1-x对C，xx=(-1)n对D，yy=sinnπ2故选：D.3．已知有限集X，Y，定义集合X-Y={x∣x∈X，且x∉Y}，|X|表示集合X中的元素个数.若X={1,2,3,4},Y={3,4,5}，则|(X-Y)∪(Y-X)|=（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】利用新定义及并集运算，即可得到结果.【详解】∵X={1,2,3,4},Y={3,4,5}∴X-Y=1,2，Y-X=∴(X-Y)∪(Y-X)=1,2,5∴|(X-Y)∪(Y-X)|=3，故选：A考点二常用逻辑用语命题点1结合其他知识的充要关系的判断典例01（2023·全国·统考高考真题）设甲：，乙：，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当时，例如但，即推不出；当时，，即能推出.综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B典例02(2023年新课标全国Ⅰ卷)记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则 ()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C解析：方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有，两式相减得：，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确．方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即，即，，当时，上两式相减得：，当时，上式成立，于是，又为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件．故选：C命题点2含量词的命题的相关问题典例01（2020·北京·统考高考真题）已知，则“使得”是“”的（

）．A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在使得时，若为奇数，则；(2)当时，或，，即或，亦即存在使得．所以，“存在使得”是“”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.1．已知直线l:3x+my+3=0，曲线C:x2+A．“m>1”是曲线C表示圆的充要条件B．当m=33时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为C．“m=-3"是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件D．当m=-2时，曲线C与圆x2【答案】C【分析】对于A，先找充要条件再判断；对于B，先求圆心到直线的距离到计算弦长即可判断；对于C，先找充要条件再判断；对于D，先求圆心距再判断.【详解】对于A，曲线C:x2+y2+4x+2my+5=0⇒(x+2)所以“m>1”是曲线C表示圆的充分不必要条件，故A错误；对于B，m=33时，直线l:x+3y+1=0圆心到直线l的距离d=|-2+所以弦长=2r2-对于C，若直线l与圆相切，圆心到直线l的距离d=|-6-所以“m=-3"是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件，C正确；对于D，当m=-2时，曲线C:(x+2)2+(y-2)2曲线C与圆x2+y2=1两圆圆心距离为故选：C.【点睛】方法点睛：在判断充分条件、必要条件时，一般先找到充要条件再进行判断；涉及到圆相切、弦长、两圆的关系时，这些都和距离有关.2．（多选）下列说法正确的是（

）A．命题p:∃x<0,exB．二项式(1+2x)5的展开式的各项的系数和为C．已知直线a⊂平面α，则“l//a”是l//α”的必要不充分条件D．函数y=sinx+1sinx【答案】AD【分析】根据特称命题的否定求解方法可判断A；令x=1代入二项式即可求得各项的系数和，可判断B；由于直线l与α的关系不确定故能判断C；判断fπ-x是否等于fx，就能判断【详解】解：对于A：命题p:∃x<0,ex-x>1的否定¬对于B：二项式(1+2x)5的展开式的各项的系数和为(1+2)5=对于C：已知直线a⊂平面α，由于直线l与α的关系不确定，故“l//a”是l//α”的既不必要不充分条件，故C错误；对于D：由于x关于x=π2的对称点为故f(x)=sinx+1故函数y=sinx+1sinx的图象关于直线故选：AD．考点三复数命题点复数的基本概念与计算典例01（2023·全国·统考高考真题）（

