2023年江苏省高考数学模拟试卷及答案解析

2023年江苏省高考数学模拟试卷

一.选择题(共8小题，满分40分)

1.设集合A={4r2-4W0},B={x|2x+aW0},且4n8={x|-2WxW1},则a=()

A.-4B.-2C.2D.4

2.复数z=（其中，•为虚数单位），则团=（)

4

A.2B.-C.V2D.V5

3

3.从1,2,3,4,5中，每次任选两个不同的数字组成一个两位数，在所组成的两位数中

偶数有（）

A.10个B.9个C.12个D.8个

4.数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,…称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波

那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一

项都等于它前面两项的和.在该数列的前2020项中，偶数的个数为（）

A.505B.673C.674D.1010

5.已知非零向量2,b满足值|=|b|,且向+6|=齿一百,则：与b的夹角为（）

2nnn

A.-JiB.-C.-D.一

3236

6.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合并检测，

若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做

检测.现对20名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还是

阳性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为p,且检测次数的数学期望为20,

则p的值为（）

A-1-喘产B.1一喘声

C-1一（4向D.1一（宗向

7.已知函数+3=2皿寓；y+4,则〃册）+,（篇）+…+/（|翳）=（）

A.2019B.2020C.4038D.4040

8.如图，在三棱柱ABC-481。中，已知E,尸分别是线段ABi与C4上的动点，异面直

线ABi与C4所成角为0,记线段EF中点M的轨边为L,则等于（）

第1页共23页

A.押i|

IT2T2

B.1AB1+C/1—Q4B1・C/1）2

1

C.-|ABir|CAirsin0

4

D-2（匕BL是三棱柱ABC-A向0的体积）

二.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9.已知函数/（%）=cos2x-V5SM2X,则下列说法正确的是（）

A./（X）的周期为TT

B.%=辑/（外的一条对称轴

C.［-J,勺是f（x）的一个递增区间

D.［一9争是/（X）的一个递减区间

10.已知抛物线/=上的焦点为F,M（xi，）［）,N（%2.”）是抛物线上两点，则下列结

论正确的是（）

1

A.点尸的坐标为0）

B.若直线MN过点、F,则x）X2=—表

C.若诂=入加则|MN］的最小值为a

25

D.若|A/F|+|NF|=或，则线段MN的中点P到x轴的距离为一

11.设函数/（》）、g（x）的定义域都为R,且/（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列

结论中正确的是（)

第2页共23页

A.f(x)g(x)是奇函数B.\f(x)\g(x)是奇函数

C.7(x)|g(x)|是奇函数D.[f(x)gG)|是奇函数

12.下列命题中的真命题是()

A.VxGR,X22。B.VxER,2xl>0

C.3xGR,lgx<lD.3xER,sinx+cosx=2

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

XV

13.如图，尸1、F2分别是双曲线0-三=1的左、右焦点，过后的直线与双曲线C的两

a2bz

条渐近线分别交于4、B两点，若F：1•彘=0,则双曲线C的离心率是.

14.若不等式=+3y2>?对任意的正数x,>总成立，则实数k的取值范围_____.

4k

15.在一个装满水的容积为1升的容器中有两个相互独立、自由游弋的草履虫，现在从这个

容器中随机地取出0.1升水，则在取出的水中发现草履虫的概率为.

16.矩形ABC。的边过B,。作直线AC的垂线，垂足分别为E,F,且E,尸分

别为AC的三等分点.沿着AC将矩形翻折，使得二面角8-AC-。成直角，则80长度

为.

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）已知数列｛如｝的前"项和为8=〃2-2”.

（1）求通项公式an；

（2）证明数列｛斯｝为等差数列.

第3页共23页

18.（12分）在电子仪器的测量中常常会混进噪声，下面是一批检波器测量噪声（噪声电平）

的100个观测值，试作出这些数据的频率直方图，判断其是否服从正态分布，再估计噪

声在区间［-2.5,2.5］上的概率.

