2023宁德一中期考答案及评分标准

2023宁德一中期考工答案』及评分标准

第I卷(选择题)

一、单选题

1.已知z-(l+i)=4,则z的虚部为()

A.-2B.2C.-2iD.2i

K样解】根据复数的四则运算运算求解.

K详析1因为z-(l+i)=4,所以z=±=2-2i,所以z的虚部为一2.

故选:A

2.设全集U是实数集R,M={x\x>3},N={x|24x45}都是U的子集(如图所示),

则阴影部分所表示的集合为()

A.{x[2<x<3}B.1x|2<x<31

C.{x|2<x<31D.1x|2<x<5}

B

K祥解】题图中阴影部分表示集合NC(Q,M),即可求

K详析】题图中阴影部分表示集合NC(QW)={X|24X45}C{X|X<3}={X[24X<3}.

故选：B

711

、门.乃_.tan---1-------=

3.设sin==/n,则10*71

5tan—

10

12

A.21TlB.—C.—D.tri

mm

K答案1c

4.中国空间站(C/zi〃aSpaceS/a"。")的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实

验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一

个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“厂字形

架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设

高考模拟试题

中国空间站要安排甲、乙等5名航天员进舱开展实验，其中“天和核心舱“安排2人，“问

天实验舱''安排2人,“梦天实验舱”安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，

则不同的安排方案共有（）

A.9种B.24种C.26种D.30种

■答案』B

K祥解】先利用分组与分配的求法求得5名航天员共有30种不同的安排方案，再利用

分类加法计数原理求得甲、乙两人在同一个舱内有6种不同的安排方案，从而利用间接

法即可得解.

K详析》依题意，先从5名航天员中安排1人到“梦天实验舱”，则有C；=5种安排方

案，

£1

再将剩下的4人分成两组，每组2人，则有*=—=3种安排方案,

A22

接着将这两组分配到“天和核心舱”与“问天实验舱“，有A；=2种安排方案，

所以这5名航天员的安排方案共有5x3x2=30种，

其中甲、乙两人同在“天和核心舱”内的安排方案有C；C；=3种，同在“问天实验舱”内的

安排方案有C；C；=3种，

即甲、乙两人在同一个舱内做实验的安排方案有3+3=6种，

所以甲、乙两人不在同一个舱内做实验的安排方案有30-6=24种.

故选：B.

5.已知数列｛4｝的前"项和为S“，且满足5,“+$,,=$“+“，若4=2,贝）

A.2B.4C.20D.40

K答案』A

6.如图所示，位于信江河畔的上饶大桥形如船帆，寓意扬帆起航，建成的上饶大桥对

上饶市实施“大品牌、大产业、大发展”的战略产生深远影响.上饶大桥的桥型为自锚式独

塔空间主缆悬索桥，其主缆在重力作用下自然形成的曲线称为悬链线.一般地，悬链线

XX

的函数K解析2式为〃司=巴金（。＞0），则下列关于/（力的说法正确的是（）

2

A.3«>0,/(x)为奇函数

B.Va>0,/(x)有最小值1

C.3a>0,/(x)在(—,0)上单调递增

D.V«>0,〃可在(0,+纥)上单调递增

K答案』D

K祥解U运用奇偶函数的定义易知，为偶函数，运用基本不等式可求得最小值:

单调性可以从符合函数的角度进行验证.

-X-XXX

R详析』V〃〉0,“小二⑺,A错误；

v7la2a''

X_xlx_x

，小e"+e=2A/e”e:1,B错误；.

"卜2a"■2a~a

令/(x)=y=—,u=t+-,t=e'',w=—

V72ata

当X«0,+8),对每层函数的单调性进行判断后，根据复合函数的单调性判断原则易知:

/(%)在(0,+8)上单调递增，故D对；

函数为偶函数，则在(-8,0)为单调递减，故C错；

故选：D

7.已知抛物线C:y?=4x的焦点为EN为C上一点，且N在第一象限，直线月V与C的

准线交于点M,过点M且与x轴平行的直线与C交于点P,若|MN|=2|NF|,则

ZWR的面积为()

A.8B.12C.4>/3D.4瓜

K答案』C

K祥解R过N作准线的垂线，垂足为Q,准线与X轴交于点E,进而根据几何关系得

■为等边三角形，|河目=3|收|=4,再计算面积即可.

