5.3.1函数的单调性1课件高二上学期数学人教A版选择性

引

入

在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.

微积分中重要的思想方法——以直代曲h(tt2t+11能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢?本节我们就来讨论这个问题.利用导数研究函数的单调性.第五章一元函数的导数及其应用2024/1/4

导数在研究函数中的应用高二数学备课组引

入在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质.复习巩固：函数单调性的定义一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，有

(1)若f(x1)<f(x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.(2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.探究新知问题1:判断函数单调性的方法有哪些?①.定义法：②.图像法：③.性质法:增+增→增，减+减→减，－增→减，

复合函数单调性同增异减探究新知thaOb(1)thaOb(2)

思考1

图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象.观察图象可以发现:

(1)从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增.相应地，v(t)=h'(t)>0.

(2)从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减.相应地，v(t)=h'(t)<0.问题2:运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?如何从数学上刻画这种区别?探究新知对于高台跳水问题，可以发现：当t∈(0,a)时，h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0,a)上单调递增；当t∈(a,b)时，h′(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a,b)上单调递减.

在区间(a,b)上，h′(t)>0在区间(a,b)上，h′(t)<0在区间(a,b)上，h(t)单调递增在区间(a,b)上，h(t)单调递减思考2我们看到，函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系.那么，我们能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢?问题3:这种情况是否具有一般性呢？探究新知xyO(1)xyO(2)xyO(3)xyO(4)问题4:

观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系？探究新知xyO(1)xyOy′＝1xyO(2)xyOy′＝2x在(-∞,

0)上，f(x)单调递减在(-∞,

0)上，f′(x)<0在(0,+∞)上，f(x)单调递增在(0,+∞)上，f′(x)>0y′＝1在(-∞,+∞)上，y′>0探究新知xyO(3)在(-∞,

0)上，f(x)单调递增在(-∞,

0)上，f′(x)>0xyOf′(x)＝3x2在(0,+∞)上，f(x)单调递增在(0,+∞)上，f′(x)>0探究新知xyO(4)xyO在(-∞,

0)上，f(x)单调递减在(-∞,

0)上，f′(x)<0在(0,+∞)上，f(x)单调递减在(0,+∞)上，f′(x)<0探究新知问题5：为什么函数的单调性与导数的正负之间有这样的关系？导数f′(x0)在区间上，f′(x)>0函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处切线的斜率在x=x0处f′(x0)>0函数y=f(x)的图象上升，在x=x0附近单调递增切线“左下右上”上升在区间上，f(x)单调递增f(x0)>0f(x)在x0附近↗切线“左下右上”xyO(x0,f(x0))(x1,f(x1))探究新知问题5：为什么函数的单调性与导数的正负之间有这样的关系？导数f′(x1)在区间上，f′(x)<0函数y=f(x)的图象在点(x1,f(x1))处切线的斜率在x=x1处f′(x1)<0函数y=f(x)的图象下降，在x=x1附近单调递减切线“左上右下”下降在区间上，f(x)单调递减f(x1)<0f(x)在x1附近↘切线“左上右下”xyO(x0,f(x0))(x1,f(x1))探究新知1.函数的单调性与导数的关系：一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:在某个区间(a,b)上,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0探究新知函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.f(x)仍为增函数.例如:对于函数y=x3，y′=3x2.当x=0时，y′=0，当x>0时，y′>0，而函数y=x3在R上单调递增.xyO问题6：如果在某个区间上恒有f′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性?问题7：存在有限个点使得f'(x)=0,其余点都恒有f′(x)>0,则f(x)有什么特性?f'(x)≥0且f'(x)不恒为0例题讲解例1

利用导数判断下列函数的单调性:解：xyO(1)xyO(2)π-π(1)f(x)=x3+3x,其定义域为R.f'(x)=3x2+3>0,例题讲解例1

利用导数判断下列函数的单调性:解：xyO(3)11探究新知①求出函数的定义域；②求出函数的导数f

(x)；③判定导数f

(x)的符号；④确定函数f(x)的单调性.2.判定函数单调性的步骤：课堂练习1.判断下列函数的单调性:解：(1)f(x)=x2‒2x+4,x∈R(2)f(x)=ex

‒x,x∈R课堂练习解：x∈R,例题讲解解：xyO14例2

已知导函数f′(x)的下列信息:当1<x<4时，f′(x)>0；当x<1，或x>4时，f′(x)<0；当x=1，或x=4时，f′(x)=0.试画出函数