0.1-1.01.9-0.10.00.3-1.20.0-0.40.1

1.50.31.0-1.30.5-1.2-3.4-3.0-0.51.9

0.20.10.71.32.4-0.50.5-3.50.40.7

2.0-0.4-1.3-1.9-0.5-1.5-0.1-1.10.00.2

-2.30.50.7-2.1-0.6-0.42.41.51.60.6

-0.10.5-0.11.12.5-2.6-0.31.2-0.8-2.4

0.71.20.50.0-0.5-0.3-1.80.2-1.9-0.8

-0.4-1.12.9-1.10.40.0-0.4-0.31.7-1.5

-1.01.10.0-1.10.91.7-0.32.10.70.7

-0.62.32.0-1.11.21.00.1-0.5-0.3-0.2

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19.（12分）如图，在四边形A3CZ）中，AC与8。相交于点O,O8・sinNA3O=OO・sinN

7T

ADB,ZABC—，AB=3BC=3.

3

(1)求sinNOAC；

2n

(2)若/AOC"求四边形A8CD的面积.

第5页共23页

20.(12分)如图，已知三棱柱ABC-481cl的所有棱长都相等，侧棱441J_底面ABC,E,

产分别是AiBi，ACi的中点.

(I)求证：BiFlACi；

(II)求平面EFCB与底面ABC所成二面角的正切值.

第6页共23页

21.（12分）已知椭圆C的焦点在x轴上,并且经过点。1）,离心率为？.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）动直线/与圆0：7+丁=1相切于点M,与椭圆C相交于A,3两点，线段的

中点为£>,求△0MD面积的最大值，并求此时点。的坐标.

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22.(12分)已知函数/(x)=lnx+mx+\,g(x)=x*(ex-1).

(1)若/(x)的最大值是0,求函数/(x)的图象在x=e处的切线方程;

(2)若对于定义域内任意x,/(x)Wg(x)恒成立，求机的取值范围.

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2023年江苏省高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

选择题(共8小题，满分40分)

1.设集合A={x|?-4W0},8={x|2x+aW0},且ACB={x|-2WxW1},则a=()

A.-4B.-2C.2D.4

解：集合A={x*-4W0}={x|-2WxW2},8={x|2r+aW0}={x|xW-,

1

由AG3={x|-2WxW1},可得—[4=1,

则a=-2.

故选：B.

2.复数z=当（其中i为虚数单位），则团=（）

1—Zt

A.2B.一C.V2D.V5

3

解：设复数2=再，

i-ZI

则回=0=|言|=罔

_柠+12同

一用后飞

故选：C.

3.从1,2,3,4,5中，每次任选两个不同的数字组成一个两位数，在所组成的两位数中

偶数有（）

A.10个B.9个C.12个D.8个

解：分两步，第一步确定个位有2种，第二步确定十位，有.4种,

故共有2X4=8个,

故选：D.

4.数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,…称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波

那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一

项都等于它前面两项的和.在该数列的前2020项中，偶数的个数为（）

A.505B.673C.674D.1010

解：该数列第三，六，九…为偶数，以3为周期，2020=3X673+1,

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所以前2020项中共有673个偶数,

故选：B.

5.已知非零向量£b满足而=|加，且|；+b|=|2；—川,贝丘与b的夹角为()

2

A.

解：设向量之康勺夹角为仇

由而=网，且向+b\=\2a-b\t

所以(a+b)2=(2a—b)，,

即小+2a・b+b2=4a2—4a・b4-b2,

化简得6a*b=3Q2,

TT1->

解得a・b=2a2,

TT112

所以cos0=Jbf=22—=1.

|a|x|^l|a|

又6日0,nJ,

所以8=/，

T171

即a与b的夹角为3

故选：C.

6.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合并检测，

若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做

检测.现对20名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还是

阳性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为p,且检测次数的数学期望为20,

则p的值为()

A-1-(*/B.1-喘声

C.1-（好

解：随机变量的取值只能是1,21,对应的概率分别是(I")2。，1-(l-p)2。，由

期望的运算公式可得，

IX(l-p)20+21X[l-(l-p)20]=20

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，p=l-喘网

故选：A.

7.已知函数/(x+1)=2c"x+寰:二Ze-中,财(嬴)+/(赢)+…+/(瑞)=()

A.2019B.2020C.4038D.4040

1._2cos%+%2?”一%2。-1+4_%2a一%2?一二?♦-.一%

解:根据题意，函数/（'+2)-cosx+2-cosx+2-cosx+2XJT+2,

则“r+分=康fx一)2+2=—怎总Xi，

11

则有7•(尤+分+f(-x+1)=4,

变形可得/(x)V(1-%)=4,即函数/(x)的图象关于点弓，2)对称，

1220191201922018

/■(5蒜)+贝品)+,・・+抬粽)与(——)+/<——)V<——)+八——)+

八2020，)12020，7k2020y72020202020202020

100910111010

+f(----)+f(-----)+f(-----)=4X1009+2=4038,

2020」2020.12020

故选：C.