高考模拟试题

K详析力解：如图，过N作准线的垂线，垂足为Q,准线与X轴交于点E,

所以，|NF|=|N@,|防|=2.

因为AMQNS&MEF,

所嚼惴惴4例小g网邱代.

IEFI1

所以cosNMFE=j^=],NMFE=&)o=NPMF.

又因为|PM|=|PF|,

所以/P/W=NPA小=60。，所以△MPF为等边三角形，

所以以的=¥|例尸『=46

若河在第三象限，结果相同.

的取值范围为()

<161I「91)

A・1彳刻B.[丁如

K答案》D

K祥解】转化原不等式为e2(x-2)2>a(x-l)-e1由此构造函数，对〃进行分类讨论,

结合导数，通过研究x=3,4,5时的函数值来确定。的取值范围.

4

K详析》依题意,关于x的不等式。-l<0的解集中有且仅有两个大于2的

(>2)2

整数,

即e2(x-2『>a(x-l)・e'的解集中有且仅有两个大于2的整数,

构造函数/(x)=e2(x-2)2,g(x)=a(xT>e*，

即/(x)〉g(x)的解集中有且仅有两个大于2的整数,

当aVO时，对于Vx>2,/(x)>0,g(x)<0,

即/(x)>g(x)的解集中有无数个大于2的整数，不符合题意.

所以a>0.

〃2)=0,屋2)=商>0,〃2)<g(2).

2

若〃3)4g⑶，^e<2ae\a>^,

/z(x)=f(x)-g(x)=e2(x-2)2-a(x-1)-ev(x>4),

"(x)=2e?(x-2)-arev<2e2(x-2)-:^--(x>4),

设=2e2(x-2)-^-(x>3),

加(x)=2e…x；；)er,

加(x)在[3,同上递减,且加⑶=2e2-2e2=O,

所以当x24时，加(x)<0,递减，

4e4

由于机(4)=4/--^―=4e2-2e3=2e2(2-e)<0,

所以当x“时，似(x)<0,

所以当x“时，"(x)<0,〃(x)递减，

所以〃(x)</i(4)=4e2-3ae4<4e2-^|-=e:(4-与)<0,

所以当x"时:〃x)<g(x)恒成立，

即/(x)>g(“)的解集中有无数个大于2的整数，不符合题意.

〃3)>g(3)[e2>2ae3

所以/(4)>g(4),即卜e2>3ae4

y(5)<^(5)9e2<4ae5

高考模拟试题

94

解得,所以〃的取值范围是

故选：D

K『点石成金』U利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法解决时，可以利用多次

求导的方法来解决.在此过程中，要注意导函数和原函数间的对应关系.

二、多选题

9.下图为2022年8月5日通报的14天内31省区市疫情趋势，则下列说法正确的是（）

A.无症状感染者的极差大于400B.确诊病例的方差大于无症状感染者的

方差

C.实际新增感染者的平均数小于389D.实际新增感染者的第80百分位数为

641

K答案UAD

R祥解】观察图表，逐一运算验证即可.

K详析》由图表知无症状感染者的极差大于400,故A正确；

由图表知无症状感染者的波动幅度明显大于确诊病例的波动幅度，

故B错误；

由图表数据计算实际新增感染者的平均数为471.2,故C错误；

14x0.8=11.2,故实际新增感染者的第80百分位数为641,故D正确.

故选：AD.

6

10.已知函数/（x）=4：05（5+8）（4>0,。>0,0<*<兀）在》=|^处取得极小值一2,与

此极小值点最近的外力图象的一个对称中心为（看，0）,则下列结论正确的是（）

A.〃x）=2cos（2x+[B.将y=2sin2x的图象向左平移整个单

位长度即可得到“X）的图象

C.〃x）在区间（0,今|上单调递减D.〃x）在区间0卷）上的值域为

[-2,可

K答案》ACD

K祥解？利用三角函数的图象性质以及图象的平移变换即可一一判断求解.