）A．1 B．2 C． D．5【答案】C【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可.【详解】由题意可得，则.故选：C.典例02（2023·全国·统考高考真题）（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】利用复数的四则运算求解即可.【详解】故选：C.典例03（2023·北京·统考高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算.【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，由共轭复数的定义可知，.故选：D一、单选题1．已知z=1+3i1+i，则zA．四 B．三 C．二 D．一【答案】A【分析】应用复数的除法化简复数，写出其共轭复数，即可判断对应点所在象限.【详解】z=1+3i1+i=所以z对应点为(2,-1)，在第四象限.故选：A2．若复数z满足3+4iz=2+i（i为虚数单位），则zA．55 B．35 C．15【答案】A【分析】利用复数的除法运算及模长公式计算即可.【详解】由3+4i所以z=故选：A3．已知复数z=2+4i1-i，其中i为虚数单位，则A．10 B．102 C．105 D【答案】A【分析】先将z=2+4i1-i化为a+b【详解】z=2+4则z=故选:A.AA·新题速递1．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）条件p:|x|>|y∣,，条件q:1|x|<1y，则A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】举反例即可说明充分性，根据不等式的性质，即可判断必要性，进而可求解.【详解】当x>0>y且x>y时，0<1|x|,而1|x|<1y时，则|x|>y>0，所以x>因此p是q的必要不充分条件，故选：B2．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）若从无穷数列an中任取若干项an1,an2,…,ank（其中n1<n（1）数列1,2,3,⋯,n,⋯是某个数列的“衍生数列”；（2）若an各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，则an从某一项起为常数列.下列判断正确的是（

A．（1）（2）均为真命题B．（1）（2）均为假命题C．（1）为真命题，（2）为假命题D．（1）为假命题，（2）为真命题【答案】B【分析】通过“衍生数列”的定义判断（1），通过举反例判断（2）.【详解】对于（1）：由题意，若存在无穷数列an满足要求，则数列an包含an1=1,an故数列1,2,3,⋯,n,⋯不是某个数列的“衍生数列”，（1）为假命题；对于（2）：当数列an为0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,0⋯时，满足an各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，但是数列an从某一项起不是常数列，（综上，（1）（2）均为假命题.故选：B【点睛】方法点睛：与数列的新定义有关的问题的求解策略：①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.3．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）如图直线l以及三个不同的点A，A'，O，其中O∈l，设OA=a，OA'=b，直线l的一个方向向量的单位向量是e，下列关于向量运算的方程甲：a-a⋅eA．甲乙都可以 B．甲可以，乙不可以C．甲不可以，乙可以 D．甲乙都不可以【答案】A【分析】根据向量线性运算以及投影向量的几何意义分析判断.【详解】对于方程甲：因为(a⋅e)e、(b⋅可得a-(a⋅e)e=则点A，A'分别在关于直线l对称的平行线l因为a⋅e=b⋅且a-b=所以A，A'关于直线l对于乙：在△OA'A则l为边A'A的中线所在的直线，且点A在直线l上的投影为所以A，A'关于直线l故选：A.4．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）在复平面内，由z1=1-2i,z2=1+2i,A．z=5+iC．z=35-【答案】C【分析】根据题意，由条件可得z1,z2【详解】因为z1=1-2i=即z1=z2=且只有选项C中z=35故选：C5．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）设集合P为平面直角坐标系内第四象限内的点的横坐标构成的集合，则下列条件中，使得P∩Q=P∪Q的为（

）A．Q=∅ B．Q为fxC．Q为复数的模长构成的集合 D．Q=R．【答案】B【分析】根据题意得P=(0,+∞)，根据四个选项中的Q，求出P∩Q和P∪Q，根据它们是否相等可判断出【详解】依题意可得P=(0,+∞对于A，若Q=∅，则P∩Q=∅，P∪Q=(0,+∞)，故对于B，若Q为fx=ex的值域，则Q=(0,+∞对于C，因为Q为复数的模长构成的集合，所以Q=[0,+∞)，P∩Q=(0,+∞)，对于D，因为Q=R，所以P∩Q=(0,+∞)，P∪Q=R，故D故选：B6．（多选）（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）下列说法正确的是（