8.如图，在三棱柱48C-481。中，已知E,户分别是线段AS与C4上的动点，异面直

线A3i与。］所成角为9,记线段切中点M的轨边为L,则因等于（）

1

C.-HBiriCAipsine

4

1

D-石^皿“田（加1遇匕是三棱柱4/-489的体积）

解：当E位于Bi,A,而尸在AC上移动时，M的轨迹为平行于AC的两条线段,

第11页共23页

当尸位于4,C,而E在A3]上移动时，M的轨迹为平行与A3i的两条线段.

其它情况下，M的轨迹构成图中平行四边形内部区域.

1111

A|L|=2x^|-ABi|*|-CAi|-sin0=j|ABi|*|CAirsin6.

/22，

多选题(共4小题，满分20分，每小题5分)

9.已知函数/(X)=cos2x-V5sin2x,则下列说法正确的是()

A.f(X)的周期为TT

B.%=百是/(犬)的一条对称轴

C.[-J,勺是/⑴的一个递增区间

D.[-1，]是f(x)的一个递减区间

解：V/(x)=cos2x—V3sin2x=-2sin(2x—5)，

：.f(x)的周期为m故4正确；

,.*/(―)=—2sin(冬一看)=—2,=亨是/(x)的一条对称轴，故B正确；

当xC[—看]时，级—法〔一半，函数/(x)在[—李上不单调，故C错误;

当问一看，勺时，2x-1e[-J,1],函数/(X)在[一*g单调递减，故。正确.

故选：ABD.

第12页共23页

10.已知抛物线/=分的焦点为F,M(XI，巾)，N(X2,”)是抛物线上两点，则下列结

论正确的是()

1

A.点F的坐标为1，0)

1

B.若直线MN过点F,则x\X2=-讴

TT1

C.若M尸=，NF,则|MN|的最小值为5

-2一5

D.若|MF|+|NF|=今则线段MN的中点P到x轴的距离为g

解：抛物线/=%的焦点为/(0,-),所以A不正确；

2-8

根据抛物线的性质可得：MN过尸时，则xix2=-/，所以B正确；

TT一1

若MF=aNF,则的最小值为抛物线的通径长，为2P所以C正确；

抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为产一宗

过点“、N、P分别作准线的垂线MM',NN',PP',

贝|=|MF|,|NN'|=|N尸\MM'\+\NN'\=\MF\+\NF\=

所以线段MN的中的P到x轴的距离为|PP，iTT—所以。正确；

04-00

故选：BCD.

II.设函数f(x)、g(x)的定义域都为R,且/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列

结论中正确的是()

A.f(%)g(x)是奇函数B.\f(x)|g(x)是奇函数

第13页共23页

C./(x)\g(x)|是奇函数D.\f(x)g(x)|是奇函数

解：由题意可知/(-X)=-f(x),g(-X)=g(x),

对于选项A，/(-x)・g(-x)=-/(x)・g(x),所以/(x)g(x)是奇函数，故4项正

确；

对于选项B,[/'(-x)|・g(-x)=卜/(x)\-g(x)=/(x)|・g(x),所以IfG)\g(x)

是偶函数，故B项错误；

对于选项C,/(-x)|g(-x)|=-f(x)\g(x)I，所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C

项正确；

对于选项D,\f(-x)'g(-x)|=|-/(x)g(x)1=1/■(x)g(x)I，所以，(x)g(x)|

是偶函数，故。项错误，

故选：AC.

12.下列命题中的真命题是()

A.VxGR,/20B.VxGR,2xl>0

C.S.YGR,/gx<lD.3xGR.siar+cosx=2

解：对于A,Vx€R,f20,由非负数概念可得正确；

对于B,VxGR,2厂1>0,由指数函数的值域可得8正确；

1

对于C,lgx<1,比如x=I,/gxVOVl,可得C正确；

对于£),sinx+cosx=V2(，sinx+孝cosx)=V2sin(x+守)<V2，故Q错误.