K详析》第一步：根据余弦函数的图象与性质求出A,。，*的值，判断A选项

A选项：由题知，A=2,

设〃x）的最小正周期为T,

则4=•••7=兀=",0=2.（三角函数图象的相邻对称中心与对称轴之

41264a）

间的距离为《，其中T为该三角函数的最小正周期）

4

JT

得S=1+2E(A:GZ),(整体思想)

7T

又0<。<兀，：.（p=-,

6

"（x）=2cos（2x+聿）=2sin（2x+/）,故A正确；

第二步：利用三角函数图象的平移变换法则判断B选项

B选项：/（"的图象可以由y=2sin2x的图象向左平移3个单位长度得到,

故B错误；

第三步：利用整体思想及余弦函数的图象与性质判断C,D选项

C选项：由0<x<9导3<2x+g<学，则〃x）在区间卜"上单调递减，

3666I

故C正确；

D选项：・•・034，F+SETc71),5/3

.二COS2.XH-----G—1,----------

I6j2

高考模拟试题

2cos^2x+—G2,-^3J,

•♦./（X）在区间0,9上的值域为［-2,6］,故D正确.

故选:ACD.

11.如图，在多面体ABCDES中，SA_L平面ABCD,四边形ABCO是正方形，且DE//SA,

SA=AB=2DE,M,N分别是线段8C,S8的中点，Q是线段0c上的一个动点（含端

B.存在点。，使得异面直线N。与曲所成的角为60

C.三棱锥体积的最大值是:

D.当点。自。向C处运动时，直线0c与平面所成的角逐渐增大

K答案》ACD

K样解】以A为坐标原点可建立空间直角坐标系，设Q（加,2,0）（04加42）,根据向量

垂直的坐标表示和异面直线所成角的向量求法可确定，"是否有解，从而知AB正误；利

用体积桥可知%设。。=〃?（04%42）,可求得S八的的最大值，由此可

求得体积的最大值，知C错误；利用向量法求二面角余弦关于参数机的表达式，结合

二次函数、余弦函数的性质判断二面角的变化情况，判断D.

K详析］以A为坐标原点，A8,AD,4s正方向为％y,z轴，可建立如图所示空间直角

坐标系,

z”

设DE=1,则SA=AB=2；

A（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,£＞（0,2,0）,E（0,2,1）,S（0,0,2）,N（l,0,1）,M（2,1,0）；

8

对于A,假设存在点。（利,2,0）（04mW2）,使得NQ_LSB,

则NQ=（机一1,2,-1）,又S3=（2,0,-2）,

:.NQSB=2（m--［）+2=0,解得：m=0,

即点Q与。重合时，NQ1SB,A正确：

对于B,假设存在点。（加,2,0）（04〃?42）,使得异面直线NQ与弘所成的角为60，

NQ=（m-1,2,-\）,&4=（0,0,-2）,

I।|NQ-SA|11

.MS＜N°'SA＞卜网网;行声=5,方程无解；

不存在点。，使得异面直线N。与必所成的角为60，B错误;

对于C,连接AQ,AM,AN；

设DQ=/n(0<in<2),

m

SAMQ~SABCD-SABM—SQCM_SADQ=2—-,

・•・当机=0,即点。与点。重合时，SAM。取得最大值2;

又点N到平面AMQ的距离d=4SA=1,

2

[X2X1=2,

二(%-刖，)3=(%AMo)1rax=35C正确；

对于D,由上分析知：NQ=(〃L1,2,—1),NM=Q,1,-1),

m•NQ=(机一l)x+2y-z=0

若机=（x,y,z）是面NMQ的法向量，则＜

NM=x+y-z=0

令％=1,贝！Jm=，

\\\.

故选：ACD.

12.已知函数〃x),g(x)的定义域均为R,且〃x)+g(l—x)=3,g(x)+/(x—3)=3.若

y=g（x）的图象关于点（L0）对称，则（）

高考模拟试题

A./(-x)=-/(x)B.g(—x)=g(x)

20222020

C.E/(Z)=6O66D.£g(A)=0

*=lk=\

R答案』BD

R祥解1对A选项从函数关于点对称得到；对B选项，通过赋值，得到“X)的其中

一个周期为4,对C选项进行求和得到值与/⑴值相关；对D由前面知道其一个周期

为4,通过计算得到其每四个数值和为0,最后得到2020组数据和也为0.