）A．若a>b，c>d，则ac>bdB．若数列an为等差数列，则C．若m>0，n>0，且m+n=1，则1m+D．命题“∀x∈R，x2+2x+2>0”的否定为“∃x∈R，【答案】BC【分析】举反例可判断A；根据等差数列通项公式直接推导可判断B（或由等差数列下标和性质可得）；妙用“1”，利用基本不等式即可判断C；根据全称量词命题的否定形式即可判断D.【详解】A选项：取a=5,b=2,c=-2,d=-4，显然满足a>b，c>d，但ac=-10<-8=cd，故A错误；B选项：记数列an的公差为d，则a3+a7=aC选项：因为m>0，n>0，且m+n=1，所以1m当且仅当1m=4nm+n=1D选项：命题“∀x∈R，x2+2x+2>0”的否定为“∃x∈R，x2+2x+2≤0”故选：BC7．（多选）（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）下列结论中，所有正确的结论是（

）A．若a>b>0,c<d<0，则ac<bdB．命题p:∃x0C．若0<a<b且c>0，则b+cD．若∀x∈0,+∞【答案】AB【分析】对A，根据不等式的性质推导即可；对B，根据特称命题的否定为全称命题判断即可；对C，利用作差法判断即可；对D，举反例判断即可.【详解】对A，c<d<0，则-c>-d>0，又a>b>0，则-ac>-bc>0，ac<bd，故A正确；对B，命题p:∃x0∈1,+∞对C，b+ca+c-ba=ab+c-ba+caa+c对D，当a=2，x=1时，ax<x2+1故选：AB8．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）若项数为NN≥3的数列AN:a1,a2,⋯,aN(1)①若N=3，写出所有具有性质P的数列A3②若N=4,a4=3，写出一个具有性质P(2)若N=2024，数列A2024具有性质P，求A(3)已知数列AN:a1,a2,⋯,aN,BN:b1【答案】(1)①A3：1，2，1或1，3，1或1，3，2②A4：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3(2)1013(3)3【分析】（1）直接根据性质P的概念一一列举即可；（2）根据性质P及累加法得aM≥M和（3）根据性质P及累加法得aM≤2N-3，b【详解】（1）①A3：1，2，1或1，3，1或1，3，2②A4：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3（2）当N=2024时，M∈2,3,⋯,2023由a1=1,a又由a2024≥1,a相加得2aM≥2025，又a所以数列A2024的最大项aM的最小值为一个满足条件的数列为an（3）由a1=1,a又M≤N-1，所以aM≤2N-3，同理，所以T1因为cardT所以cardT所以T1∩Ta此时T1【点睛】思路点睛：此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题，关于新定义题的思路有：(1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思；(2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言；(3)将已知条件代入新定义的要素中；(4)结合数学知识进行解答.9．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）设Sn=a∣a=a1,a2,⋯,an,ai∈0,1,i=1,2,⋯,nn∈N*,n≥2,a=a1,a2,⋯,an∈S（1）已知a=0,1,1,1,0,1,1,1∈S8，则（2）Sn中深度为dd∈N【答案】42【分析】利用新定义和集合的运算性质即可得出结论.【详解】空1：因a=0,1,1,1,0,1,1,1则Da=1,0,0,1,1,0,0D3a=故答案为：4空2：易知Sm中仅有一组0,0,0,⋯,0Sm+1中深度d=1的数组仅1组1,1,1,⋯,1Sm+2中深度d=2的数组仅2Sm+3中深度d=3的数组仅4⋯,Sm+k中深度d=k的数组仅2⋯,所以Sn中深度为d的数组仅有2d-1【点睛】关键点睛：本题考查新定义和集合运算的综合应用能力，属于高难度题，需要认真审题，抓住新定义的本质.BB·易错提升一、单选题1．复数z=x+yi（x,y∈R,i为虚数单位）在复平面内对应点Z(x,y)，则下列为真命题的是（A．若|z+1|=|z-1|，则点Z在圆上B．若|z+1|+|z-1|=2，则点Z在椭圆上C．若|z+1|-|z-1|=2，则点Z在双曲线上D．若|x+1|=|z-1|，则点Z在抛物线上【答案】D【分析】z+1=x+12+y2、z-1=x-12+y2【详解】z+1=x+12+yz-1=x-12+y2表示点x,y与对于A，z+1=z-1，表示点Z(x,y)到F1、F2距离相等，则点Z在线段F或由x+12+y2=x-12+y对于B，由|z+1|+|z-1|=2得ZF1+对于C，若|z+1|-|z-1|=2，ZF1-对于D，若|x+1|=|z-1|，则x+12=x-12+y故选：D.2．已知集合U=2,4,6,8,10,12,14,16,18,20，若从U的所有子集中，等可能地抽取满足条件“A∪B=U，A∩B=∅”和“若x∈A，则22-x∈B”的两个非空集合A，B，则集合A中至少有三个元素的概率为（