故选：ABC.

三.填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

22

XV

13.如图，Fi、F2分别是双曲线0-三=1的左、右焦点，过乃的直线与双曲线C的两

a1bz

条渐近线分别交于A、8两点，若=AB,=0,则双曲线C的离心率是2.

第14页共23页

解：如图所示：，

由题意可知，渐近线方程为：y=±2v,所以设8(刈，-1X0),因为点8在第二象限,

aQ

所以x()VO,

VFi(-c,0),Fi(c,0),

.TJ)Tb

；・FiB=(xo+c,--x0),F2B=(xo-c,—-x0),

♦:点B・*=0,

,2,2

(%o+C)(%0—c)+^2%o2=0，即&2-c24-滔X()2=0,

2222222

(a+b)x0=a2c2,g[Jcx0=ac,

•22•

••XQ—CLf・・X0-Cl,

1・B(-a,b).

又：点=易，.•.点A是乃B的中点,

c-ab

•・•A(-,-)

22

又•.•点A在渐近线＞=:》上,

bbc-a

—=~x---,即ab=b(c-a),

2a2

•・2ab=be.

.c

..e=/2,

故答案为：2.

第15页共23页

14.若不等式?+3y2z*对任意的正数x,y总成立，则实数上的取值范围」2字&

<0

2

解：若%>0,由于不等式上+3y22W对任意的正数x,y总成立，.•.柜钟^_,

4k各3y2

xyxyy[3

故k应大于或等于票上一的最大值.<—1=———

彳+3*”y2丁符俄'3

故”2、~的最大值为g,故k>殍.

-3y23

当上<0时，不等式显然成立.综上，kN整或k<0,

故答案为k>当或k<0.

15.在一个装满水的容积为1升的容器中有两个相互独立、自由游弋的草履虫，现在从这个

容器中随机地取出01升水，则在取出的水中发现草履虫的概率为0.2.

解：在一个装满水的容积为1升的容器中有两个相互独立、自由游弋的草履虫,

现在从这个容器中随机地取出0.1升水，

则在取出的水中发现草履虫的概率为°=^=0.2.

故答案为：02

16.矩形ABC。的边A8=夜，过B,。作直线AC的垂线，垂足分别为E,F,且E,尸分

别为4C的三等分点.沿着4c将矩形翻折，使得二面角8-AC-。成直角，则BD长度

加V15

为-V—.

解：设AF=EE=EC=x,则

广AEAB

cos血E=而=痔

D4厂2%/2

COSNB2E=&=0,

解得x=等,

,______________,______[Tc

故BD=VBF2+EF2+DF2=V4-7x2=等.

故答案为：-y-

第16页共23页

D

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）已知数列｛即｝的前"项和为Sn=〃2-2〃.

（1）求通项公式

（2）证明数列｛斯｝为等差数列.

解：（1）数列｛斯｝的前〃项和为％=〃2-2%

==

所以anSn~Sn-1rT~2n-（«-1）~+2（n-1）=2〃-3.

当”=1时，“1=-1（符合通项）.

故：如=2〃-3.

证明：（2）由（1）得：的=2〃-3,

所以an-an-\=2（常数）.

故数列伍"｝为等差数列.

18.（12分）在电子仪器的测量中常常会混进噪声，下面是一批检波器测量噪声（噪声电平）

的100个观测值，试作出这些数据的频率直方图，判断其是否服从正态分布，再估计噪

声在区间［-2.5,2.5］上的概率.

第17页共23页

0.1-1.01.9-0.10.00.3-1.20.0-0.40.1

1.50.31.0-1.30.5-1.2-3.4-3.0-0.51.9

0.20.10.71.32.4-0.50.5-3.50.40.7

2.0-0.4-1.3-1.9-0.5-1.5-0.1-1.10.00.2

-2.30.50.7-2.1-0.6-0.42.41.51.60.6

-0.10.5-0.11.12.5-2.6-0.31.2-0.8-2.4

0.71.20.50.0-0.5-0.3-1.80.2-1.9-0.8

-0.4-1.12.9-1.10.40.0-0.4-0.31.7-1.5

-1.01.10.0-1.10.91.7-0.32.10.70.7

-0.62.32.0-1.11.21.00.1-0.5-0.3-0.2

解：取组距为1,可得频率分布表:

分组频数

频率

[-3.5,-2.5)4

0.04

[-2.5,-1.5)6

0.06

[-1.5,-0.5)17

0.17

[-0.5,0.5)37

0.37

[0.5,1.5)21

0.21

[1.5,2.5)13

0.13

[2.5,3.5)2

0.02

合计100

第18页共23页

频率分布直方图如图:

频

一

组

03

7t

21

O0.17

13

O.