K详析]因为y=g(x)的图象关于点(1,0)对称，所以g(l-x)+g(l+x)=0,

g(x)的定义域均为R,故g(l)=0,由f(x)+g(I)=3,得f(-x)+g(l+x)=3,所

以.f(x)+/(-x)=6,故A错误；

令x=0得，"0)=3,因为g(x)+/(x-3)=3,

所以g(x+l)+〃x—2)=3与f(x)+g(l-x)=3联立得，

/(x)+/(x-2)=6,贝4(x-2)+〃I)=6,

所以f(x)=〃x—4),即的其中一个周期为4,

因为g(x)+/(*-3)=3,所以g(x+4)+/(x+l)=3.

即g(x+4)=g(x),所以g(x)的其中一个周期也为4,

由g(x)+f(x-3)=3,得g(x-l)+/(x-4)=3,

与f(x)+g(l-x)=3联立，得g(x-l)=g(l-x),

即g(x)=g(-x).所以B正确;

由〃x)+/(x—2)=6,得/⑴+"3)=6,但/1⑴与"3)的值不确定,

又/(0)=3,42)=3,

2022

所以27(%)=/(D+/(2)+505[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]=6063+/(I)

hl

故C错误；

由g(x)+/(x-3)=3,得g(3)+f(0)=3,所以g(3)=0,

又〃—l)+g⑵=3,/⑴+g(4)=3,

10

2020

两式相加得，g⑵+g(4)=o,所以⑷=0=505［g⑴+g(2)+g⑶+g(4)］=0,

Jt=l

故D正确，

故选：BD.

K『点石成金崎抽象函数的对称性、周期性、奇偶性综合的问题难度较大，不易推导求

解，平时要多去推导练习.

第H卷(非选择题)

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三、填空题

13.已知向量a=(3,4),b=(l,0),c=。+力，若<a,c>,贝打=.

K答案』5

K祥解》利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

K详析】解：c=(3+r,4),cos(t7,c)=cos(/7,c),g|J—而j—=可，解得r=5,

14.某地区调研考试数学成绩X服从正态分布N(95,CT2),且P(X<70)=0.15,从该地

区参加调研考试的所有学生中随机抽取10名学生的数学成绩，记成绩在［70,120］的人数

为随机变量3贝母的方差为.

K答案』2.1

K祥解】利用正态分布的对称性，求得每个人的数学成绩在［70,120］的概率

2704X4120),又所有学生中随机抽取10名学生的数学成绩，记成绩在［70,120］的人

数为随机变量J~5(10,0.7),利用二项分布的方差公式求解即可.

K详析』解：由正态分布知，均值〃=95,且P(X<70)=0.15,所以P(X>120)=0.15

每个人的数学成绩在［70,120］的概率为/5(704*412())=2、(0.5-0.15)=0.7,所以10

名学生的数学成绩在［70,120］的人数J~8(10,0.7),所以。0=10x0.7x0.3=2.1.

故K答案》为：2.1.

15.设点A(-2,3),8(0,a),若直线AB关于V=。对称的直线与圆(x+3产+(y+2了=1有

公共点，则〃的取值范围是.

'13'

K答案1

K祥解？首先求出点A关于V=。对称点4的坐标，即可得到直线/的方程，根据圆心

高考模拟试题

到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；

R详析』解:A（-2,3）关于y=a对称的点的坐标为A（-2,2°-3）,8（0,a）在直线产。

上，

所以所在直线即为直线/,所以直线/为y=+即（a-3）x+2y—2a=0；

一2

圆C:（x+3y+（y+2）z=l,圆心C（-3,-2）,半径厂=1,

|-3（«-3）-4-2a|

依题意圆心到直线/的距离d=।「W1,

BP（5-5a）2＜（a-3）2+22,解得即ae；,|；

-13'

故K答案』为：

16.已知双曲线E：=力＞0）斜率为的直线与E的左右两支分别交于

A,B两点,P点的坐标为（-1,2）,直线转交E于另一点C，直线交E于另一点。，

如图1.若直线CO的斜率为则E的离心率为________.