A．443 B．732 C．96121【答案】C【分析】由已知可得A、B中没有重复数字，A、B不为空集，且可将U中10个数字分为5组，且每组数中的一个数如果在集合A中，另一个必在集合B中，所以集合A中元素的个数小于等于集合B中元素的个数，所以集合A中元素的个数可能为1，2，3，4【详解】由A∪B=U，A∩B=∅可得A、由x∈A，则22-x∈B可得A、B不为空集，且可将U中10个数字分为分别为2或20，4或18，6或16，8或14，10或12，且每组数中的一个数如果在集合A中，另一个必在集合B中，所以集合A中元素的个数小于等于集合B中元素的个数，所以集合A中元素的个数可能为1，2，3，4，5，所以集合A的可能的个数为C10所以P=1-C故选：C.3．设an是项数为n0的有穷数列，其中n0≥2．当n≤n02时，an=12n，且对任意正整数n≤n0，都有an+an0+1-n=0.给出下列两个命题：①若对任意正整数n≤n0，都有i=1A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题【答案】C【分析】根据等比数列的前n项和公式计算和，然后分析判断．【详解】12+1由已知n>n02且n∈N*时，an<0，因此i=1nai中因此对命题①，有n02≤9，n由已知数列{an}是12,整理化简后i=s+1tai=as+1+a若i=s+1tai若i=s+1tai=as+1+as+2则有i=s+1tai=a同理若i=s+1tai=as+1+as+2则有i=s+1tai=a综上，命题②是真命题．故选：C．4．定义x表示不超过x的最大整数，x=x-x.例如：3.2=3，-3.2=0.8.①x+y≤x+y；②存在x0∈R使得x0≠0；③A．①② B．①③ C．②③ D．①④【答案】D【分析】易于判定①正确，②错误，③错误，④不易判定，可以绕开，利用排除法得到只有答案D正确.也可用分离函数法，借助于数形结合思想判定④正确.【详解】x+y=x+x由x可知x-1<x≤x，可知x=x-x∈[0,1)，所以xx=0.9,y=1.1,x-y<1,x=0≠1=y，故③对于2xx-x-1=0，显然x=0不是方程的解，可化为考察函数y=2{x}和y=1+1x的图象的交点，除了(1,0)外，其余点关于点(0,1)对称，从而和为零，故总和为-1，故④正确.故D故选：D【点睛】选择题中有些问题不易确定时，常常要尝试使用排除方法，本题就是一个典型的例子.5．（多选）数系的扩充是数学发展的一个重要内容，1843年，数学家哈密顿发现了四元数．四元数的产生是建立在复数的基础上的，和复数相似，四元数是实数加上三个虚数单位i，j和k，而且它们有如下关系：i2=j2=k2=-1,i0=A．ijkB．αα=C．αβ=βαD．若α=1+i+j+【答案】AD【分析】由四元数的定义，四元数的乘法定义逐一判断即可．【详解】对于A：因为ij=k，所以ijk=对于B：设α=aαα=(=a1a1-对于C：设α=a则αβ=a1当c2d1所以αβ与βα不一定相等，故C