0.06・

o\1234567

由图可知，近似服从正态分布.

估计噪声在区间［-2.5,2.5］上的概率为0.94.

19.(12分)如图，在四边形ABC。中，AC与BO相交于点O,OB^mZABD=OD'sinZ

Tt

ADB,ZABC-,AB=3BC=3.

3

(1)求sin/ZMC；

(2)若NADC~求四边形ABC。的面积.

n

解：(1)在aABC中，NABC—,AB=3BC=3,

3

由余弦定理可得AC2^AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC=32+l2-2x3xlx1=7,

所以AC=V7,

/Q

BC

由正弦定理可得：,=,;、,可得smZBAC=BSs联BC=:=等,

Sinz.BACSinz-ABC4cV714

OBOA

在△AOB中，由正弦定理--------=---------,即O3・sinNAa)=OA・sinN84C,

sinZ-BACstnZ.ABD

同理，在△AOO中，由正弦定理可得：OZ)・sinNAOB=OA・sinND4C,

又因为：O3・sinNA3£>=OQ・sinN4Z)3,

第19页共23页

所以：04・sin/8AC=0A,sinNZMC,

所以：sin/QAC=sin/BAC=穹.

14

CDACCD近

(2)在△ADC中，由正弦定理可得一~—=~~~—,即后=工,解得。。=1,

sinZ.DACsinz.ADC卫V3

142

又由余弦定理可得cosNAZ)C=应拼靠之，即-,J喘-7,解得AO=2,

£AU'CULZ.AU

可得S四边形ABCD=S&ADC+SAABC=2xADxACxsinZDAC+^xABxACxsinZBAC=

^xACxsinZDACX(AD+AB)=婴

20.(12分)如图,已知三棱柱ABC-AiBiCi的所有棱长都相等，侧棱AAiJ•底面ABC,E,

F分别是4Bi，4。的中点.

(I)求证：BiFlACi；

(II)求平面EFC3与底面ABC所成二面角的正切值.

(I)证明：：A4i_L底面ABC,.MA」平面A向。，

：81Fu平面4BiCi，：.B\FVAA\,

又；AABC为正三角形,尸为4G中点，二BiFLAiCi，A\C\nAA\=A\,

...Bi尸"L面ACCiAi.V/iCicjfiACCiAi.

：.B\FLACi；

(H)解：设所有棱长都为2,取EF中点尸，BC中点K,连PK,AK,PA.

易知PKJ_BC,AKLBC,

则/PKA为平面EFCB的与底面ABC所成二面角的平面角，

在APK4中，取4K中点。，连产。，有P。_1面480贝ijPO_LAK.

且P。=2,OK=亨，tanZ-PKA=

T

4-73

平面EFC8与底面ABC所成二面角的正切值：—.

第20页共23页

21.（12分）已知椭圆C的焦点在x轴上，并且经过点（0,1）,离心率为

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）动直线/与圆。：/+/=1相切于点例，与椭圆C相交于A,8两点，线段AB的

中点为。，求△。例。面积的最大值，并求此时点。的坐标.

解：（I）由题意设椭圆的方程为1+1=1,由题意可得6=1,e=《=*,a2=b2+c2,

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解得：a=2,h=l,

x2

所以椭圆的标准方程为：—+/=1;

4

（2）设动直线的方程为：x=my+n,（mWO）,由直线与圆相切可得厂四节=1,即/=

Vl+m2

1+苏，

X=my4-n

x2,整理可得（4+加2）y1+2mny+^-4=0,△=4,/后-4（w2+4）（n2-4）=

（彳+y9=1

16（川+4-/?）=48>0,

设A（xi，y\）,B（X2，”），D（xo，yo）,

,?mn，,一4n-mn

则yi+）?=从而中点。----------）,

4+m，4+m24+m2

2222

所以SAOMD=1\OM\\MD\=i\DM\=17|OO|-|0M|=17%0+70-1=

nl

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