8

K祥解］设A（和苗）,8（物力），，线段AB的中点”（山，为），代入双曲线的方程中可得

用弁-1

,两式相减得21二&=一（，可得加=—警①，设C5,%），"%%）,

XX

X2y2\~25矿

了一方

线段CD的中点N（XN，%）,同理得丫=一空.4②，由原8=%m，得P，M，N三点共

矿

线，从而求得4c2=5/,由此可求得双曲线的离心率.

K详析』设A(x”凶),B(x2,y2),,线段AB的中点M(xM,yM),

代工1

":b\，两式相减得正匹=4・五巴=4•a=-：

则

x；y；_X\fa-yx+y2cryM8

篇一齐

所以”①

QR2

设CG，%）,£＞（%%）,线段CD的中点N（/，w）,同理得用=一咚.4②,

因为勤=府》，所以A8//CD,则P,M,N三点共线,

8b2c8b2c

2V2

所以工匚1=曳',将①②代入得:2人M42人N4日n

a_a,即

%+1凤+1

%+1心+1

12

）.（r）=o,

2

所以『=g=4（?-a）,即4c2=5a2，

17.已知数列｛4｝满足4=1，%=5,｛“用一24,｝是公差为1的等差数列.

⑴证明：｛q+〃｝是等比数列；

⑵求｛q｝的前”项和S,.

［［答案』⑴K答案』见K解析』

(2)5.=2'm_"-+；+4,〃eN*.

Cl.+/?+1

K祥解】对于(1),证明3-----------=常数即可;

an+n

对于(2),由(1)可知/=2〃-〃，后可求得S〃.

K详析］(1)根据题意有出-2津+1=%-2a2,

即a,-2+1=5—2。2,%=2,

所以4向一2。“=（%-24）+〃-1=〃-1,.......................................................3分

故。向+"+1=2（4,+〃），

所以｛4+〃｝是首项为2,公比为2的等比数列..............................5分

（2）由（1）可知，a,,+〃=（4+l）x2"T=2",.......................................................6分

所以4,=2"-",所以

高考模拟试题

S„=(2+22++2")-(1+2++n).............................................................7分

=227〃(〃+1)=2,川2"(〃+l)=2向/+〃+4,其中

2-1222

N”・.............................................................10分

TT

18.在①c=12；②asin8=/>cos(A-w)这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到

6

下面的横线上，并给出解答。

问题：已知a,4c分别为一ABC内角A,B,C的对边，。是AC边的中点，a=BD=4>/7,

且______。

求人的值；(2)若D3AC的平分线交BC于点E，求线段AE的长。

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

R答案』(1)^=8

5

K祥解1(1)选①,在和ABCD中，应用余弦定理，由COSZADB+cosZCDB=0,

求得结论：

选②，由正弦定理化边为角，求得A角，然后设/?=2x,。=儿在ABC和中

对A角应用余弦定理列方程组求解；

(2)由+求得AE,再由角平分线定理求得BE后可得三角形周长.

K详析1(1)解：选择①：设b=2x,则AZ)=OC=x,

在公ABD中，

f+U2-144_F-32

cosZADB=2分

8缶-8币x

■)

*2+112-112X"

在△BCD中,cosNCDB=3分

8缶一8缶

*.•ZADB+/CDB=it,cosZADB+cosZCDB=0,

x2-32x2

即--f=—+―,所以1=4,故。=8.............6分

8V7x8V7x

选择②：由正弦定理得，sinAsinB=sinBcos^

,/.sinB>0,sinA=cos^A-^,

即sinA=3cosA+』sinA,于是tanA=百，***

22

14

A=?,............................3分

设6=2x,c=y,

r2+V2-1121

在△ABD中，cosA=:---------=-,BPx2+y2-xy=\\2(i),

2xy2

4r2+v2-1121

在.ABC中，cosA=-——:------=-,i\14x2+y2-2xy=112(ii),

4xy2

联立⑴(ii)解得，x=4,y=12,即c=12,6=8..............................6

分

(2)解：由题意得，SABE+SACE=§ABC，

—x12xAExsin30+—x8xAExsin30=—xl2x8xsin60,

222

246.............................

AE=......120分

5

19.如图①在平行四边形ABCD中，AELDC,AO=4,AB=3,ZADE=60°,^VADE

沿AE折起，使平面4比，平面ABCE,得到图②所示几何体.

⑵在线段DB上，是否存在一点M,使得平面MAC与平面ABCE所成锐二面角的余弦

值为空，如果存在，求出誓的值，如果不存在，说明理由.

5DB

K答案［(1)竽

(2)存在；g

K祥解1(1)先证明平面43CE,然后根据锥体体积公式求得与_ABC£.

(2)建立空间直角坐标系，利用平面MAC与平面ABCE所成锐二面角求得〃点的位

置，再利用向量法求得直线EM与平面MAC所成角的正弦值.

K详析FQ)由图①知，AE_LQC,所以CE_LA£,在VADE中，因为AD=4,ZA£>F=60o,

可得AE=2b，DE=2,所以EC=1...............................1分

由图②知，平面4)E_L平面MCE,DEu平面ADE,平面AOE，「平面ASCE=,

高考模拟试题

因为£)E_LAE,所以£)£_/,平面ABCE,3分

因为M为BD的中点,

所以

^M-ABCE~5%-ABCE=5X§XSABCEXDE=%X,X(1+3)X26X2=3~

（2）由（1）知EA,EC,ED三者两两垂直，以点E为原点，

E4，EC，E£）的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图）.

则E（0,0,0）,0（0,0,2）,C（0,l,0）,A（2^,0,0）,8（233,0）,£>B=（2^,3-2）,

71C=(-2>/3,l,0),

设0M=408=(2后,34-24),O<Z<1,

EM=£力+OM=(0,0,2)+(2643/1,-22)=(2石彳,3/1,2-2/1),

g|JM(2^2,32,2-22),

所以CM=(2®l,34-1,2-22),

设平面ACM的法向量为〃?=(x,y,z),

m-AC=0-2\/3x+y=0

所以，贝1J厂;、/、，

m-CM=0[2V3/lx+(3A-l)y+(2-2A)z=0

,〃rz4&-⑸八

令x=l,得〃?=1,2"--；~--).................................9分

k-)

设平面ABCE的法向量为n=(0,0,1),

所以

4A/32-V3

2A/3

cos(/n,/?10分

1+12+f4^-73?

解得此时空■的值为《

12分

2DB2

16

20.甲、乙两地教育部门到某师范大学实施“优才招聘计划”，即通过对毕业生进行笔

试，面试，模拟课堂考核这3项程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由

3个考核组独立依次考核，当3项程序均通过后即可签约.去年，该校数学系130名毕

业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”的具体情况如下表(不存在通过3项程序考核

放弃签约的情况).

性别人数参加考核但未能签约的人数参加考核并能签约的人数

男生4515

女生6010

今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才招聘计划”，假定他参加各程序的

结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均

为通过乙地的各项程序的概率依次为:，|,m,其中0<mVl.

(1)判断是否有90%的把握认为这130名毕业生去年参加甲地教育部门“优才招聘计划”

能否签约与性别有关；

(2)若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件A,B,他通过甲、乙两地的程序的项数分

别记为X,Y.当E(X)>E(Y)时，证明：P(A)>P(B).

参考公式与临界值表：.=(〃+4;烁?)("“)，-a+b+c+d.

尸(/女)0.100.050.0250.010

k2.7063.8415.0246.635

K答案2(1)没有90%的把握认为去年该校130名数学系毕业生参加甲地教育部门“优

高考模拟试题

才招聘计戈能否签约与性别有关

⑵证明见K解析》

n(ad-be1

K祥解》(1)依据列联表中的数据代入/=求出后参考临

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

界值表.

(2)分别列出小明参加甲乙程序的分布列，算出E(X)与E(Y),通过E(X)>E(Y)

即可证明：P(A)>P(B).

K详析U⑴因为八一［一=130x(45x10-60x15)-

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)60x70x105x25

117

=—»2.388<2.706,.............................4分

49

且P(/22.706)=0.10,

所以没有90%的把握认为去年该校130名数学系毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计

划”能否签约与性别有关...............................5分

(2)因为小明参加各程序的结果相互不影响，

所以则E(x)=3x』=g...............................6分

k2)22

Y的可能取值为0,1,2,3.

z224(1—ni)

P(VY=0)=-x—(1-m)=------,

3515

…1、12”、23“、228—4m

P(Y=1)=—x—(l—机)+—X_(l—"7)+—X—机=-----,

35353515

八八7八、13八.12233+5m

r(Y=2)=-x—(1-机)+—x—m+—x—"?=-----,

35353515

p(y=3)=-x-；=—.

35n5

随机变量Y的分布列：

Y0123

4(1-/w)8-4/H3+5//1tn

P

151515~5

............................9分

「八八八4(l—/n),8—4m_3+5m_m14

E(y)=0x-^-----4-lx-----+2x------+3x—=—+m.

151515515

31417

因为E(X)>E(Y),所以一>---,即0<相<—,

21530

18

/、33—xx

所以尸(A)_p(B)=P(X=3)_P(y=3)=j』］=-----30J^_>0'>

0540401200

所以P(A)>P(B)............................12分

22

21.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:=+4=l("匕>0)的焦距与短轴长相等,

crb~

且过焦点垂直于X轴的弦长为2vL

(1)求椭圆c的标准方程；

(2)过点M(虚,0)的直线/与椭圆C交于A,B两点，点P为直线x=4&上(不在x轴

上)的一动点.

①|AB|=O叵，求直线AB的方程；

3

②设直线PA,PB,PM的斜率分别为心区人，试探究：是否存在常数使得

匕+自=2匕恒成立？若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由.

22

R答案』(1)二+2L=1；(2)①y=±。一&)；②存在，2=2.

84

K祥解1(1)由题意布列关于a,b,c的方程组，即可得到椭圆C的标准方程；

(2)①由弦长I481的值求出直线AB的斜率；②分直线AB的斜率存在和不存在两种情

况，设直线AB的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出直线外，PB,的

斜率，由勺+&=几七可得4的值.

c=b

2方2

1详析［(1)由题意可得产=2&,解得：/=8,6=4,

a

b-

22

所以椭圆C的标准形式：1+==1；..........................3分

84

(2)(1)直线AB斜率不存在时，显然不符合题意，

设直线AB的方程为y=k(x-吗

高考模拟试题

，）="（"一⑹=*2+2公（12_2反+2）=8

x2+2y2=8

（1+2公卜2-40公工+442_8=04=32/—16（1+2用伏2_2）=16（3公+2）.................

....................................4分

卜中=迎............................6分

11i+2k23

=（13/+8）,2_］）=0,

:.k=±1>

所以直线AB的方程为y=±（x_&）；..........................................................7分

（2）（i）当AB斜率不存在时，设4（&,-仃）,8（虎,6）,河（夜,0）

【ir-t、n.c///T\.〃？+j3m-\j32m.m

此口寸设尸（4J2,"?）,k、+k2=—'—3^/^=

,,2m.m

k、+=Ak^—f==A,—产,

-3N/2372

A=2；.........................................................8分

（ii）当AB斜率存在时，设直线A8的方程为丫=4（*-&），4（芭,X），8（*2，当）

由（1）知,）=*（*-五）=（1+2公）工2-40%2》+4%2-8=0

f+2y2=8'7

y,-m当一加［左（4_&）_"］（/_4&）+［（1（々一夜）一切］（看一4夜）

1+2—…&+x,-4>/2-1_4©0-4a）

2烟工2—（5血左+〃7）（玉+工2）+16%+80"2

=-----------------------J-........................................］0分

xxx2-4v2（x1+々）+32

=2ke::2/-3疯+加）:+16忆+8鬲_［2向/+8鬲=也

,"叫&.里+/36储+24丁

1+2公1+2公

*1mV2-tn._

FfU《